代数方程式

数学において、代数方程式または多項式方程式は、形式の方程式であり、P は何らかの体、多くの場合は有理数体の係数を持つ多項式です。たとえば、は整数係数 を持つ代数方程式であり、${\displaystyle P=0}$${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0}$

は有理数上の多変数多項式方程式です。多くの著者にとって、代数方程式という用語は、単変数の場合、つまり 1 つの変数のみを含む多項式方程式のみを指します。一方、多項式方程式には複数の変数が含まれる場合があり (多変数の場合)、その場合は通常、多項式方程式という用語が好まれます。

有理係数の多項式方程式の中には、解が代数式で表され、その解が同じ種類の係数だけを含む有限回の演算で得られる（つまり、代数的に解ける）ものもあります。これは、1、2、3、4次のすべての方程式で実行できますが、5次以上では、すべての方程式ではなく、一部の方程式でしか実行できません。単変数代数方程式の実数解または複素解（求根アルゴリズムを参照）や、いくつかの多変数多項式方程式の共通解（多項式方程式系を参照）の正確な近似値を効率的に計算するための研究が盛んに行われてきました。

「代数方程式」という用語は、代数学の主な問題が一変数多項式方程式を解くことだった時代に由来しています。この問題は 19 世紀に完全に解決されました。代数学の基本定理、アーベル-ルフィニの定理、ガロア理論を参照してください。

それ以来、代数学の範囲は劇的に拡大されました。特に、n乗根を含む方程式の研究、より一般的には代数式の研究が含まれます。これにより、古い問題のコンテキスト以外では代数方程式という用語は曖昧になります。したがって、この曖昧さが発生する可能性がある場合、特に多変数方程式を検討する場合は、一般に多項式方程式という用語が好まれます。

代数方程式の研究はおそらく数学と同じくらい古いもので、紀元前 2000 年頃にはバビロニアの数学者がある種の二次方程式を解くことができました (古代バビロニアの 粘土板に表示されています)。

有理数上の（すなわち、有理係数を持つ）一変数代数方程式には、非常に長い歴史があります。古代の数学者は、の正の解のように、根号式の形で解を求めました。古代エジプト人は、この方法で 2 次方程式を解く方法を知っていました。インドの数学者ブラフマグプタ（紀元 597 年 - 668 年）は、628 年に出版された論文『ブラフマスフタシッダーンタ』で、記号ではなく言葉で、二次方程式の公式を明示的に説明しました。9 世紀には、ムハンマド・イブン・ムサ・アル・フワーリズミーと他のイスラム数学者が、2 次方程式の一般解である二次方程式の公式を導き出し、判別式の重要性を認識しました。ルネッサンス時代の1545年、ジェロラモ・カルダーノは3次方程式についてはシピオーネ・デル・フェッロとニッコロ・フォンターナ・タルタリアの解法 を、 4次方程式についてはルドヴィーコ・フェラーリの解法 を発表した。最終的にニールス・ヘンリック・アーベルは1824年に、 5次以上の方程式には根号を用いた一般解がないことを証明した。エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられたガロア理論は、少なくとも5次以上の方程式の中には根号で特異解すら存在しないものもあることを示し、方程式が実際に根号を用いて解けるかどうかを判断する基準を与えた。 ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

代数方程式は、現代数学の多くの分野の基礎となっています。代数的整数論は、有理数（つまり、有理係数）上の（一変数）代数方程式の研究です。ガロア理論は、代数方程式が根号で解けるかどうかを決定する基準を指定するために、エヴァリスト・ガロアによって導入されました。体論では、代数拡大とは、すべての要素が基底体上の代数方程式の根であるような拡大のことです。超越数論は、有理数上の代数方程式の解ではない実数の研究です。ディオファントス方程式は、整数係数を持つ（通常は多変数の）多項式方程式で、その整数解に関心があります。代数幾何学は、多変数多項式方程式の 代数的に閉じた体における解の研究です。

2 つの方程式が同じ解の集合を持つ場合、それらの方程式は同等です。特に、方程式はと同等です。したがって、代数方程式の研究は多項式の研究と同等です。 ${\displaystyle P=Q}$${\displaystyle PQ=0}$

有理数上の多項式方程式は、係数が整数である同等の方程式に常に変換できます。たとえば、を42 = 2·3·7で乗じて、その項を最初の要素にグループ化すると、前述の多項式は次のようになります。 ${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}$

正弦、累乗、1/ Tは多項式関数ではない ので、

${\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}$

は、有理数上の4 つの変数x、y、z、Tの多項式方程式ではありません。ただし、変数Tの基本関数の体上の3 つの変数x、y、zの多項式方程式です。

未知のxに関する方程式が与えられた場合

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$、

体 Kの係数を持つ場合、 Kにおける(E)の解は多項式の Kにおける根であると同値であると言える。

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]}$。

体におけるn次多項式は最大でn 個の根を持つことがわかります。したがって、方程式 (E) には最大でn 個の解があります。

K' がKの体拡大である場合、 (E) はKに係数を持つ方程式であると考えることができ、 Kにおける (E) の解はK'の解でもある(逆は一般には成り立たない)。多項式Pの破裂体として知られるKの体拡大を見つけることは常に可能であり、その中で (E) は少なくとも 1 つの解を持つ。

代数学の基本定理は、複素数体は代数的に閉じていること、つまり、複素係数と少なくとも 1 次を持つすべての多項式方程式に解が存在することを 述べています。

したがって、実係数を持つ 1 次以上のすべての多項式方程式は複素解を持ちます。一方、 のような方程式は では解を持ちません(解は虚数単位iと–iです)。 ${\displaystyle x^{2}+1=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実方程式の実解は直感的ですが（曲線y = P ( x )がx軸と交差する点のx座標です）、実方程式の複素解の存在は驚くべきものであり、視覚化が容易ではありません。

しかし、奇数次の単項多項式は必ず実根を持つ。xにおける関連する多項式関数は連続しており、x がに近づくにつれて、またx がに近づくにつれて近づきます。したがって、中間値定理により、ある実数xで値 0 をとらなければならず、それが多項式方程式の解となります。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle +\infty}$

4 次以下の実数または複素数多項式の解を係数の関数として与える公式が存在します。 アーベルは、一般に (四則演算と根号法のみを使用して) 5 次以上の方程式に対してそのような公式を見つけることは不可能であることを示しました。 ガロア理論は、与えられた多項式方程式の解が根号を使用して表現できるかどうかを判断できる基準を提供します。

1次の実数または複素数方程式の明示的な解は自明である 。n次の高次の方程式を解くことは、関連する多項式を因数分解すること、すなわち(E)を次の形に書き直すことに帰着する。

${\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0}$、

ここで解は です。問題は を で表すことです 。 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

このアプローチは、係数と解が積分領域に属する場合、より一般的に適用されます。

n次方程式P ( x ) = 0が有理根αを持つ場合、関連する多項式を因数分解して、形式P ( X ) = ( X – α) Q ( X )を得ることができます（P ( X )をX – αで割るか、 P ( X ) – P (α)を形式X ^k – α ^kの項の線形結合として書き、 X – α を因数分解することによって） 。したがって、 P ( x ) = 0 を解くことは、次数n – 1方程式Q ( x ) = 0 を解くことに帰着します。たとえば、n = 3の場合を参照してください。

n次の方程式を解くには、

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$、

一般的な予備ステップは、次数n-1の項を消去することである。 と設定すると、式(E)は ${\displaystyle x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}}$

${\displaystyle a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0}$。

レオンハルト・オイラーはn = 3 の場合にこの手法を開発しましたが、例えば n = 4の場合にも適用できます。

形式の二次方程式を解くには、によって定義される判別式Δを計算します。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

多項式に実係数がある場合、次のようになります。

• 2 つの異なる実根の場合 、${\displaystyle \Delta >0}$
• 1 つの実二重根の場合 、${\displaystyle \Delta =0}$
• の場合、実根はありませんが、複素共役根が 2 つあります。${\displaystyle \Delta <0}$

根を累乗根で表すことによって三次方程式を解く最もよく知られた方法は、カルダノの公式です。

いくつかの解決方法の詳細な説明については、以下を参照してください。

• Tschirnhaus 変換(一般的な方法、成功は保証されません)。
• ベズー法（一般的な方法、成功は保証されません）
• フェラーリ法（次数4の解）
• オイラー法（4次解）
• ラグランジュ法（次数4の解）
• デカルト法（2次または4次の解）

4 次方程式は、それが双 4 次方程式( b = d = 0 ) または準回文方程式( e = a、d = b )である場合、変数の変更によって 2 次方程式に簡約できます。 ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$${\displaystyle a\neq 0}$

いくつかの 3 次方程式と 4 次方程式は、三角法または双曲線関数を使用して解くことができます。

エヴァリスト・ガロアとニールス・ヘンリク・アーベルは独立して、一般に 5 次以上の多項式は根号を使って解くことができないことを示しました。5次と 17 次 円分多項式に関連する方程式など、特定の方程式には解があります。

一方、シャルル・エルミートは、5次の多項式は楕円関数を使って解けることを示しました。

それ以外の場合は、ニュートン法などの根探索アルゴリズムを使用して根の数値近似値を求めることができます。

• 代数関数
• 代数的数
• ルートの発見
• 線形方程式（次数 = 1）
• 二次方程式（次数 = 2）
• 三次方程式（次数 = 3）
• 4次方程式（次数 = 4）
• 五次方程式（次数 = 5）
• 6次方程式（次数 = 6）
• 敗血症方程式（次数 = 7）
• 線形方程式のシステム
• 多項式方程式のシステム
• 線形ディオファントス方程式
• 環上の線形方程式
• クラメールの定理（代数曲線） 、二変量n次曲線を決定するのに通常十分な点の数について

• 「代数方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「代数方程式」。MathWorld。