ユークリッド平面

数学において、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、2次元空間内のすべての点を2つの座標を用いて記述します。原点で交わる2つの直交する座標軸が与えられ、これらは通常x軸とy軸で表されます。これらの軸に対して、2次元空間内の任意の点の位置は、実数の順序対で表され、各数値は、与えられた軸に沿って測定した原点からの距離を示し、これはその点からもう一方の軸までの距離と等しくなります。

もう一つ広く使われている座標系は極座標系で、これは原点からの距離と右向きの基準線に対する角度によって点を指定するものです。

• 
  デカルト座標系
• 
  極座標系

2次元空間には、多面体（多角形）が無限に存在します。以下に、最初のいくつかの正多面体を示します。

2次元の超球面は円であり、 1次元多様体であるため、1-球面（S ¹ ）と呼ばれることもあります。ユークリッド平面では、長さは2πrで、内部の面積は

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

どこ${\displaystyle r}$は半径です。

2次元空間には、他にも無数の曲線形状が存在し、特に円錐曲線、すなわち楕円、放物線、双曲線などが挙げられる。

2 つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ ]とB = [ B ₁ , B ₂ ]の内積は次のように定義されます。^{[ 5 ]}

$\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

ベクトルは矢印としてイメージできます。その大きさは矢印の長さであり、方向は矢印が指す方向です。ベクトルAの大きさは次のように表されます。${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$この観点では、2 つのユークリッドベクトルAとBの内積は^{[ 6 ]}で定義される。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここで、θはAとBの間の角度である。

ベクトルAとベクトルAのドット積は

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

これにより

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

ベクトルのユークリッド長の公式。

直交座標系では、勾配は次のように表される。

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

あるスカラー場f  : U ⊆ R ² → Rに対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

ここで、 r : [a, b] → Cは曲線Cの任意の全単射パラメータ化であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点と${\displaystyle a<b}$。

ベクトル場F  : U ⊆ R ² → R ²に対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿ったr方向の線積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

ここで、· は内積であり、r : [a, b] → Cは曲線Cの全単射パラメータ化であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点を与えます。

二重積分とは、R²内の領域D 内での関数の積分を指します^。${\displaystyle f(x,y),}$そして通常は次のように表記されます。

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

線積分に関する基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の両端における元のスカラー場を評価することによって求めることができる。

させて${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$。 それから

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

p、qは曲線γの両端点である。

C を平面上の正の向きを持つ区分的に滑らかな単純閉曲線とし、D をCで囲まれた領域とする。LとMがDを含む開領域上で定義された ( x , y )の関数であり、その領域で連続な偏導関数を持つ場合、^{[ 7 ] [ 8 ]}

$\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

ここで、Cに沿った積分経路は反時計回りである。

• バートン、デイビッド・M. (2011)、『数学の歴史／入門』（第7 版）、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-338315-6