現実の無限と潜在的な無限

数学の哲学において、実在的無限（完了無限とも呼ばれる） ^{[ 1 ]}の抽象化は、与えられた、現実の、完了した対象としての無限の存在を含む。実在的無限は、潜在的無限とは対照的である。潜在的無限では、無限のプロセス（「前の数に1を加える」など）によって最後の要素のない数列が生成され、個々の結果は有限であり、有限のステップで達成される。この種のプロセスは、例えば数学的帰納法、無限級数、無限積、極限の概念の標準的な形式化において、数学で発生する。^{[ 2 ]}

真の無限の概念は、19世紀末にゲオルク・カントールが無限集合論によって数学に導入し、後にツェルメロ＝フレンケル集合論として定式化された。現在では数学の基礎として広く受け入れられているこの理論には、自然数が（必然的に無限の）集合を形成するという無限公理が含まれている。カントールの偉大な発見は、無限集合を認めるならば、無限集合には様々な大きさ（濃度）が存在し、特に実数連続体の濃度は自然数の濃度よりも厳密に大きいということである。

潜在的または不完全な無限を表す古代ギリシャ語はapeiron (無制限または不定) であり、実際のまたは完全な無限aphorismenonとは対照的である。^{[ 3 ]} apeiron はperas (限界)を持つものとは対立する。これらの概念は今日ではそれぞれ潜在的無限と実際的無限で表されている。

アナクシマンドロス（ 紀元前610年～546年）は、アペイロンを万物を構成する原理または主要な要素であると主張した。明らかに、「アペイロン」は何らかの基本的な実体であった。プラトンのアペイロンの概念はより抽象的で、無限の変動性に関係している。プラトンが「アペイロン」について論じている主な対話篇は、後期の対話篇である『パルメニデス』と『ピレボス』である。

アリストテレスは、無限に関する先人たちの見解を次のように要約している。

「無限を感覚の対象の中に位置づけるのはピタゴラス派だけであり（彼らは数を感覚の対象から切り離して考えていない）、天の外にあるものは無限であると主張する。一方、プラトンは、外には物体は存在しない（イデアはどこにも存在しないので外には存在しない）が、無限は感覚の対象だけでなくイデアの中にも存在すると考える。」（アリストテレス）^{[ 4 ]}

このテーマは、アリストテレスが数学と物理学（自然の研究）の文脈でアペイロン（無常）について考察したことによって提起された。

「無限とは、人々が言うようなものとは正反対であることが判明した。無限とは『それ自身以外に何も持たないもの』ではなく、『常にそれ自身以外に何かを持っているもの』である。」（アリストテレス）^{[ 5 ]}

無限の存在を信じることは、主に次の5つの考察から来ています。^{[ 6 ]}

1. 時間という性質からして、それは無限である。
2. 量の分割から――数学者は無限の概念も用いる。
3. 生成と消滅が尽きないのは、物事が生じる源が無限だからに他ならない。
4. なぜなら、制限されるものは常に何らかの限界を見出すからである。したがって、もしすべてが常にそれ自身とは異なる何かによって制限されるのであれば、限界は存在しないはずだ。
5. 何よりも、誰もが感じる困難を提起する、特に適切な理由として、数だけでなく数学的な量や天の外側にあるものも、私たちの思考の中では決して尽きることがないため、無限であると考えられているということが挙げられる。（アリストテレス）

アリストテレスは、もし無限が可能であれば、何かが無限の大きさに達し、「天よりも大きい」ことになるため、実際の無限は不可能であると仮定した。しかし、彼は、数学者は定理のために無限を必要とせず、有限で任意に大きな大きさだけを必要とするため、無限に関する数学はその適用可能性を失うことはないと述べた。^{[ 7 ]}

スコラ哲学者の圧倒的多数は「無限は現実ではない」というモットーを遵守した。これは、潜在的な無限（発展途上の、不適切な、「共範疇的」）は存在するが、（固定された、適切な、「範疇的」）現実の無限は存在しないという意味である。しかし、例えばイングランドなどには例外もあった。

中世のスコラ哲学者たちは皆、アリストテレスの「無限の行為は存在しない」を反駁不可能な原理として擁護していたことはよく知られている。（G. カントール）^{[ 9 ]}

数、時間、量において、真の無限が存在する。（J・ベーコンソープ[9、p.96  ]）

ルネサンス期から近世初期にかけて、真の無限を支持する声はむしろ稀であった。

連続体は実際には無限に多くの不可分なものから成り立っている（G. ガリレオ[9, p.  97]）。

私は真の無限を強く支持する。（G・W・ライプニッツ[9、97ページ ]）

しかし、前近代の思想家の大多数は、ガウスの有名な言葉に同意していた。

私は、無限の大きさを完成されたものとして用いることに抗議します。数学においてそのようなことは決して許されません。無限とは単なる言い回しであり、真の意味は、ある比率が限りなく近づく限界であり、他の比率は制限なく増加することが許されるということです。^{[ 10 ]}（CF ガウス[シューマッハー宛の手紙、1831年7月12日]）

現実の無限という概念は、現在では数学において広く受け入れられている。この劇的な変化は19世紀にボルツァーノとカントールによって始められ、数学の基礎的危機の一因となった。

集合（ドイツ語ではMenge）の概念を導入したベルナルド・ボルツァーノと、集合論を導入したゲオルク・カントールは、一般的な考え方に反対した。カントールは、無限の領域を3つに区別した。（1）神の無限（彼はこれを「絶対」と呼んだ）、（2）現実の無限（彼はこれを「自然」と呼んだ）、（3）数学の超限数と集合。

有限の集合よりも大きい集合、すなわち、問題となっている種類の要素からなる有限集合のすべてがその一部に過ぎないという性質を持つ集合を、私は無限の集合と呼ぶことにする。（B. ボルツァーノ [2, p.  6]）

したがって、私は、神とその属性に由来する永遠の非創造的無限または絶対的無限と、創造された自然の中で実際の無限が認識されなければならないあらゆる場所で使用しなければならない創造された無限または超有限とを区別します。例えば、私の確固たる確信によれば、宇宙や地球上、そしておそらくは任意の小さな空間のあらゆる部分においても、実際に無限の数の創造された個体に関してです。（ゲオルク・カントール）^{[ 11 ]}（G. カントール [8, p.  252]）

数字は人間の精神が自由に創造したものである。（R. デデキント[3a、p.  III]）

一つの証明は、神の概念に基づいている。まず、神の最高の完全性から、超限の創造の可能性を推論し、次に、神の全能の恩寵と輝きから、超限の創造が実際に起こったという必然性を推論する。（G. カントール [3, p.  400]）

カントールは、超限無限と絶対無限という2種類の現実無限を区別し、それらについて次のように断言した。

これらの概念は厳密に区別される必要があります。前者は確かに無限ですが、増加することができますが、後者は増加することができないため、数学的概念として決定できません。この間違いは、例えば汎神論に見られます。 (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , pp. 375, 378) ^{[ 12 ]}

実際の無限は、現在では数学において「無限集合」という名称で一般的に受け入れられています。実際、集合論は、例えばツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）として形式化されています。ZFの公理の一つに無限公理があり、これは本質的に自然数が集合を形成することを示しています。

数学はすべてZFの観点から書き直されてきた。特に、直線、曲線、あらゆる種類の空間は、それらの点の集合として定義されるのが一般的である。無限集合は非常に一般的であるため、有限集合を考える場合、例えば有限幾何学や有限体のように、このことは一般的に明示的に述べられる。

フェルマーの最終定理は、初等算術の観点から述べられた定理であり、350年以上後に証明されました。ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、選択公理を含むZF公理系の全機能を活用しただけでなく、非常に大きな集合の存在を暗黙のうちに示唆する別の公理も用いていました。この別の公理の必要性は後に否定されましたが、無限集合は依然として基本的な意味で用いられています。しかし、これは数学者コミュニティによる証明の正しさの認識を妨げるものではありませんでした。

潜在的無限大に関する最近の研究では、潜在的無限大の「合計」値を表すことができるグロスワンが用いられており、これを用いていくつかの算術演算を行うことができる。

実際の無限における「実際」という用語の数学的な意味は、確定、完了、拡張、または存在と同義であるが、^{[ 13 ]}物理的に存在することと混同してはならない。したがって、自然数または実数が確定集合を形成するかどうかの問題は、無限のものが自然界に物理的に存在するかどうかの問題とは独立している。

クロネッカー以降の直観主義の支持者たちは、数学的な対象や集合が実際に無限に存在するという主張を否定する。したがって、彼らは実際の無限の存在を前提としない方法で数学の基礎を再構築する。一方、構成的解析学は、整数の完全な無限の存在を認める。

直観主義者にとって、無限は潜在的であると表現されます。この概念と同義の用語は、生成または構成です。^{[ 13 ]}例えば、スティーブン・クリーネは、チューリングマシンのテープの概念を「両方向に（潜在的に）無限な線形の「テープ」」と表現しています。^{[ 14 ]}テープ上のメモリにアクセスするために、チューリングマシンは読み取りヘッドを有限ステップでテープに沿って移動させます。したがって、テープは「潜在的に」無限であるにすぎません。なぜなら、常に別のステップに進むことはできますが、無限自体に実際に到達することはないからです。^{[ 15 ]}

数学者は一般的に実際の無限を受け入れています。^{[ 16 ]}ゲオルク・カントールは、実際の無限を擁護した最も重要な数学者です。彼は、自然数と実数が確定集合であることが可能であり、ユークリッド有限性の公理（現実のものは、単独でも集合でも必然的に有限であるという公理）を拒否しても、矛盾は生じないと判断しました。

現代の一般的な有限主義的解釈では、順序数と基数は、特別な記号の集合と、それに関連付けられた形式言語から構成され、その形式言語内で命題を記述できるとされています。こうした命題はすべて必然的に有限の長さを持ちます。操作の正当性は、形式言語の基本原理、すなわち項代数、項書き換えなどにのみ基づいています。より抽象的に言えば、（有限）モデル理論と証明論の両方が、無限を扱うために必要なツールを提供します。無限を表す記号を用いて代数的に妥当な式を記述するために、無限を「信じる」必要はありません。

• 任意に大きい
• 連続体の濃度

• アリストテレス、物理学
• ベルナルド・ボルツァーノ、1851年、Paradoxien des Unendlichen、レクラム、ライプツィヒ。
• ベルナルド・ボルツァーノ 1837 年、ズルツバッハのヴィッセンシャフトレーア。
• Georg Cantor in E. Zermelo (ed.) 1966、Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts、オルムス、ヒルデスハイム。
• リチャード・デデキント、 1960 年、ビューエグ、ブラウンシュヴァイク。
• アドルフ・アブラハム・フランケル、 1923年、メンゲンレーレのアインライトゥング、シュプリンガー、ベルリン。
• Adolf Abraham Fraenkel、Y. Bar-Hillel、A. Levy 1984、『Foundations of Set Theory』第2版、North Holland、アムステルダム、ニューヨーク。
• スティーブン・C・クリーネ1952年（1971年版、第10刷）、『メタ数学入門』、ノース・ホランド出版、アムステルダム、ニューヨーク。ISBN 0-444-10088-1。
• H. Meschkowski 1981、Georg Cantor: Leben、Werk und Wirkung (2. Aufl.)、BI、マンハイム。
• H. Meschkowski、W. Nilson (Hrsg.) 1991、Georg Cantor – Briefe、Springer、ベルリン。
• アブラハム・ロビンソン1979年、『選集』第2巻、WAJルクセンブルク、S. ケルナー編、ノースホラント、アムステルダム。