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ヘルマン・クラウス・フーゴ・ワイル（/vaɪl / VILE ; [ 4 ]ドイツ語: [ vaɪl ] ; 1885年11月9日 - 1955年12月8日）は、ドイツの数学者、理論物理学者、論理学者、哲学者。彼の研究生活の多くはスイスのチューリッヒ、その後ニュージャージー州プリンストンで過ごされたが、カール・フリードリヒ・ガウス、ダフィット・ヒルベルト、ヘルマン・ミンコフスキーに代表されるゲッティンゲン大学の数学の伝統と関連付けられている。
彼の研究は、理論物理学だけでなく、数論などの純粋数学分野にも大きな意義を持っていた。彼は20世紀で最も影響力のある数学者の一人であり、初期の頃の高等研究所の重要なメンバーであった。[ 5 ] [ 6 ]
ワイルは、空間、時間、物質、哲学、論理、対称性、数学史など、非常に幅広い分野に貢献した。彼は一般相対性理論と電磁気学の法則を組み合わせることを最初に考えた人物の一人だった。
フリーマン・ダイソンは、ワイルだけが「19世紀最後の偉大な普遍的数学者」であるアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトに匹敵すると書いた。[ 7 ]マイケル・アティヤは、数学のトピックを調べるたびに、ワイルが自分より先に研究していたことに気づいたと述べている。[ 8 ]
ヘルマン・ヴァイルはドイツのハンブルク近郊の小さな町エルムスホルンで生まれ、アルトナのギムナジウム・クリスティアネウムに通った。[ 9 ]彼の父ルートヴィヒ・ヴァイルは銀行家であり、母アンナ・ヴァイル（旧姓ディーク）は裕福な家庭の出身だった。[ 10 ]
彼は1904年から1908年にかけて、ゲッティンゲン大学とミュンヘン大学で数学と物理学を学んだ。博士号はゲッティンゲン大学で、彼が深く尊敬していたダフィット・ヒルベルトの指導のもとで授与された。
1913 年 9 月、ゲッティンゲンで、ヴァイルはフリーデリケ・ベルタ・ヘレーネ・ヨーゼフ(1893 年 3 月 30 日[ 11 ] - 1948 年 9 月 5 日[ 12 ] ) と結婚した。ヘレーネはヘレーネ(愛称「ヘラ」)と呼ばれていた。ヘレーネは、ドイツのリブニッツ・ダムガルテンで衛生顧問を務めていた医師ブルーノ・ヨーゼフ博士 (1861 年 12 月 13 日 - 1934 年 6 月 10 日) の娘であった。ヘレーネは哲学者 (現象学者エドムント・フッサールの弟子) であり、スペイン文学 (特にスペインの哲学者ホセ・オルテガ・イ・ガセットの著作) をドイツ語と英語に翻訳した。[ 13 ]ヘレーネとフッサールの親密な関係を通じて、ヘルマンはフッサールの思想に親しみ (そして大きな影響を受けた) た。ヘルマンとヘレンには、フリッツ・ヨアヒム・ワイル（1915年2月19日 - 1977年7月20日）とミヒャエル・ワイル（1917年9月15日 - 2011年3月19日）[ 14 ]という2人の息子がおり、どちらもスイスのチューリッヒで生まれた。ヘレンは1948年9月5日にニュージャージー州プリンストンで亡くなった。彼女を偲ぶ追悼式が1948年9月9日にプリンストンで行われた。追悼式では、息子のフリッツ・ヨアヒム・ワイル、数学者のオズワルド・ヴェブレン、リチャード・クーラントらが弔辞を述べた。[ 15 ] 1950年、ヘルマンはチューリッヒのリヒャルト・ヨーゼフ・ベア教授（1892年9月11日 - 1940年12月15日）の未亡人である彫刻家エレン・ベア（旧姓ローンシュタイン） （1902年4月17日 - 1988年7月14日）と結婚した[ 16 ] [ 17 ]。
ワイルは数年間教職に就いた後、1913年にゲッティンゲンを離れ、チューリッヒ工科大学（ETH Zurich）の数学教授職に就くためチューリッヒに移った[ 18 ] 。そこで彼は、一般相対性理論の詳細を研究していたアルベルト・アインシュタインの同僚となった。アインシュタインはワイルに永続的な影響を与え、ワイルは数理物理学に魅了された。1921年、ワイルは当時チューリッヒ大学の教授であった理論物理学者エルヴィン・シュレーディンガーと出会った。二人はやがて親しい友人となった。ワイルはシュレーディンガーの妻アンネマリー（アニー）・シュレーディンガー（旧姓ベルテル）と子供のいない恋愛関係にあったが、彼女は同時に、1934年にイギリスのオックスフォードで生まれたエルヴィンの非嫡出子であるルース・ジョージ・エリカ・マーチの養育を手伝っていた[ 19 ] [ 20 ]。
ワイルは、1928年にボローニャで開催された国際数学者会議（ICM）の基調講演者であり[ 21 ] 、1936年にはオスロで開催されたICMの招待講演者であった。彼は1928年にアメリカ物理学会のフェローに選出され[ 22 ]、1929年にアメリカ芸術科学アカデミーの会員に選出され[ 23 ]、1935年にアメリカ哲学協会の会員に選出され[ 24 ] 、 1940年には米国科学アカデミーの会員に選出された[ 25 ]。 1928年から1929年の学年度にはプリンストン大学の客員教授を務め[ 26 ]、そこでハワード・P・ロバートソンと共著で「無限小幾何学の基礎に現れる群論の問題について」という論文を執筆した[ 27 ]。
ワイルは1930年にチューリッヒ大学を離れ、ゲッティンゲン大学でヒルベルトの後任となったが、 1933年にナチスが政権を掌握すると、特に妻がユダヤ人であったことから、ゲッティンゲン大学を去った。彼はニュージャージー州プリンストンに新設された高等研究所の最初の教員ポストの1つを提示されたが、祖国を離れたくないという理由で辞退した。しかし、ドイツの政治情勢が悪化するにつれ、考えを変え、再び提示されたポストを受け入れた。彼は1951年に退職するまでそこに留まった。2番目の妻エレンと共にプリンストンとチューリッヒで過ごし、1955年12月8日、チューリッヒ在住中に心臓発作で亡くなった。
ワイルは1955年12月12日にチューリッヒで火葬された。[ 28 ]彼の遺灰は1999年まで個人所有のままで、その後プリンストン墓地の屋外納骨堂に埋葬された。[ 29 ]ヘルマンの息子マイケル・ワイル（1917年～2011年）の遺骨は、同じ納骨堂のヘルマンの遺灰のすぐ隣に埋葬されている。
1911年、ワイルは『固有値の漸近分布について』 （ Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte）を出版し、コンパクト領域におけるラプラシアンの固有値が、いわゆるワイルの法則に従って分布することを証明した。1912年には、変分原理に基づいた新たな証明を提案した。ワイルはこのテーマに何度も立ち返り、弾性系を考察し、ワイル予想を定式化した。これらの研究は、現代解析学における重要な分野である「固有値の漸近分布」の幕開けとなった。
1913年、ワイルは『リーマン面の概念』 （ Die Idee der Riemannschen Fläche ）を出版し、リーマン面を統一的に扱った。その中でワイルは、リーマン面理論をより厳密にするために点集合位相幾何学を用い、後の多様体に関する研究でも同様の手法が採用された。彼はこの目的のために、LEJ・ブロウワーの初期の位相幾何学の研究成果を取り入れた。
ゲッティンゲン学派の主要人物であるワイルは、アインシュタインの研究を初期の頃から十分に把握していた。彼は1918年に著した『空間、時間、物質』 （ Raum, Zeit , Materie）で相対性理論の発展を追跡し、この著作は1922年に第4版に達した。1918年に彼はゲージの概念を導入し、現在ゲージ理論として知られるものの最初の例を示した。ワイルのゲージ理論は、電磁場と重力場を時空の幾何学的性質としてモデル化しようとする試みであったが、成功しなかった。リーマン幾何学におけるワイルテンソルは、共形幾何学の性質を理解する上で非常に重要である。
彼の物理学における全体的なアプローチは、エドムント・フッサールの現象学的哲学、特にフッサールの1913年の著作『純粋現象学と現象学的哲学の理念。第一巻：一般序論』に基づいていた。フッサールは、算術の哲学に関する彼の最初の著作に対するゴットロープ・フレーゲの批判に強く反発し、フレーゲが経験的参照から区別した数学的構造やその他の構造の意味を研究していた。
1923年から1938年にかけて、ワイルは行列表現を用いてコンパクト群の理論を発展させた。コンパクトリー群の場合、彼は基本的な指標公式を証明した。
これらの結果は、彼が群論的基礎に置いた量子力学の対称構造を理解する上で基礎となるものです。これにはスピノルが含まれます。量子力学の数学的定式化（主にジョン・フォン・ノイマンによるもの）と合わせて、これは1930年頃から馴染みのある扱いを与えました。非コンパクト群とその表現、特にハイゼンベルク群も、1927年のワイル量子化という特定の文脈で合理化されました。これは、現在まで古典物理学と量子物理学の間の最良の架け橋となっています。この時から、そして間違いなくワイルの説明に大いに助けられて、リー群とリー代数は純粋数学と理論物理学の両方の主流となりました。
彼の著書『古典群論』は、不変式論を再考したものである。対称群、一般線形群、直交群、シンプレクティック群を取り上げ、それらの不変量と表現に関する結果を論じている。
ワイルはまた、ディオファントス近似における指数和の利用法を示し、法 1 による一様分布の判定基準を確立した。これは解析的整数論における基礎的な一歩となった。この研究は、リーマンゼータ関数や加法整数論にも応用され、その後多くの研究者によって発展させられた。
『連続体』において、ワイルはバートランド・ラッセルの型に関する分岐理論の下位レベルを用いて述語分析の論理を展開した。彼は選択公理も背理法も用いず、ゲオルク・カントールの無限集合論も回避しながら、古典微積分学のほとんどを発展させることができた。この時期、ワイルはドイツ・ロマン主義の主観的観念論者フィヒテの急進的な構成主義に影響を受けていた。
『連続体』を出版した直後、ワイルは一時的に立場を完全にブラウワーの直観主義へと転換した。 『連続体』では、構成可能な点は離散的な実体として存在する。ワイルは点の集合体ではない連続体を求めていた。彼は、自身とLEJブラウワーにとって「革命」であると宣言する物議を醸す記事を書いた。 [ 31 ]この記事は、ブラウワー自身の原著よりも直観主義の見解を広める上で遥かに大きな影響力を持った。
ジョージ・ポリアとワイルは、チューリッヒでの数学者の集まり（1918年2月9日）で、数学の将来の方向性について賭けをした。ワイルは、その後の20年間で、数学者たちは実数、集合、可算性といった概念の完全な曖昧さに気づき、さらに、実数の最小上界の性質の真偽を問うことは、ヘーゲルの自然哲学に関する基本的主張の真偽を問うことと同じくらい無意味になるだろうと予測した。 [ 32 ]このような質問に対する答えは検証不可能で、経験とは無関係であり、したがって無意味である。
しかし、数年後、ワイルは、批評家たちが常に指摘してきたように、ブロウワーの直観主義は数学に過度の制約を課していると考えるようになった。「危機」誌の記事は、ワイルの形式主義の師であるヒルベルトを動揺させたが、1920年代後半には、ワイルはヒルベルトの立場と部分的に和解した。
1928年頃以降、ワイルは、以前は考えていたように、数学的直観主義はフッサールの現象学的哲学への熱意と相容れないと考えるようになったようだ。晩年、ワイルは数学を「記号的構成」として強調し、ヒルベルトだけでなくエルンスト・カッシーラーの立場にも近いものへと移行した。しかし、ワイルはカッシーラーに言及することはほとんどなく、この立場を明確にするために書いたのは短い論文や文章のみである。
1949年までに、ワイルは直観主義の究極的な価値にすっかり幻滅し、次のように記した。「ブロウワーによって数学は最高の直観的明晰さを獲得した。彼は解析学の基礎を自然な形で発展させることに成功し、それまで以上に直観とのつながりを密接に保ち続けた。しかし、より高度で一般的な理論へと進むにつれて、古典論理の単純な法則が適用できなくなることが、最終的にはほとんど耐え難いほどの不便さをもたらすことは否定できない。そして数学者は、コンクリートブロックでできていると信じていたそびえ立つ建造物の大部分が、目の前で霧となって消えていくのを苦痛とともに見守ることになる。」ジョン・L・ベルが述べているように、「ワイルが1970年代に滑らかな無限小解析の出現を目にすることができなかったのは、実に残念なことだ。この数学的枠組みの中で、離散的な要素から『合成』されたものではなく、真の連続体という彼の構想が実現される。滑らかな無限小解析の根底にある論理は直観主義的であり、排中律は一般には肯定できないものの、その中で発展した数学は、ワイルが上で言及した『耐え難いほどの不器用さ』を回避している。」
1929年、ワイルはディラック方程式の代替としてワイル方程式と呼ばれる方程式を提案した。この方程式は質量のないフェルミオンを記述する。通常のディラックフェルミオンは2つのワイルフェルミオンに分割されるか、2つのワイルフェルミオンから形成される。ニュートリノはかつてワイルフェルミオンであると考えられていたが、現在では質量を持つことがわかっている。ワイルフェルミオンは電子機器の応用で求められている。ワイルフェルミオンのように振る舞う準粒子は、トポロジカル物質の一種であるワイル半金属と呼ばれる結晶の形で2015年に発見された。 [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]
彼だけが、19 世紀の最後の偉大な普遍数学者であるヒルベルトとポアンカレに匹敵することができた。... 今や彼は亡くなり、連絡は途絶え、創造的な数学的想像力を直接用いて物理宇宙を理解するという我々の希望は、当面の間、終わった。
なぜなら、ここで数学者は自身の究極的な関心事と向き合っているからである。これらの関心事は伝統的な宗教的伝統には当てはまらないが、スピノザが「神あるいは自然」と呼んだものに対する合理的分析の精神にずっと近い。スピノザの分析はアインシュタインにとっても非常に重要であった。……結局、ワイルは、たとえ「精神とは存在の制約の中での自由であり、無限に向かって開かれている」としても、この神は人間の精神によって「理解されることはなく、理解されることもない」と結論づけている。それにもかかわらず、「神は啓示によって人間の中に入り込むことはできず、人間も神秘的な知覚によって神に近づくことはできない」。