継続ゲーム

プレイヤーXとYの間のゼロサム2人ゲームを考えます。${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$の要素を表す${\displaystyle C_{X}\,}$そして${\displaystyle C_{Y}\,}$として${\displaystyle x\,}$そして${\displaystyle y\,}$それぞれ効用関数を定義します。${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$どこ

${\displaystyle H(x,y)=(x-y)^{2}\,}$。

純粋戦略における最適応答関係は以下のとおりです。

${\displaystyle b_{X}(y)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}y\in \left[0,1/2\right)\\0{\text{ or }}1,&{\mbox{if }}y=1/2\\0,&{\mbox{if }}y\in \left(1/2,1\right]\end{cases}}}$

${\displaystyle b_{Y}(x)=x\,}$

${\displaystyle b_{X}(y)\,}$ そして ${\displaystyle b_{Y}(x)\,}$ 交差しないため、純粋戦略ナッシュ均衡は存在しない。しかし、混合戦略均衡は存在するはずである。それを見つけるには、期待値を次のように表す。${\displaystyle v=\mathbb {E} [H(x,y)]}$XとYの確率分布の1次モーメントと2次モーメントの線形結合として表される。

${\displaystyle v=\mu _{X2}-2\mu _{X1}\mu _{Y1}+\mu _{Y2}\,}$

（どこ${\displaystyle \mu _{XN}=\mathbb {E} [x^{N}]}$Yについても同様である。

制約${\displaystyle \mu _{X1}\,}$そして${\displaystyle \mu _{X2}}$（yについても同様の制約条件を設けた場合）は、ハウスドルフによって次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X1}\geq \mu _{X2}\\\mu _{X1}^{2}\leq \mu _{X2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\mu _{Y1}\geq \mu _{Y2}\\\mu _{Y1}^{2}\leq \mu _{Y2}\end{aligned}}}$

各制約のペアは、平面内のコンパクトな凸部分集合を定義します。${\displaystyle v\,}$が線形である場合、プレイヤーの最初の 2 つのモーメントに関する極値は、この部分集合の境界上に位置する。プレイヤー i の均衡戦略は、

${\displaystyle \mu _{i1}=\mu _{i2}{\text{ or }}\mu _{i1}^{2}=\mu _{i2}}$

最初の式は0と1の混合のみを許容するのに対し、2番目の式は純粋戦略のみを許容することに注意してください。さらに、ある時点でのプレイヤーiに対する最良応答が${\displaystyle \mu _{i1}=\mu _{i2}\,}$そうすれば、それは線全体上に位置するため、0と1の両方が最適な応答となります。 ${\displaystyle b_{Y}(\mu _{X1},\mu _{X2})\,}$純粋な戦略を提供する${\displaystyle y=\mu _{X1}\,}$、 それで${\displaystyle b_{Y}\,}$0と1の両方を与えることは決してありません。ただし${\displaystyle b_{x}\,}$y = 1/2 の場合、0 と 1 の両方が返されます。ナッシュ均衡が存在する条件は次のとおりです。

${\displaystyle (\mu _{X1}*,\mu _{X2}*,\mu _{Y1}*,\mu _{Y2}*)=(1/2,1/2,1/2,1/4)\,}$

これにより、プレイヤーXが0を半分、1を半分の割合でランダムに組み合わせた戦略をとるという、唯一の均衡状態が決定されます。プレイヤーYは1/2の純粋戦略をとります。このゲームの値は1/4です。

プレイヤーXとYの間のゼロサム2人ゲームを考えます。${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$の要素を表す${\displaystyle C_{X}\,}$そして${\displaystyle C_{Y}\,}$として${\displaystyle x\,}$そして${\displaystyle y\,}$それぞれ効用関数を定義します。${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$どこ

${\displaystyle H(x,y)={\frac {(1+x)(1+y)(1-xy)}{(1+xy)^{2}}}.}$

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡は存在しない。しかし、以下の累積分布関数のペアを持つ唯一の混合戦略ナッシュ均衡が存在することが^{[ 3 ]}で示されている。

${\displaystyle F^{*}(x)={\frac {4}{\pi }}\arctan {\sqrt {x}}\qquad G^{*}(y)={\frac {4}{\pi }}\arctan {\sqrt {y}}.}$

あるいは、同等に、次の2つの確率密度関数：

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {2}{\pi {\sqrt {x}}(1+x)}}\qquad g^{*}(y)={\frac {2}{\pi {\sqrt {y}}(1+y)}}.}$

ゲームの価値は${\displaystyle 4/\pi }$。

プレイヤーXとYの間のゼロサム2人ゲームを考えます。${\displaystyle C_{X}=C_{Y}=\left[0,1\right]}$の要素を表す${\displaystyle C_{X}\,}$そして${\displaystyle C_{Y}\,}$として${\displaystyle x\,}$そして${\displaystyle y\,}$それぞれ効用関数を定義します。${\displaystyle H(x,y)=u_{x}(x,y)=-u_{y}(x,y)\,}$どこ

${\displaystyle H(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\left(2x^{n}-\left(\left(1-{\frac {x}{3}}\right)^{n}-\left({\frac {x}{3}}\right)^{n}\right)\right)\left(2y^{n}-\left(\left(1-{\frac {y}{3}}\right)^{n}-\left({\frac {y}{3}}\right)^{n}\right)\right)}$。

このゲームには、各プレイヤーが累積分布関数としてカントール特異関数を用いた混合戦略をとるという、独特な混合戦略均衡が存在する。^{[ 4 ]}