円錐曲線

円錐曲線、円錐曲線、または二次曲線は、円錐の表面が平面と交差して得られる曲線です。円錐曲線には、双曲線、放物線、楕円の 3 種類があります。円は楕円の特殊なケースですが、4 番目の種類と呼ばれることもあります。古代ギリシャの数学者は円錐曲線を研究し、紀元前 200 年頃にペルガのアポロニウスがその特性について体系的な研究を行ったことで頂点に達しました。

ユークリッド平面の円錐曲線にはさまざまな際立った特性があり、その多くは別の定義として使用できます。そのような特性の 1 つとして、非円形円錐曲線^[1]は、焦点と呼ばれる特定の点と準線と呼ばれる特定の直線までの距離が、離心率と呼ばれる一定の比率になっている点の集合であると定義されます。円錐曲線の種類は離心率の値によって決まります。解析幾何学では、円錐曲線は 2 次平面代数曲線として定義されます。つまり、座標がという形式で表せる 2 変数の二次方程式を満たす点の集合として定義されます。円錐曲線の幾何学的特性は、その方程式から導き出すことができます。 ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

ユークリッド平面では、3 種類の円錐曲線はまったく異なって見えますが、多くの特性を共有しています。ユークリッド平面を拡張して無限遠直線を含め、射影平面を得ると、見かけ上の違いはなくなります。双曲線の枝は無限遠で 2 点で交わり、1 つの閉じた曲線になります。また、放物線の両端は交わり、無限遠直線に接する閉じた曲線になります。さらに拡張して、実座標を複素座標まで拡張すると、この統一を代数的に確認できるようになります。

円錐曲線は何千年も研究され、ユークリッド幾何学において興味深く美しい結果の豊富な源泉を提供してきました。

円錐曲線は、切断面と呼ばれる平面と二重円錐(2 つのナップを持つ円錐)の表面との交差によって得られる曲線です。説明を簡単にするために、円錐は直円錐であると想定されることが多いですが、これは必須ではありません。円形の断面を持つ二重円錐であれば十分です。円錐の頂点を通る平面は、点、線、または交差する 2 本の線で円錐と交差します。これらは退化した円錐曲線と呼ばれ、一部の著者はこれを円錐曲線と見なしていません。特に明記しない限り、この記事の「円錐曲線」は退化していない円錐曲線を指します。

円錐曲線には、楕円、放物線、双曲線の 3 種類があります。円は特別な種類の楕円ですが、歴史的にはアポロニウスは 4 番目の種類とみなしていました。楕円は、円錐と平面の交点が閉じた曲線であるときに生じます。円は、切断面が円錐の母円の平面と平行であるときに得られます。直円錐の場合、切断面は軸に垂直であることを意味します。切断面が円錐の 1 つの母線と正確に平行である場合、円錐曲線は無限であり、放物線と呼ばれます。残りの場合、図形は双曲線です。平面は円錐の両半分と交差し、2 つの別々の無限曲線を生成します。

球面断面（平面と球の交差で円または点が生成）と球面円錐（楕円円錐と同心球の交差） も比較してください。

あるいは、平面幾何学のみで円錐曲線を定義することもできます。円錐曲線とは、固定点F (焦点と呼ばれる)までの距離が、 Pから固定線L (準線 と呼ばれる)までの距離の定数倍e (離心率と呼ばれる) であるすべての点P の軌跡です。0 < e < 1の場合は楕円、e = 1の場合は放物線、e > 1の場合は双曲線になります。

円は極限的なケースであり、ユークリッド平面上の焦点と準線によって定義されるものではありません。円の離心率はゼロと定義され、焦点は円の中心ですが、その準線は射影平面上の無限遠の直線としてのみとることができます。^[2]

楕円の離心率は楕円が円からどれだけ離れているかを表す尺度として考えることができます。^[3]

円錐の表面と軸の間の角度がであり、切断面と軸の間の角度がである場合、偏心率は^{[4]である。}${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$

焦点-準線の性質によって定義される上記の曲線が円錐と交差する平面によって得られる曲線と同じであることの証明は、ダンデリン球の使用によって容易になります。^[5]

あるいは、楕円は 2 つの焦点に関して、2 つの焦点までの距離の合計が2 aである点の軌跡として定義できます。一方、双曲線は、距離の差が2 aである軌跡です。(ここで、a は以下で定義する長半径です。) 放物線は、焦点と大体直角線 (準線に平行で焦点を通る) に関して定義することもできます。放物線は、焦点までの距離とその線までの距離の和または差が2 aに等しい点の軌跡です。点が準線と大体直角線の間にある場合はプラス、そうでない場合はマイナスになります。

離心率 ( e )、焦点、準線に加えて、円錐断面にはさまざまな幾何学的特徴と長さが関連付けられています。

主軸は楕円または双曲線の焦点を結ぶ線であり、その中点は曲線の中心です。放物線には中心がありません。

直線偏心度（c）は中心と焦点の間の距離です。

広直筋は準線に平行で焦点を通る弦であり、その半分の長さが半広直筋（ℓ）である。

焦点パラメータ（p）は、焦点から対応する準線までの距離です。

長軸は2 つの頂点間の弦です。楕円の場合は最も長い弦、双曲線の場合は枝間の最も短い弦です。長軸の半分の長さが半長軸( a ) です。楕円または双曲線が、焦点がx軸上にあり、中心が原点にある次の式のような標準位置にある場合、円錐曲線の頂点の座標は(- a , 0)と( a , 0)で、aは負ではありません。

短軸は楕円の最短の直径であり、その半分の長さは半短軸( b )であり、以下の標準方程式のbと同じ値です。類推により、双曲線の場合、標準方程式のパラメーターbは半短軸とも呼ばれます。

以下の関係が成り立つ：^[6]

• ${\displaystyle \\ell =pe}$
• ${\displaystyle \c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

標準位置の円錐曲線の場合、これらのパラメータは次の値を持ちます。 ${\displaystyle a,b>0}$

デカルト座標を導入した後、焦点-準線特性を使用して円錐曲線の点が満たす方程式を作成できます。^{[7]座標変更（}軸の回転と平行移動）により、これらの方程式を標準形式にすることができます。^[8]楕円と双曲線の場合、標準形式ではx軸が主軸、原点（0,0）が中心になります。頂点は（± a、0）、焦点は（± c、0）です。楕円の場合は方程式c ² = a ² − b ²で、双曲線の場合はc ² = a ² + b ²でb を定義します。円の場合はc = 0なのでa ² = b ²で、半径r = a = bです。放物線の場合、標準形式ではx軸上の焦点は点（a、0）にあり、準線は方程式x = − aの線です。標準形式では、放物線は常に原点を通ります。

長方形または正三角形の双曲線の場合 、漸近線が垂直になりますが、漸近線が座標軸で直線x = y が主軸となる別の標準形式があります。焦点の座標は( c , c )と(− c , − c )です。^[9]

• 丸：

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• 楕円：

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• 放物線：

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ }}a>0,}$

• 双曲線：

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• 直角双曲線: ^[10]

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

最初の 4 つの形式は、x軸とy軸の両方について対称 (円、楕円、双曲線の場合)、またはx軸のみについて対称 (放物線の場合) です。ただし、長方形双曲線は、 y = xとy = − x の線について対称です。

これらの標準形式は、次のようにパラメータ的に記述できます。

• 丸：

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• 楕円:

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• 放物線:

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• 双曲線:

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ または }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$、

• 直角双曲線:

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ ただし }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

直交座標系では、 2変数の2次方程式のグラフは常に円錐曲線になる（ただし退化している場合もある）^[a]。そして、すべての円錐曲線はこのようにして生じる。最も一般的な方程式は、次の形式である^[11]。

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

すべての係数が実数で、A、B、C がすべてゼロではありません。

上記の式は行列表記で次のように表される^[12]。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

一般的な方程式は次のようにも書ける。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.}$$

この形式は、射影幾何学のより一般的な設定で使用される同次形式の特殊化です (以下を参照)。

この式で表される円錐曲線は、式の判別式と呼ばれる値によって分類することができる。 ^[13] したがって、判別式は−4Δであり、 Δは行列式である。${\displaystyle B^{2}-4AC}$ ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

円錐曲線が非退化である場合、次の式が成り立つ: ^[14]

• B ² − 4 AC < 0の場合、方程式は楕円を表します。
  • A = CかつB = 0の場合、方程式は楕円の特殊なケースである円を表します。
• B ² − 4 AC = 0の場合、方程式は放物線を表します。
• B ² − 4 AC > 0の場合、方程式は双曲線を表します。
  • A + C = 0の場合、方程式は直角双曲線を表します。

ここで使用される表記では、AとB は多項式の係数であり、半長軸と半短軸をAとBと表記するいくつかの情報源とは対照的です。

円錐曲線の二次方程式の判別式B ² – 4 AC (または同等に2 × 2 行列の行列式 AC – B ² /4 ) と量A + C ( 2 × 2 行列のトレース) は、座標軸の任意の回転と平行移動に対して不変であり、^{[14] [15] [16]}上記の 3 × 3 行列の行列式も同様です。^{[17] : pp. 60–62}定数項Fと和D ² + E ²は回転に対してのみ不変です。^{[17] : pp. 60–62}

円錐曲線を代数的に次のように表すと、

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

離心率は二次方程式の係数の関数として表される。^[18] 4 AC = B ²の場合には円錐曲線は放物線となり、離心率は 1 となる（非退化の場合）。それ以外の場合、方程式が非退化双曲線または楕円を表すと仮定すると、離心率は次のように表される。

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}}},}$

ここで、上記の 3 × 3 行列の行列式が負の場合η = 1 、その行列式が正の場合η = −1です。

また、離心率は次の式の正の解である ことが示せる^{[17] : p. 89}

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0, }$

ここで、放物線や楕円の場合は、正の解が 1 つだけ（離心率）ありますが、双曲線の場合は、正の解が 2 つあり、そのうちの 1 つが離心率です。 ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

楕円や双曲線の場合、方程式

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

は、変換された変数の標準形に変換することができる^[19]${\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

または同等

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

ここで、およびは行列の固有値、つまり方程式の解 である。${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

— は上記の 3 × 3 行列の行列式であり、また2 × 2 行列の行列式でもあります。楕円の場合、2 つの半軸の 2 乗は標準形の分母によって表されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

極座標では、一方の焦点が原点にあり、もう一方の焦点がx軸上の負の値（楕円の場合）または正の値（双曲線の場合）にある円錐曲線は、次の式で表されます。

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

ここで、eは離心率、l は半側直腸です。

上記のように、e = 0の場合、グラフは円、0 < e < 1の場合、グラフは楕円、e = 1の場合、放物線、e > 1の場合、双曲線になります。

円錐方程式の極形式は力学でよく使われます。例えば、太陽の周りを回る物体の軌道を決定するときなどです。^[20]

2 つの (異なる) 点が直線を決定するのと同様に、5 つの点は円錐曲線を決定します。正式には、平面上の一般的な線状位置にある 5 点(つまり、3点が同一直線上にない) が与えられた場合、それらの点を通る唯一の円錐曲線が存在します。この円錐曲線は退化しません。これは、ユークリッド平面とその拡張である実射影平面の両方に当てはまります。確かに、任意の 5 点が与えられた場合、それらの点を通る円錐曲線が存在します。しかし、3 点が同一直線上にある場合、円錐曲線は退化 (直線を含むため、約分可能) し、一意ではない可能性があります。詳細については、を参照してください。

平面上の一般的な直線上の4つの点は、最初の3つの点を通り、4番目の点を中心とする唯一の円錐曲線を決定します。したがって、中心を知ることは、曲線を決定するために円錐曲線上の2つの点を知ることと同じです。^[21]

さらに、円錐曲線は、それが通過する一般的な位置にあるk個の点と、それに接する5- k本の直線の任意の組み合わせによって決定されます（ 0≤k≤5）。^[22]

平面上の任意の点は、円錐曲線の 0 本、1 本、または 2 本の接線上にあります。1 本の接線上の点は円錐曲線上にあります。接線上にない点は円錐曲線の内点(または内側の点) と呼ばれ、2 本の接線上の点は外点(または外側の点) と呼ばれます。

すべての円錐断面は、次のように述べることができる反射特性を共有しています。非退化円錐断面の形状のすべての鏡は、一方の焦点から来る光または一方の焦点に向かう光を、もう一方の焦点に向かって、またはもう一方の焦点から離れるように反射します。放物線の場合、2番目の焦点は無限遠にあると考える必要があり、2番目の焦点に向かう光線または2番目の焦点から来る光線は平行になります。^{[23] [24]}

パスカルの定理は、任意の非退化円錐上の 6 点の集合から構成される 3 点の共線性に関する定理です。この定理は 2 本の直線からなる退化円錐にも当てはまりますが、その場合はパップスの定理として知られています。

非退化円錐断面は常に「滑らか」です。これは、層流を確保し乱流を防ぐために滑らかな表面が求められる空気力学などの多くの用途にとって重要です。

円錐断面の最初の定義は、デロス問題（立方体の複製）の解決法の一部としてメナエクモス（紀元前320年に死去）によって与えられたと考えられています。 ^{[b] [25]}彼の作品は残っておらず、これらの曲線に使用した名前さえ残っておらず、二次的な記録を通じてのみ知られています。^[26]当時使用された定義は、今日一般的に使用されている定義とは異なります。円錐は、直角三角形をその1つの脚の周りで回転させて斜辺が円錐の表面を生成するようにすることで構築されます（このような線は母線と呼ばれます）。3種類の円錐は、頂点の角度（直角三角形で回転する斜辺と脚によって形成される角度の2倍で測定されます）によって決定されます。円錐断面は、これらの円錐の1つを、母線に垂直に引かれた平面と交差させることで決定されました。円錐の種類は円錐の種類、つまり円錐の頂点で形成される角度によって決まります。角度が鋭角の場合、円錐は楕円です。角度が直角の場合、円錐は放物線です。角度が鈍角の場合、円錐は双曲線（ただし曲線の片方の枝のみ）です。^[27]

ユークリッド（紀元前300年頃活躍）は円錐曲線に関する4冊の本を書いたと言われているが、これらも失われた。^[28] アルキメデス（紀元前 212年頃死去）は円錐曲線を研究したことが知られており、放物線と弦で囲まれた面積を『放物線の求積法』で決定している。彼の主な関心は円錐曲線に関連する図形の面積と体積の測定にあり、この研究の一部は円錐曲線の回転立体に関する著書『円錐体と回転楕円体について』として現存している。^[29]

古代ギリシャ人による円錐曲線の研究における最大の進歩は、ペルガのアポロニウス（紀元前 190年頃死去）によるもので、彼の8巻からなる『円錐曲線』は、既存の知識を要約し、大幅に拡張しました。^[30]アポロニウスによるこれらの曲線の特性の研究により、角度に関係なく、固定された二重円錐（2つの起毛）を切断する任意の平面は、以前の定義に従って円錐曲線を生成することが示され、今日一般的に使用されている定義につながりました。以前の方法では作図できなかった円も、この方法で作成できます。これが、アポロニウスが円を4番目のタイプの円錐曲線と見なした理由である可能性がありますが、この区別はもはや行われていません。アポロニウスは、これらの曲線に「楕円」、「放物線」、「双曲線」という名前を使用しましたが、これは以前のピタゴラスの面積に関する研究から用語を借用したものです。^[31]

アレクサンドリアのパップス（紀元 350年頃死去）は、円錐曲線の焦点の概念の重要性を解説し、放物線（アポロニウスの既知の著作には記載されていない）を含む関連する準線の概念を詳述したとされている。^[32]

アポロニウスの著作はアラビア語に翻訳され、その著作の多くはアラビア語版でのみ現存している。イスラムの数学者たちは理論の応用を見出し、最も有名なのはペルシャの数学者で詩人のオマール・ハイヤームである^[33]。彼は円錐曲線を用いて三次方程式を解く幾何学的手法を見出している^{[34] [35]}。

カイヤムのより有名な著作より1世紀前に、アブ・アル・ジュドは円錐曲線を使って四次方程式と三次方程式を解きましたが、^[36]彼の解法はすべての場合を扱ったわけではありませんでした。^[37]

円錐曲線を描くための器具は、1000年にアル・クヒによって初めて記述されました。^{[38] [39]}

ヨハネス・ケプラーは、限界の概念の先駆けとなる「連続性の原理」を通じて円錐曲線の理論を拡張した。ケプラーは1604年に初めて「焦点」という用語を使用した。 ^[40]

ジラール・デザルグとブレーズ・パスカルは、初期の射影幾何学を用いて円錐曲線の理論を考案し、この新しい分野の研究に弾みをつけました。特に、パスカルは、円錐曲線のその他の多くの特性を導き出すことができる、 神秘六芒星と呼ばれる定理を発見しました。

ルネ・デカルトとピエール・フェルマーは、新たに発見した解析幾何学を円錐曲線の研究に応用した。これにより、円錐曲線の幾何学的問題が代数の問題に還元された。しかし、円錐曲線を2次方程式の例として初めて定義したのは、1655年の論文『円錐曲線論』でジョン・ウォリスであった。 ^[41]より早く書かれ、後に出版されたヤン・デ・ウィットの『線状曲線原論』は、ケプラーの円錐曲線の運動学的構成から始まり、代数方程式を展開している。フェルマーの方法論とデカルトの表記法を採用したこの著作は、この主題に関する最初の教科書と評されている。^[42]デ・ウィットは「準線」という用語を発明した。^[42]

円錐曲線は天文学において重要です。ニュートンの万有引力の法則に従って相互作用する 2 つの巨大な物体の軌道は、それらの共通の質量の中心が静止していると考えられる場合、円錐曲線になります。それらが結合している場合は、両方とも楕円を描きます。離れている場合は、両方とも放物線または双曲線を描きます。二体問題を参照してください。

円錐断面の反射特性は、サーチライト、電波望遠鏡、および一部の光学望遠鏡の設計に使用されています。^[43]サーチライトは、焦点に電球が付いた放物面鏡を反射鏡として使用し、同様の構造が放物面マイクに使用されます。カナリア諸島のラパルマ島にある4.2メートルのハーシェル光学望遠鏡は、第1の放物面鏡を使用して光を第2の双曲面鏡に向かって反射し、第2の双曲面鏡はそれを第1の鏡の後ろにある焦点に再び反射します。

円錐曲線はユークリッド平面において非常によく似た特性を持ちますが、円錐曲線をより大きな幾何学の観点から見ると、この理由はより明確になります。ユークリッド平面は実射影平面に埋め込まれることがあり、円錐曲線はこの射影幾何学内のオブジェクトとみなすことができます。これを行う 1 つの方法は、同次座標を導入し、円錐曲線を、3 変数の既約 2 次方程式を満たす座標を持つ点の集合 (または同等に、既約 2次形式の零点) として定義することです。より技術的には、(任意の数の変数を持つ) 2 次形式 の零点である点の集合は二次曲線と呼ばれ、2 次元射影空間 (つまり、3 つの変数を持つ) の既約 2 次曲線は伝統的に円錐曲線と呼ばれています。

ユークリッド平面R ²は、平行クラスのすべての線がこの線上で交わるように、無限遠直線(およびそれに対応する無限遠点)を接線することによって、実射影平面に埋め込まれます。一方、実射影平面から始めて、ある線を無限遠直線として区別し、その線とそのすべての点を削除することによって、ユークリッド平面が得られます。

任意の分割環上の射影空間、特に実数または複素数上の射影空間では、すべての非退化円錐は同値であり、したがって射影幾何学ではタイプを指定せずに「円錐」について話す。つまり、任意の非退化円錐を他の任意の非退化円錐に写像する射影変換が存在する。[ 44 ^]

3 種類の円錐曲線は、射影空間の直線を無限遠直線として選択することで得られるアフィン平面に再び現れる。3 種類は、この無限遠直線が射影空間で円錐曲線とどのように交差するかによって決定される。対応するアフィン空間では、円錐曲線が無限遠直線と交差しない場合は楕円、円錐曲線が軸に対応する 1 つの二重点で無限遠直線と交差する場合は放物線、円錐曲線が漸近線に対応する 2 つの点で無限遠直線と交差する場合は双曲線が得られる。^[45]

同次座標では、円錐曲線は次のように表すことができます。

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

あるいは行列表記 で

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

上記の 3 × 3 行列は円錐曲線の行列と呼ばれます。

一部の著者は、一般同次方程式を次のように書くことを好む。

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

（またはこれのバリエーション）円錐曲線の行列はより単純な形になる。

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

しかし、この表記法はこの記事では使用されていません。^[c]

円錐曲線の行列の行列式がゼロの場合、円錐曲線は退化しています。

6つの係数すべてに同じ非ゼロのスカラーを掛けると、同じゼロのセットを持つ方程式が得られるので、（A、B、C、D、E、F）で表される円錐曲線を5次元射影空間の点として考えることができる。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

ユークリッド幾何学の計量概念（長さや角度の測定に関する概念）は、実射影平面にそのまま拡張することはできない。^[d]この新しい幾何学では、計量概念を再定義（一般化）する必要がある。これは任意の射影平面に対して実行できるが、実射影平面を拡張ユークリッド平面として得るためには、いくつかの特定の選択を行う必要がある。^[46]

射影平面上の任意の直線を固定し、これを絶対直線と呼びます。絶対直線上の 2 つの異なる点を選択し、それらを絶対点と呼びます。これらの選択を参照して、いくつかの計量概念を定義できます。たとえば、点Aと点 Bを含む直線が与えられた場合、線分ABの中点は、点Cとして定義されます。これは、点ABと絶対直線の交点の、 AとBに関する射影調和共役です。

2つの絶対点を含む射影平面上の円錐曲線は円と呼ばれます。円錐曲線は5つの点で決まるため、円（退化している場合もあります）は3つの点で決まります。拡張ユークリッド平面を得るために、絶対直線はユークリッド平面の無限遠直線に選ばれ、絶対点はその直線上の2つの特別な点であり、無限遠円点と呼ばれます。実座標を持つ2つの点を含む直線は無限遠円点を通らないため、この定義ではユークリッド平面では円は同一直線上にない3つの点によって決まります。^[47]

ユークリッド平面上の円は焦点-準線の性質によって定義できないことはすでに述べた。しかし、無限遠の直線を準線とみなすと、離心率をe = 0とすると、円は焦点-準線の性質を持つが、それでもその性質によって定義されるわけではない。^[48]この状況では、離心率の定義を正しく使用し、円上の点から焦点までの距離（半径の長さ）と、その点から準線までの距離（この距離は無限大）の比として、極限値ゼロを与えるように注意する必要がある。

射影平面における円錐曲線を定義するための総合的な（座標フリーの）アプローチは、1867 年にヤコブ・シュタイナーによって提案されました。

• 2点における2本の線分束（それぞれとを 含むすべての線分）と、からへの射影写像だが透視写像ではない写像が与えられる。すると、対応する線分の交点は非退化射影円錐曲線を形成する。^{[49] [50] [51] [52]}${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

鉛筆から鉛筆への透視写像は、対応する線が固定された線上で交差する一対一対応（1-1対応）であり、この線を透視軸と呼びます。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi }$

投影マッピングは、透視マッピングの有限のシーケンスです。

体上の射影平面（パッピアン平面）への射影写像は3本の直線の像を規定することによって一意に決定されるため、^[53]シュタイナーによる円錐曲線の生成には2点のほかに3本の直線の像のみを与えればよい。これら5つの項目（2点、3本の直線）によって円錐曲線が一意に決定される。 ${\displaystyle U,V}$

射影平面における双対性の原理により、各点の双対は直線であり、点の軌跡（ある条件を満たす点の集合）の双対は直線の包絡線と呼ばれる。シュタイナーの定義による円錐曲線（この点の軌跡を点円錐曲線と呼ぶ）を 2 つの関連する光線束の対応する光線の交わりとすると、異なる基底（点が通っている直線）上の 2 つの関連する範囲（直線上の点）の対応する点の結合部からなる対応する包絡線を双対化して得ることは容易である。このような包絡線は直線円錐曲線（または双対円錐曲線）と呼ばれる。

実射影平面では、点円錐はすべての直線が 2 点 (一致する場合も、複素数である場合もある) で交わるという性質があり、この性質を持つ点の集合はいずれも点円錐である。双対的に、線円錐はすべての点を通る直線を 2 本持ち、この性質を持つすべての線の包絡線は線円錐である。点円錐のすべての点には一意の接線があり、双対的に、線円錐のすべての線には接点と呼ばれる一意の点がある。重要な定理によれば、点円錐の接線は線円錐を形成し、双対的に、線円錐の接点は点円錐を形成する。^[54]

カール・ゲオルク・クリスティアン・フォン・シュタウトは、絶対点を持つ極性のすべての絶対点によって与えられる点集合として円錐曲線を定義しました。シュタウトは、射影幾何学からすべての計量概念を排除する試みの一環として、 この定義を『幾何学的距離』 （1847 年）で導入しました。

射影平面Pの極性πは、P上の点と直線の間の、入射関係を保つ単射である。したがって、極性は、点Qと直線qをπ ( Q ) = qおよびπ ( q ) = Qによって関連付ける。ジェルゴンヌに倣って、qはQの極、Q はqの極と呼ばれる。^[55]極性の絶対点（または直線）は、その極（極）に入射する点である。 ^[e]

実射影平面におけるフォン・シュタウトの円錐曲線はシュタイナーの円錐曲線と同等である。^[56]

定規とコンパスでは、円錐の連続した円弧を描くことはできません。ただし、円弧上の任意の数の個々の点に対して、定規とコンパスを使用して作図する方法はいくつかあります。

そのうちの 1 つはパスカルの定理の逆、つまり六角形の反対側の辺の交点が同一直線上にある場合、 6 つの頂点は円錐曲線上にあります。具体的には、 5 つの点A、B、C、D、Eと、 Eを通る直線EGが与えられた場合、この直線上にあり、5 つの点によって決まる円錐曲線上にある点F を構築できます。 AB がLでDE と交わり、BC がMでEGと交わり、CD がLMとNで交わるとします。すると、AN は必要な点FでEGと交わります。^[57] Eを通る直線を変えることで、円錐曲線上に任意の数の追加点を構築できます。

シュタイナーの構築法に基づいており、工学的な応用に有用な別の方法は、平行四辺形法である。この方法では、水平線と垂直線上の特定の等間隔の点を結ぶことによって円錐を点ごとに構築する。^{[58]具体的には、方程式}⁠で楕円を構築するには、× ²/2^つ⁠ + ⁠²年/b2 ^...⁠ = 1 の場合、まず頂点A ( a , 0)、B ( a , 2 b )、C (− a , 2 b )、 D (− a , 0)を持つ長方形ABCD を作成します。辺BC をn 個の等しい線分に分割し、対角線ACに対する平行投影を使用して、辺AB上に等しい線分を形成します(これらの線分の長さは⁠b/1つの⁠ BC上の線分の長さの倍)。 BCの辺で、線分の左側の端点を、 Bから始まりCに向かうA ₁からA _{nでラベル付けします。} ABの辺で、上側の端点を、 Aから始まりBに向かうD ₁からD _nでラベル付けします。 交点AA _i ∩ DD _i ( 1 ≤ i ≤ nの場合) は、 AとP (0, b )の間の楕円の点になります。 このラベル付けは、 Aを通る鉛筆の線とD を通る鉛筆の線を、遠近法ではなく射影的に関連付けます。 3 つの点A、D、 Pと 2 つの接線 ( AとDの垂直線) によって円錐が一意に決まるため、この構成によって目的の円錐曲線が得られます。 楕円の長軸と短軸の代わりに別の直径 (およびその共役直径) を使用すると、長方形ではない平行四辺形が構成に使用され、方法の名前が付けられます。鉛筆の線の関連付けを拡張して、楕円上の他の点を得ることができます。双曲線^[59]と放物線^[60]の構成も同様です。

さらに別の一般的な方法は、極性特性を利用して円錐曲線（直線円​​錐曲線）の接線エンベロープを構築する。^[61]

複素平面C ²では、楕円と双曲線は区別されません。つまり、双曲線は虚軸の長さを持つ楕円と考えることができます。たとえば、楕円は、幾何学的に複素回転を代入すると双曲線になり、 になります。したがって、楕円/双曲線と放物線の2通りの分類があります。曲線を複素射影平面に拡張すると、これは、無限遠直線と2つの異なる点（2つの漸近線に対応）または1つの二重点（放物線の軸に対応）で交差することに相当します。したがって、実双曲線は複素楕円/双曲線のより示唆に富んだ実像であり、無限遠直線との2つの（実際の）交点も持っています。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle y=iw,}$${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

複素射影平面 CP ²ではさらに統一が行われます。非退化円錐は、射影線形変換によって任意の円錐に変換できるため、互いに区別できません。

CP ²では、2 つの円錐曲線に共通点が 4 つあることが証明できます(重複度を考慮に入れると)。そのため、交点は1 ～ 4 個あります。交点の可能性のある点は、4 つの異なる点、2 つの特異点と 1 つの二重点、2 つの二重点、1 つの特異点と重複度 3 の 1 つ、重複度 4 の 1 つの点です。交点のいずれかの重複度が 1 より大きい場合、2 つの曲線は接していると言われます。重複度が 3 以上の交点がある場合、2 つの曲線は接触していると言われます。重複度が 4 の交点が 1 つだけある場合、2 つの曲線は接触していると言われます。^[62]

さらに、各直線は各円錐曲線と 2 回交差します。交差点が 2 回交差する場合、その直線は接線です。各円錐曲線は、無限遠点と交差して 2 つの無限遠点を持ちます。これらの点が実数の場合、曲線は双曲線です。これらの点が虚数共役の場合は楕円です。2 回交差する点が 1 つだけの場合は放物線です。無限遠点が巡回点 [1: i : 0]と[1: – i : 0]の場合、円錐曲線は円です。円錐曲線の係数が実数の場合、無限遠点は実数または複素共役のいずれかになります。

何を円錐曲線の退化ケースと見なすべきかは、使用されている定義と円錐曲線の幾何学的設定によって異なります。円錐曲線を 2 次元の非退化 2 次曲線と定義する著者もいます。この用語では退化円錐曲線は存在しません (退化 2 次曲線のみ) が、ここではより伝統的な用語を使用し、その定義は避けます。

ユークリッド平面では、幾何学的定義を用いると、切断面が円錐の頂点を通過するときに退化のケースが生じる。退化した円錐曲線は、平面が円錐の頂点のみで交差する場合は点、平面が円錐に接する場合は直線（円錐の生成子がちょうど1つ含まれる）、または交差する2本の線（円錐の生成子が2つ）のいずれかである。^[63]これらはそれぞれ、楕円、放物線、双曲線の極限形に対応する。

ユークリッド平面上の円錐曲線が二次方程式の零点によって（すなわち、二次曲線として）定義されている場合、退化した円錐曲線は、空集合、点、または平行、点で交差、または一致する直線のペアになります。空集合の場合は、方程式のように複素共役平行線のペア、または方程式のように架空の楕円のいずれかに対応します。架空の楕円は退化の一般的な定義を満たさないため、通常は退化しているとは見なされません。^[64] 2 本の直線の場合は、二次式が 2 つの線形因子に因数分解され、それぞれの零点が直線になる場合に発生します。因子が同じ場合は、対応する直線が一致し、その直線を二重直線（重複度2の直線）と呼びます。これは、接線切断面の前のケースです。 ${\displaystyle x^{2}+1=0,}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$

実射影平面では、平行線は無限遠直線上の点で交わるので、ユークリッド平面の平行線の場合は交差する線と見なすことができます。しかし、交差点は円錐の頂点であるため、円錐自体は円筒、つまり頂点が無限遠にある円柱に退化します。この場合の他のセクションは円筒セクションと呼ばれます。^[65]退化していない円筒セクションは楕円（または円）です。

複素射影平面の観点から見ると、実二次方程式の退化したケース (つまり、二次方程式が実係数を持つ) はすべて、おそらく一致する 2 本の直線と見なすことができます。空集合は、二重直線として見なされる無限遠直線である可能性があり、(実) 点は 2 本の複素共役直線の交点であり、その他のケースは前述のとおりです。

行列表記法を用いて退化の場合と非退化の場合（後者の空集合を含む）を区別するために、βを円錐曲線の3×3行列の行列式とします。つまり、β = ( AC − ⁠B2 ^.../4⁠ ) F + ⁠ベッド− CD ² − AE ²/4⁠ ; そしてα = B ² − 4 ACを判別式とする。すると、 β ≠ 0のときのみ円錐曲線は非退化となる。 β = 0のとき、 α < 0のときは点があり、 α = 0のときは2本の平行線（おそらく一致する）があり、 α > 0のときは2本の交差する線がある。 ^[66]

（非退化）円錐曲線は、平面上の一般的な位置にある5つの点（同一直線上にない3点）によって完全に決定され、固定された4点（これも平面上であり同一直線上にない）を通過する円錐曲線のシステムは円錐曲線ペンシルと呼ばれます。^[67] 4つの共通点は、円錐曲線の基点と呼ばれます。基点以外の任意の点を通過する円錐曲線は1つです。この概念は、円のペンシルを一般化します。^[68]

2 つの変数の 2 次方程式の連立方程式の解は、2 つの一般的な円錐曲線の交点の座標として考えることができます。特に、2 つの円錐曲線には、一致する交点が 0 個、2 個、または 4 個ある場合があります。これらの解を見つける効率的な方法は、円錐曲線の同次行列表現、つまり 6 つのパラメータに依存する 3 × 3対称行列を利用することです。

交点を見つける手順は次の手順に従う。円錐曲線は行列で表される。^[69]

• 2つの円錐曲線とが与えられたとき、それらの線形結合によって与えられる円錐曲線の束を考える。${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• 鉛筆の退化した円錐曲線に対応する同次パラメータを特定します。これは、およびという条件を課して、およびを解くことによって実行できます。これらは、3次方程式の解であることがわかります。${\displaystyle [\lambda :\mu ]}$${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$
• 退化した円錐曲線が与えられた場合、それを構成する 2 本の線 (一致する可能性もある) を特定します。${\displaystyle C_{0}}$
• 特定された各線を、元の 2 つの円錐曲線のいずれかと交差させます。
• 交点は初期方程式系の解を表します。

円錐曲線は他の体（つまり、他のパッピアン幾何学）上で定義されることがあります。ただし、体に特性2がある場合、一部の式は使用できないため注意が必要です。たとえば、上で使用した行列表現では 2 で割る必要があります。

射影平面における非退化円錐曲線の一般化は楕円です。楕円は円錐曲線が持つ以下の特性を持つ点集合です: 1) 任意の直線は楕円と 0 点、1 点、または 2 点で交差します。2) 楕円の任意の点には、一意の接線が存在します。

円錐曲線の焦点特性を、焦点が 2 つ以上ある場合に一般化すると、一般化円錐曲線と呼ばれる集合が生成されます。

楕円錐と球の交差は球面円錐であり、平面円錐と多くの特性を共有します。

楕円型、放物型、双曲型への分類は数学で広く行われており、分野をはっきりと区別できるサブフィールドに分割することがよくあります。この分類は主に二次形式の存在によって生じます (2 つの変数の場合、これは関連する判別式に対応します) が、離心率に対応する場合もあります。

二次形式の分類:

二次形式

実数上の二次形式は、シルベスターの慣性法則、つまり正の指数、ゼロの指数、負の指数によって分類されます。 変数 の二次形式は、次のように対角形式に変換できます。ここで、+1 係数の数は正の指数、-1 係数の数は負の指数、残りの変数はゼロの指数です。したがって、 2 つの変数では、ゼロ以外の二次形式は次のように分類されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \ell ,}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$— 正定値（負数も含む）、楕円に対応、
• ${\displaystyle x^{2}}$— 退化しており、放物線に対応し、
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$— 不定、双曲線に対応します。

2 変数の二次形式は、双曲線と同様に判別式によって分類されますが、高次元では、定形式(すべて正またはすべて負)、退化形式(ゼロがいくつか)、または不定形式(正と負が混在し、ゼロがない) として分類する方が便利です。この分類は、その後に続く多くの分類の基礎となります。

曲率

曲面のガウス曲率は無限小幾何学を記述し、各点において正（楕円幾何学）、ゼロ（ユークリッド幾何学（平坦、放物線）、または負（双曲幾何学））のいずれかになります。無限小では、2 次まで曲面は（または 0）、またはのグラフのように見えます。実際、均一化定理により、すべての曲面は、大域的に（すべての点で）正に曲がっている、平坦である、または負に曲がっていると見なすことができます。より高次元では、リーマン曲率テンソルはより複雑なオブジェクトですが、断面曲率が一定である多様体は興味深い研究対象であり、断面曲率で説明されているように、著しく異なる特性を持ちます。${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

2階偏微分方程式

2次偏微分方程式(PDE) は、2 次項が楕円、放物、双曲の 2 次形式に対応するため、各点で楕円型、放物型、双曲型に分類されます。これらの異なるタイプの PDE の動作と理論は著しく異なります。代表的な例として、ポアソン方程式は楕円型、熱方程式は放物型、波動方程式は双曲型です。

偏心度の分類には次のものがあります:

メビウス変換

実メビウス変換（PSL ₂ ( R )またはその2重被覆SL ₂ ( R )の元）は、半トレースに応じて、または離心率による分類を反映して、楕円型、放物型、双曲型に分類されます。${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

分散平均比

分散平均比は離散確率分布のいくつかの重要なファミリーを分類します。定数分布は円形（離心率 0）、二項分布は楕円形、ポアソン分布は放物線型、負の二項分布は双曲型に分類されます。これは、いくつかの離散確率分布のキュムラントで詳しく説明されています。

• 共焦点円錐断面
• 円錐曲線と非円錐曲線
• ディレクターサークル
• 楕円座標系
• 等距離セット
• 放物線座標
• 二次関数
• 球面円錐

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