角度

角度記号（${\displaystyle \angle }$または${\displaystyle {\widehat {\quad }}}$（「角度」と読みます）は、1つまたは3つの定義点とともに、幾何学的図形の角度を識別するために使用されます。たとえば、頂点Aと光線によって形成される角度は、${\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}$そして${\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}$は次のように表されます$\displaystyle \angle {\text{A}}}$（頂点のみを使用する場合）または${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$（頂点は常に中央に名前が付けられます）。角度の大きさまたは測定値は次のように表されます。${\displaystyle m\angle {\text{A}}}$または${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}$。

幾何学的図形や数式では、角度の大きさを表す変数としてギリシャ文字（α、β、γ、θ、φ、 …）や小文字のローマ字（a、b、c、…）を使用することも一般的です。 ^{[ 12 ]}角度の測定は一般的にスカラー量ですが、^{[ 13 ]}物理学や数学の一部の分野では、慣例として符号付き角度を使用して回転方向を示します。正は反時計回り、負は時計回りです。^{[ 14 ]}   

角度はさまざまな単位で測定され、最も一般的なのは度（記号°で表される）、ラジアン（記号radで表される）、および回転です。これらの単位は、完全な角度、つまり最初は他の光線と合同であった一方の光線が頂点を中心に完全に回転して元の位置に戻る角度を分割する方法が異なります。^{[ 15 ]}

度と回転は、1回転または360°を測定する全角を直接参照して定義されます。^{[ 16 ]}回転による測定値は、全角に対する角度の大きさの比率を示し、度は回転の細分と考えることができます。ラジアンは、全角に直接関連して定義されるのではなく（§ 角度の測定を参照）、その測定値が約6.28ラジアンである2πラジアンとなるように定義されます。^{[ 17 ]}  

歴史的には、角度の単位として直線角や半角などが選ばれ、全角には180という値が割り当てられていました。

角度加法公理は、D が内部にある点である場合、${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$そして：^{[ 18 ]}$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}$$この関係は、任意の 2 つの角を足し合わせるという意味を定義します。それらの頂点を辺を共有しながら一緒に配置して、新しいより大きな角を作成します。新しいより大きな角の大きさは、2 つの角の大きさの合計です。引き算は、公式を並べ替えることで得られます。^{[ 18 ]}

• 0°に等しい角度、または回転していない角度は、零角と呼ばれます。^{[ 19 ]}
• 直角より小さい角度（90°未満）は鋭角と呼ばれます。^{[ 20 ]}
• 1/4回転（ 90 °またはπ / 2ラジアン）に等しい角度は直角と呼ばれます。直角を形成する2つの線は、法線、直交、または垂直であると言われます。^{[ 21 ]}  
• 直角より大きく、平角より小さい角度（90°から180°の間）は鈍角と呼ばれます^{[ 20 ]}（「鈍角」は「鈍い」という意味です）。
• 1/2回転（180°またはπラジアン）に等しい角度は直線角と呼ばれます。^{[ 19 ]}  
• 直線角よりも大きく、1回転未満（180°から360°の間）の角度を反射角 と呼びます。
• 1回転（360°または2π ラジアン）に等しい角度は、全角、完全角、円角、またはペリゴンと呼ばれます。
• 直角の倍数ではない角度を斜角と呼びます。

隣接角（略称：adj.∠s）とは、共通の頂点と辺を共有するが、内部の点を共有しない角のことです。言い換えれば、隣接して並び、「腕」を共有する角のことです。

対頂角は、2本の直線が1点で交わり、4つの角を生じるときに形成されます。互いに反対側にある2つの角は、対頂角、または垂直反対角（略してvert. opp. ∠s）と呼ばれます。 ^{[ 22 ]}ここで「垂直」とは、上下方向ではなく、頂点を共有することを意味します。定理によれば、対頂角は常に合同または等しいとされています。 ^{[ 23 ]}横断線 は、2本の（多くの場合平行な）直線と交わる直線であり、外角、内角、錯外角、錯内角、同位角、および連続内角と関連付けられています。 ^{[ 24 ]}

2つの角度（隣接しているか空間的に離れているかに関わらず）を合計する場合、3つの特別なケースがあり、それぞれ補角、補角、および余角と呼ばれます。

補角とは、その角度の合計が直角（1/4回転、90°、またはπ/2ラジアン）になる角度のペアのことです。2つの補角が隣接している場合、それらの共有されていない辺は直角を形成します。直角三角形では、三角形の内角の合計が180°であるため、2つの鋭角は補角になります。角度と直角の差は、その角度の補角と呼ばれます。 ^{[ 6 ]}

補角の合計は直線角（1/2回転、180°、またはπラジアン）になります。2つの補角が隣接している場合、それらの共有しない辺は直線角または直線を形成し、線形対角と呼ばれます。 ^{[ 25 ]}角と直線角の差は、その角の補角と呼ばれます。 ^{[ 26 ]}

補角または共役角の合計は、完全な角度（1回転、360°、または2πラジアン）になります。 ^{[ 27 ]}角度と完全な角度の差は、その角度の補角または共役と呼ばれます。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}

隣接しない補角の例としては、平行四辺形の隣接する角や円に内接する四角形の対角などがあります。中心がOの円において、円の外側の点Pから引いた接線が点Tと点Qで円に接する場合、結果として生じる角∠TPQと∠TOQは補角となります。

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  角度aと は補角でbある
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  角度aと は補角でbある
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  角度AOBと は補角または共役角CODです

• 単純多角形に含まれる角のうち、その多角形の内側にある角を内角と呼びます。単純な凹多角形には、少なくとも1つの内角、すなわち優角が存在します。
  ユークリッド幾何学では、三角形の内角の合計はπラジアン、180°、または1/2回転になります。単純な凸四角形の内角の合計は2πラジアン、360°、または1回転になります。一般に、 n辺の単純な凸多角形の内角の合計は( n - 2 ) πラジアン、つまり( n - 2 )180度、( n - 2 ) 2直角、または( n - 2) 1/2回転になります。           
• 内角の補角は外角と呼ばれます。つまり、内角と外角は線形の角のペアを形成します。多角形の各頂点には 2 つの外角があり、それぞれは頂点で交わる多角形の 2 つの辺のうちの 1 つを延長することによって決定されます。これらの 2 つの角は垂直であるため、等しくなります。外角は、多角形をなぞるために頂点で行う必要がある回転の量を測定します。^{[ 30 ]}対応する内角が反射角である場合、外角は負とみなされます。単純でない多角形でも、外角を定義できる場合があります。それでも、外角の測定値の符号を決定するために、平面(または表面)の向きを選択する必要があります。
  ユークリッド幾何学において、単純な凸多角形の外角の和は、各頂点に2つの外角のうち1つだけが存在すると仮定した場合、1回転（360°）になります。ここでいう外角は、補外角とも呼ばれます。外角は、Logo Turtleプログラムで正多角形を描画する際によく使用されます。
• 三角形において、 2つの外角の二等分線と他の内角の二等分線は一点で交わる（一点で交わる）。^{[ 31 ]： 149}
• 三角形において、外角の二等分線と反対側の延長辺との交点は、それぞれ同一直線上にある。^{[ 31 ]： 149}
• 三角形において、3つの交点、すなわち内角の二等分線と対辺との間の2点と、もう一方の外角の二等分線と対辺の延長線との間の3点が同一直線上にある。^{[ 31 ]： 149}
• 一部の著者は、単純な多角形の外角という名称を、内角の補角（補角ではない！）を意味するために使用しています。 ^{[ 32 ]}これは上記の用法と矛盾します。

• 2 つの平面(多面体の隣接する 2 つの面など)の間の角度は、二面角と呼ばれます。^{[ 6 ]}これは、平面に垂直な2 つの線の間の鋭角として定義できます。
• 平面と交差する直線との間の角度は、交差する直線と平面の法線との間の角度と相補的である。

選択した基準角（直角、平角、または全角）を等しい部分に分割し、その部分の大きさを他の角度を測定するための単位として使用することができます。

実用的な角度測定の最も一般的な方法では、直角は度と呼ばれる 90 等分されますが、まれに使用される百分率システムでは、直角はグラジアンと呼ばれる 100 等分されます。^{[ 37 ] [ 38 ]}

円形測定では、任意の大きさの円の中に角度を配置し、頂点を円の中心に置き、辺が円周と交わるようにします。

2つの交点間の周長として長さsの弧が形成され、これが角度をなすと言われる。長さsを用いて角度θの大きさを測ることができるが、sは選択した円の大きさに依存するため、測定値をスケーリングする必要がある。これは、 sを円の半径rまたは円周Cで割ることによって行うことができる。

長さsと半径rの比は角度のラジアン数であり、 ^{[ 35 ]}長さsと円周Cの比は回転数である。 $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }$$

このように定義されたθの値は円の大きさに依存しない。半径の長さが変わると、円周と弧の長さも同じ割合で変化するため、比率⁠ s / r ⁠と⁠ s / C ⁠は変化しない。^{[ nb 1 ]}

比率⁠ s / r ⁠は角度の「ラジアン測定」^{[ 18 ]}または「円測定」^{[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]}と呼ばれますが、ラジアンと呼ばれる測定単位を定義するためにも使用されます。ラジアンは、比率⁠ s / r ⁠ = 1となる角度として定義されます。^{[ 39 ]}したがって、 ⁠ s / r ⁠で与えられる角度の測定は、2 つの方法で考えることができます。1 つ目は、角度自身の比率 (弧の長さと半径の比) による測定として、2 つ目は、角度内の単位の量 (測定された角度の弧の長さと単位角度の弧の長さの比) としてです。^{[ 41 ] [ 38 ]}

以下の表は、角度を表す際に用いられる代表的な単位をいくつか示しています。

数学および国際量体系では、角度は無次元量として定義されており、^{[ 42 ]}特にラジアンは国際単位系で無次元量として定義されています。^{[ 43 ]}この慣習により、角度は次元解析の情報を提供することができません。たとえば、弧の長さを半径で割ってラジアンで角度を測定する場合、本質的には長さを別の長さで割っていることになり、長さの単位が互いに打ち消し合います。したがって、結果である角度は、メートルや秒のような物理的な「次元」を持ちません。^{[ 44 ]}これは、ラジアン、度、回転などのすべての角度の単位に当てはまります。これらはすべて、何かがどれだけ回転したかを定量化する純粋な数値を表します。^{[ 45 ]}このため、多くの方程式では、角度の単位が計算中に「消える」ように見え、一貫性がなく、角度の単位を混同する可能性があります。^{[ 46 ] [ 47 ]}

このため、科学者や教育者の間で大きな議論が巻き起こっています。一部の科学者は、角度を長さや時間と同様に独自の基本次元を持つものとして扱うことを提案しています。^{[ 48 ]}これは、ラジアンなどの角度の単位が常に計算に明示的に含まれることを意味し、次元解析が容易になります。しかし、このアプローチでは、よく知られている多くの数学や物理の公式を変更する必要があり、公式が長くなり、おそらく少し馴染みが薄れるでしょう。^{[ 49 ]}今のところ、確立された慣習は、適切な場合には角度の単位を記述しますが、これらの単位は重要であるものの、メートルやキログラムとは異なる振る舞いをするという理解のもと、無次元として扱うことです。^{[ 50 ]}

∠BACと表記される角度は、A を中心とした B から C への時計回りの角度、A を中心とした B から C への反時計回りの角度、A を中心とした C から B への時計回りの角度、または A を中心とした C から B への反時計回りの角度の 4 つの角度のいずれかを指す可能性があります。したがって、正と負の角度の値が、何らかの基準に対して反対方向または反対の「向き」での方向や回転を表すことを可能にする慣例を設けることがしばしば役立ちます。

2次元直交座標系では、角度は通常、原点を頂点とする2辺によって定義されます。始点は正のx軸上にあり、終点は始点からのラジアン、度、または回転数によって定義されます。正の角度は正のy軸への回転を表し、負の角度は負のy軸への回転を表します。直交座標が、 x軸を右方向、y軸を上方向とする標準位置で表される場合、正の回転は反時計回り、負の回転は時計回りになります。

多くの状況において、 −θという角度は実質的に「1回転からθを引いた角度」と等価です。例えば、−45° で表される向きは、360° − 45°または 315° と定義される向きと実質的に等価です。最終的な位置は同じですが、−45° の物理的な回転（動き）は 315° の回転とは異なります（例えば、埃っぽい床に置かれたほうきを持った人が回転すると、床に残る掃き跡は視覚的に異なるものになります）。

三次元幾何学では、「時計回り」と「反時計回り」には絶対的な意味がないため、正の角度と負の角度の方向は、通常、角度の頂点を通り、角度の光線が存在する平面に垂直な法線ベクトルによって決定される向きによって定義されなければなりません。

航海において、方位角は北を基準として測定されます。慣例として、上から見た場合、方位角は時計回りを正とするため、方位角45°は北東方向を表します。航海では負の方位角は使用されないため、北西方向は方位角315°に相当します。

• 同じ大きさ（つまり、同じ角度）を持つ角は、等しい、または合同であると言われます。角はその大きさによって定義され、角の辺の長さには依存しません（例えば、すべての直角は同じ大きさです）。
• 終辺を共有するが、角度の大きさが回転の整数倍だけ異なる2つの角度を同終角と呼びます。
• 標準位置にある任意の角度θの基準角(関連角とも呼ばれる)は、 θの終線と x 軸 (正または負)の間の正の鋭角です。 ^{[ 51 ]}手順としては、与えられた角度の基準角の大きさは、角度の大きさを 1/2 回転、180°、または π ラジアンで割った余りを取り、角度が鋭角の場合はそこで止め、そうでない場合は補角 (180° から縮小された大きさを引いた値) を取ることで決定できます。たとえば、30 度の角度はすでに基準角であり、150 度の角度も 30 度 ( 180° − 150° ) の基準角を持ちます。 210°と510°の角度も、30度の基準角に対応します（210° mod 180° = 30°、510° mod 180° = 150°で、その補角は30°です）。

角度の単位については、角度加算の公理が成り立つことが定義上当然であるが、角度に関連する測定値や量の中には、この公理を満たさないものも存在する。

• 傾斜または勾配は角度の正接に等しく、多くの場合、パーセント（「上昇」÷「水平移動」）で表されます。非常に小さい値（5%未満）の場合、直線の傾斜は、水平方向との角度をラジアンで表した値とほぼ等しくなります。標高勾配は、道路、小道、鉄道線の傾斜を示すために使用される勾配です。
• 2本の線の間の間隔は、有理幾何学において、それらの線の間の角度の正弦の2乗として定義されます。ある角度の正弦とその補角の正弦は同じであるため、一方の線をもう一方の線に写像するような任意の回転角度は、それらの線の間の間隔に同じ値をもたらします。
• めったに行われないが、角度の正弦など、三角関数の直接的な結果を報告することも可能である。

抽象的な実内積空間で角度を定義するために、ユークリッドのドット積（・）を内積に置き換えます。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$つまり $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

複素内積空間では、上記のコサインの式は非実数値を与える可能性があるため、次のように置き換えられます。 $${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|。}$$ または、より一般的には、絶対値を使用して、 $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

後者の定義はベクトルの方向を無視している。したがって、それは一次元部分空間間の角度を表している。${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$そして${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$ベクトルによって張られる${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$それに応じて。

1次元部分空間間の角度の定義${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$そして${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$によって与えられた $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$ヒルベルト空間 は、有限次元の部分空間に拡張できます。2 つの部分空間が与えられた場合、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$、${\displaystyle {\mathcal {W}}}$と${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$これは、${\displaystyle k}$部分空間間の角度は、正準角または主角と呼ばれる。

リーマン幾何学では、計量テンソルは2つの接線間の角度を定義するために使用されます。ここで、UとVは接線ベクトルであり、g _ijは計量テンソルGの成分です。 $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

双曲線角は双曲線関数の引数であり、円角は円関数の引数である。この比較は、双曲線扇形と円扇形の開口部の大きさとして視覚化できる。これらの扇形の面積は、それぞれの角度の大きさに対応するからである。 ^{[ 53 ]}円角とは異なり、双曲線角は無限である。円関数と双曲線関数を角度引数の無限級数と見なすと、円関数は双曲線関数の交代級数形式にすぎない。角度の関数に対応する2つの級数のこの比較は、レオンハルト・オイラーが『無限の解析入門』 （1748年）で記述した。

対頂角の等しさは、対頂角の定理と呼ばれます。ロードスのエウデモスは、この証明をミレトスのタレスに帰しました。^{[ 58 ] [ 23 ]}この命題は、一対の対頂角が隣接する2つの角の補角であるため、対頂角の大きさが等しいことを示しました。ある歴史的注釈によると、^{[ 23 ]}タレスがエジプトを訪れた際、エジプト人は2本の交差する線を引くたびに、対頂角を測定して等しいことを確認していたことを観察しました。タレスは、次のような一般的な概念を受け入れれば、すべての対頂角が等しいことを証明できると結論付けました。

• すべての直線角は等しい。
• 等しいものに等しいものを足すと、等しいものになる。
• 等しいものから等しいものを引いたものは等しい。

隣接する 2 つの角が直線を形成する場合、それらは補角の関係にあります。したがって、角Aの大きさをxとすると、角Cの大きさは180° − xとなります。同様に、角Dの大きさも180° − xとなります。角Cと角Dはどちらも180° − xに等しく、合同です。角B は角Cと角Dの両方の補角であるため、これらの角の大きさのいずれかを使用して角Bの大きさを求めることができます。角Cまたは角Dのいずれかの大きさを使用すると、角Bの大きさは180° − (180° − x ) = xとなります。したがって、角Aと角B はどちらもxに等しく、大きさが等しくなります。