定理

数学と形式論理学において、定理とは証明された、または証明できる命題である。 ^{[a] [2] [3]}定理の証明は、演繹体系の推論規則を使用して、定理が公理と以前に証明された定理の論理的帰結であることを証明する論理的議論である。

主流の数学では、公理と推論規則は一般に暗黙のまま残されており、この場合、それらはほとんどの場合、選択公理を持つツェルメロ-フランケル集合論(ZFC) のもの、またはペアノ算術などのそれほど強力ではない理論のものである。^[b]一般に、明示的に定理と呼ばれる主張は、他の既知の定理から直接導かれるものではない証明された結果である。さらに、多くの著者は最も重要な結果のみを定理とみなし、それほど重要でない定理には補題、命題、系という用語を使用する。

数理論理学では、定理と証明の概念が形式化され、それらについて数学的な推論が可能になっている。この文脈では、文は何らかの形式言語の整形式の式になる。理論は、公理と呼ばれるいくつかの基礎文と、いくつかの演繹規則（公理に含まれることもある）で構成される。理論の定理とは、演繹規則を使用して公理から導き出せる文である。^{[c]この形式化により}証明理論が生まれ、定理と証明に関する一般定理を証明できるようになった。特に、ゲーデルの不完全性定理は、自然数を含むすべての矛盾のない理論には、理論の定理ではない（つまり、理論内では証明できない）自然数に関する真の文があること を示している。

公理は物理世界の特性を抽象化したものであることが多いため、定理は何らかの真実を表現していると考えられるが、実験的な科学法則の概念とは対照的に、定理の真実性の正当化は純粋に演繹的である。^{[6] [7]} 推測は、真実であることが証明されれば定理へと発展する可能性のある暫定的な命題である。

19 世紀末の数学の基礎的危機まで、すべての数学理論は、自明であると考えられていた少数の基本的性質から構築されていました。たとえば、すべての自然数には後続の数が存在することや、 与えられた 2 つの異なる点を通過する直線は正確に 1 本存在するという事実などです。絶対的に明らかであると考えられていたこれらの基本的性質は、公理または公理と呼ばれていました。たとえば、ユークリッドの公理です。すべての定理は、これらの基本的性質を暗黙的または明示的に使用して証明され、これらの基本的性質の証拠により、証明に誤りがない限り、証明された定理は決定的な真実であると考えられていました。たとえば、三角形の内角の合計は180° であり、これは疑いのない事実であると考えられていました。

数学の根本的な危機の 1 つの側面は、矛盾をもたらさない非ユークリッド幾何学の発見であったが、そのような幾何学では三角形の角度の合計は 180° とは異なる。したがって、 「三角形の角度の合計は 180° に等しい」という特性は、ユークリッドの第 5 公準が仮定されるか否定されるかによって、真か偽かのいずれかになる。同様に、集合の「明白な」基本特性の使用は、ラッセルのパラドックスの矛盾につながる。これは、集合の操作に許可される規則を詳しく説明することで解決された。

この危機は、数学の基礎を再検討し、より厳密なものにすることで解決されました。これらの新しい基礎では、定理とは、理論の公理と推論規則から証明できる、数学理論の整形式の式です。したがって、三角形の角度の和に関する上記の定理は次のようになります。ユークリッド幾何学の公理と推論規則によれば、三角形の内角の合計は 180° に等しくなります。同様に、ラッセルのパラドックスは、公理化された集合論では、すべての集合の集合を整形式の式で表現できないため、消えます。より正確には、すべての集合の集合を整形式の式で表現できる場合、これは理論が矛盾していることを意味し、すべての整形式の主張とその否定は定理です。

この文脈では、定理の妥当性はその証明の正確さのみに依存します。定理の妥当性は、真実性や公理の意義とは無関係です。これは、公理の意義が重要でないという意味ではなく、定理の妥当性が公理の意義とは無関係であるという意味です。この独立性は、数学のある分野の結果を、一見無関係な分野で使用できるようにするため、役立つ場合があります。

数学についてのこの考え方の重要な結果は、数学の理論と定理を数学的な対象として定義し、それらについての定理を証明できることです。例としては、ゲーデルの不完全性定理があります。特に、アンビエント理論の定理ではないことが証明できる適切な主張がありますが、それらはより広い理論では証明できます。一例としては、グッドスタインの定理があり、これはペアノ​​算術で述べることができますが、ペアノ算術では証明できないことが証明されています。ただし、ツェルメロ-フランケル集合論などのより一般的な理論では証明できます。

多くの数学の定理は条件文であり、その証明は仮説または前提と呼ばれる条件から結論を導き出します。証明を真実の正当化として解釈すると、結論は仮説の必然的な帰結と見なされることが多いです。つまり、仮説が真であれば結論も真であり、それ以上の仮定は必要ありません。ただし、特定の演繹システムでは、導出規則と条件記号に割り当てられた意味に応じて、条件文の解釈が異なる場合があります (例:非古典的論理)。

定理は完全に記号形式で記述することもできますが（たとえば、命題計算の命題として）、読みやすさを向上させるために、英語などの自然言語で非公式に表現されることもよくあります。証明についても同様で、証明は論理的に構成され、明確に表現された非公式の議論として表現されることが多く、定理の記述が疑う余地なく真実であることを読者に納得させることを意図しており、原理的には正式な記号証明を構築することができます。

読みやすさに加えて、非公式の議論は、純粋に記号的な議論よりも一般的に検証が容易です。実際、多くの数学者は、定理の妥当性を証明するだけでなく、それが明らかに正しい理由を何らかの方法で説明する証明を好みます。場合によっては、図を証明として使用して定理を実証できる場合もあります。

定理は数学の核心であるため、数学の美学の中心でもあります。定理はしばしば「自明」または「難しい」または「深い」、あるいは「美しい」とさえ表現されます。これらの主観的な判断は人によって異なるだけでなく、時代や文化によっても異なります。たとえば、証明が得られ、簡略化され、よりよく理解されるにつれて、かつては難しかった定理が自明になることがあります。^[8]一方、深い定理は簡単に述べられるかもしれませんが、その証明には数学の異なる分野間の驚くべき微妙なつながりが含まれる場合があります。フェルマーの最終定理は、そのような定理の特によく知られた例です。^[9]

論理的には、多くの定理は「A ならば B」という指示的条件文の形をとります。このような定理はB を主張するものではなく、単にB がAの必然的な結果であると主張するだけです。この場合、Aは定理の仮説（ここでの「仮説」は推測とはまったく異なる意味です）、 Bは定理の結論と呼ばれます。この2つを合わせて（証明なしで）、定理の命題または文と呼びます（たとえば、「AならばB 」は命題です）。あるいは、AとBをそれぞれ前提と結論と呼ぶこともできます。^[10]「nが偶数の自然数であれば、n /2は自然数である」という定理は、仮説が「nは偶数の自然数である」で結論が「n /2も自然数である」である典型的な例です。

定理が証明されるためには、原則として、正確で形式的な文として表現可能でなければなりません。ただし、定理は通常、完全な記号形式ではなく自然言語で表現されます。つまり、形式的な文は非形式的な文から導き出せるという前提です。

数学では、特定の言語内でいくつかの仮説を選択し、理論はこれらの仮説から証明できるすべてのステートメントで構成されると宣言するのが一般的です。これらの仮説は理論の基礎を形成し、公理または公準と呼ばれます。証明理論として知られる数学の分野では、形式言語、公理、および証明の構造を研究します。

いくつかの定理は、定義、公理、その他の定理から明白に導かれ、驚くべき洞察を含まないという意味で「自明」です。一方、証明が長くて難しかったり、定理自体の記述とは表面的に異なる数学の領域に関係していたり​​、数学の異なる領域間の驚くべきつながりを示したりするため、「深い」と呼ばれることもあります。^[11]定理は、述べるのは簡単であっても、深い場合があります。優れた例としては、フェルマーの最終定理があります。^[9]また、数論や組合せ論など、他の分野にも、単純でありながら深い定理の例が数多くあります。

他の定理には、簡単には書き表せない証明が知られている。最も有名な例は、四色定理とケプラー予想である。これらの定理は両方とも、計算による探索に還元され、その後コンピュータプログラムによって検証されることで初めて真であることが分かる。当初、多くの数学者はこの形式の証明を受け入れなかったが、より広く受け入れられるようになった。数学者のドロン・ツァイルバーガーは、これらがおそらく数学者が証明した唯一の非自明な結果であると主張するほどである。^{[12]多項式の恒等式、三角関数の恒等式[13]}、超幾何の恒等式[ ¹⁴ ]など、多くの数学定理はより簡単な計算に還元することができる。 ^{[ページが必要]}

数学の定理と科学の理論は、その認識論において根本的に異なります。科学理論は証明できません。その重要な属性は、反証可能であることです。つまり、自然界についての予測を行い、実験によって検証できるということです。予測と実験の間に不一致があれば、科学理論の誤りが証明されるか、少なくともその正確性や有効性の範囲が制限されます。一方、数学の定理は、純粋に抽象的な形式的な記述です。定理の証明には、科学理論を裏付けるために使用されるのと同じ方法で、実験やその他の経験的証拠を含めることはできません。^[6]

それでも、数学の定理の発見には、ある程度の経験主義とデータ収集が関わっています。パターンを確立することで、時には強力なコンピュータを使用して、数学者は何を証明すべきかのアイデアを得ることができ、場合によっては証明に取り掛かる方法の計画さえ立てることができます。また、1 つの反例を見つけて、述べられた命題の証明が不可能であることを確立し、元の命題の制限された形式を提案して、実行可能な証明が可能になる可能性もあります。

たとえば、コラッツ予想とリーマン予想はどちらもよく知られた未解決問題です。経験的な検証を通じて広範に研究されてきましたが、未だ証明されていません。コラッツ予想は、約 2.88 × 10 ¹⁸までの開始値に対して検証されています。リーマン予想は、ゼータ関数の最初の 10 兆個の非自明な零点に対して成り立つことが検証されています。ほとんどの数学者は、予想と仮説が正しいと仮定することを容認できますが、これらの命題はどちらも証明されたとは見なされていません。

このような証拠は証明にはなりません。たとえば、メルテンス予想は、現在では誤りであることがわかっている自然数に関する命題ですが、明示的な反例 (つまり、メルテンス関数M ( n ) がnの平方根に等しいかそれを超える自然数n ) はわかっていません。10 ¹⁴未満のすべての数はメルテンス特性を持ち、この特性を持たない最小の数は1.59 × 10 ^40の指数未満、つまり約 10 の 4.3 × 10 ^{39であることのみがわかっています。宇宙の粒子の数は一般に 10 の 100 乗 (1}グーゴル)未満であると考えられているため、徹底的な検索によって明示的な反例が見つかる見込みはありません。

「理論」という言葉は数学にも存在し、群論などの数学的な公理、定義、定理の集合を表します(数学理論を参照)。科学、特に物理学や工学にも「定理」は存在しますが、それらの定理には物理的な仮定や直感が重要な役割を果たす記述や証明が含まれることが多く、そのような「定理」の基になっている物理的な公理自体が反証可能です。

数学的な記述にはさまざまな用語が存在します。これらの用語は、特定の主題において記述が果たす役割を示します。異なる用語の区別は、かなり恣意的である場合があり、一部の用語の使用法は時間の経過とともに変化してきました。

• 公理または公準は、研究対象に関する基本的な仮定であり、証明なしに受け入れられます。関連する概念は定義であり、既知の概念に基づいて単語またはフレーズの意味を示します。古典幾何学では、一般的なステートメントである公理と、幾何学的オブジェクトに関するステートメントである公準を区別します。^{[15]歴史的に、公理は「}自明」であると考えられていましたが、今日では単に真実であると想定されています。
• 予想とは、証明されていないが真であると信じられている命名です。予想は通常、公にされ、その作成者にちなんで名付けられます (たとえば、ゴールドバッハの予想やコラッツの予想)。仮説という用語もこの意味で使用されます (たとえば、 リーマンの予想)。これは、証明の前提としての「仮説」と混同しないでください。他の用語も時々使用されます。たとえば、人々がその声明が真であると信じるべきかどうか確信が持てない場合、問題です。フェルマーの最終定理は歴史的には定理と呼ばれていましたが、何世紀にもわたって単なる予想でした。
• 定理とは、公理やその他の定理に基づいて真であることが証明された文です。
• 命題とは、重要性の低い定理、または非常に初歩的または明白であると考えられ、証明なしで述べることができる定理です。これは、命題論理で使用される「命題」と混同しないでください。古典幾何学では、「命題」という用語は別の意味で使用されていました。ユークリッドの『原論』（紀元前300年頃 ）では、すべての定理と幾何学的構成は、その重要性に関係なく「命題」と呼ばれていました。
• 補題は「付属命題」、つまり特定の証明での使用以外ではほとんど適用できない命題です。時間が経つにつれて補題の重要性が増し、定理と見なされることもありますが、「補題」という用語は通常、その名前の一部として保持されます (例:ガウスの補題、ゾルンの補題、基本補題)。
• 系とは、他の定理や公理から直接導かれる命題であり、証明はほとんど必要ないか全く必要ありません。^{[16]系は、定理をより単純な形で、または}特殊なケースについて言い換えたものである場合もあります。たとえば、「長方形のすべての内角は直角である」という定理には、「正方形のすべての内角は直角である」という系があります。正方形は長方形の特殊なケースです。
• 定理の一般化とは、同様の主張をしているがより広い範囲の定理であり、そこから元の定理を特別なケース（系）として導き出すことができる。^[d]

歴史的または慣習的な理由により、他の用語も使用される場合があります。たとえば、次のようになります。

• 恒等式は、その定義域内の任意の値に対して成り立つ、2 つの式間の等式を述べる定理です(例: Bézout の恒等式とVandermonde の恒等式)。
• ルールとは、有用な公式を確立する定理です (例:ベイズの定理やクラメールの定理)。
• 法則や原理とは、広範囲に適用できる定理のことである（例：大数の法則、余弦定理、コルモゴロフの0-1法則、ハルナックの原理、最小上限原理、鳩の巣原理）。^[e]

よく知られている定理の中には、さらに特異な名前が付けられているものもあります。たとえば、除算アルゴリズム、オイラーの公式、バナッハ・タルスキーのパラドックスなどです。

定理とその証明は、通常、次のように表されます。

定理（証明した人の名前、証明の発見年または出版年）

定理の記述（命題と呼ばれることもある）

証拠

証明の説明

終わり

証明の終わりは、 QED ( quod erat demonstrandum )という文字、または「証明の終わり」を意味する「□」や「∎」などの墓石マークのいずれかで示されます。これは、雑誌で記事の終わりを示すために使用されていたことに倣って、ポール・ハルモスによって導入されました。 ^[17]

正確なスタイルは著者や出版物によって異なります。多くの出版物では、社内スタイルでのタイプセットに関する指示やマクロが提供されています。

定理の前には、定理で使用される用語の正確な意味を説明する定義が置かれるのが一般的です。また、定理の前にいくつかの命題または補題が置かれ、それが証明で使用されるのも一般的です。ただし、補題は定理の証明に埋め込まれる場合があり、ネストされた証明を使用するか、定理の証明の後に補題の証明が提示されます。

定理の系は、定理と証明の間、または証明の直後に提示されます。系には、定理からなぜそうなるのかを説明する独自の証明がある場合もあります。

毎年25万以上の定理が証明されていると推定されています。^[18]

「数学者とはコーヒーを定理に変える装置である」という有名な格言は、おそらくアルフレッド・レーニの言葉であるが、レーニの同僚であるポール・エルデシュ（レーニはエルデシュのことを考えていたのかもしれない）の言葉であるとされることが多い。エルデシュは、多くの定理を生み出し、共同研究も多く、コーヒーを飲むことで有名であった。 ^[19]

有限単純群の分類は、定理の証明としては最も長いと考える人もいる。これは、約 100 人の著者による 500 のジャーナル論文で、数万ページにわたる。これらの論文を合わせると完全な証明になると考えられており、現在進行中のいくつかのプロジェクトでは、この証明を短縮して簡略化することを目指している。^[20]このタイプの定理には、コンピューターで生成された証明が長すぎて人間が読むことができない4 色定理もある。これは、文が素人でも簡単に理解できる定理の証明としては、最も長いものの一つである。^[要出典]

数理論理学において、形式理論とは形式言語内の文の集合である。文とは自由変数のない整形式の式である。理論の要素である文はその定理の 1 つであり、理論とはその定理の集合である。通常、理論は論理的帰結の関係の下で閉じていると理解される。理論は意味的帰結関係 ( )の下で閉じていると定義する説明もあれば、統語的帰結関係、または導出可能性関係 ( )の下で閉じていると定義する説明もある。^{[21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27] [28] [29] [30]}${\displaystyle \models}$${\displaystyle \vdash}$

導出可能性関係の下で理論が閉じられるためには、定理がどのように導出されるかを指定する演繹体系と関連付けられる必要があります。演繹体系は明示的に述べられる場合もあれば、文脈から明らかな場合もあります。論理的帰結関係の下で空集合が閉じられると、演繹体系の定理である文だけを含む集合が生成されます。

論理学においてこの用語が使用される広い意味では、定理は必ずしも真実である必要はありません。定理を含む理論は、特定の意味論、または基礎となる言語の標準的な解釈に対して不健全である可能性があるからです。矛盾した理論では、すべての文が定理となります。

定理を形式言語の文として定義することは、形式的な証明の構造と証明可能な式の構造を研究する数学の一分野である証明理論において有用である。また、形式的な理論と、解釈を通じてその意味を提供できる構造との関係を扱うモデル理論においても重要である。

定理は解釈されない文である場合もありますが、実際には数学者は文の意味、つまり文が表現する命題に関心があります。形式定理が有用で興味深いのは、それが真の命題として解釈され、その導出が真理の証明として解釈される可能性があるからです。解釈が形式システムに関する真のステートメントである定理 (形式システム内ではなく) は、メタ定理と呼ばれます。

数学論理における重要な定理は次のとおりです。

• 一階述語論理の簡潔性
• 一階述語論理の完全性
• ゲーデルの第一階算術の不完全性定理
• 一次演算の一貫性
• タルスキの定義不可能定理
• チャーチ＝チューリングの決定不可能性定理
• レーブの定理
• レーヴェンハイム・スコーレムの定理
• リンドストロームの定理
• クレイグの定理
• カット除去定理

形式定理の概念は、意味論を導入する真の命題の概念とは対照的に、基本的に統語論的です。異なる演繹システムは、導出規則の前提（つまり、信念、正当化、またはその他の様相）に応じて、異なる解釈を生み出す可能性があります。形式システムの健全性は、そのすべての定理が妥当性でもあるかどうかによって異なります。妥当性とは、あらゆる解釈の下で真となる式です（たとえば、古典的な命題論理では、妥当性はトートロジーです）。形式システムは、そのすべての定理がトートロジーでもある場合に 意味的に完全であるとみなされます。

• 法律（数学）
• 定理の一覧
• 基本定理と呼ばれる定理の一覧
• 式
• 推論
• おもちゃの定理

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• ウィキメディア・コモンズの定理に関連するメディア
• Weisstein、Eric W.「定理」。MathWorld。
• 今日の定理