解析的整数論

解析的整数論の多くは素数定理に触発されたものである。任意の実数xに対して、x以下の素数の個数を表す素数計数関数をπ( x )とする。例えば、10以下の素数は 4 つ (2、3、5、7) あるため、 π(10) = 4 となる。素数定理によれば、 x / ln( x ) は π( x )の良い近似値である。つまり、x が無限大に近づくときのπ( x ) とx / ln( x )の商の極限は 1 である。   

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

素数の漸近分布法則として知られている。

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは1797年か1798年に、π( a )は関数a /( A ln( a )  + B )で近似できると予想した。ここでAとBは未指定の定数である。その後、数論に関する著書の第2版（1808年）で、A = 1、B ≈ −1.08366というより正確な予想を行った。カール・フリードリヒ・ガウスも同じ問題を考察した。約60年後のエンケへの手紙（1849年）で、ガウスは自身の回想によれば、1792年か1793年に、対数表（当時15歳か16歳）に「Primzahlen unter     ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$" ('素数以下${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$')。しかし、ガウスはこの予想を発表しませんでした。1838年、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは、独自の近似関数である対数積分li( x ) を考案しました（ガウスに伝えた級数の形式は若干異なります）。ルジャンドルとディリクレの公式はどちらも、上述の π( x ) とx  /  ln( x ) の漸近等価性という予想を裏付けていますが、商ではなく差を考慮すると、ディリクレの近似の方がかなり優れていることが判明しました。

ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは解析的整数論の創始者として知られている^{[ 6 ]。}この分野で彼はいくつかの深遠な結果を発見し、それらを証明する際にいくつかの基本的なツールを導入した。その多くは後に彼の名にちなんで名付けられた。1837年、彼は算術数列に関するディリクレの定理を発表し、数学的解析の概念を用いて代数的な問題を解き、解析的整数論の一分野を創始した。この定理を証明する際に、彼はディリクレ指標とL関数を導入した^{[ 6 ] [ 7 ]}。1841年、彼は算術数列の定理を整数からガウス整数環に一般化した。${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$[ ^{8 ]​}

1848年と1850年の2つの論文で、ロシアの数学者パフヌティ・リヴォヴィチ・チェビシェフは素数の漸近分布法則を証明しようと試みた。彼の研究は、リーマンの1859年の有名な論文よりも前に、ゼータ関数ζ( s )（引数「s」の実数値に対して、 1737年のレオンハルト・オイラーの研究と同様）を使用している点で注目に値する。彼は漸近法則のやや弱い形式、すなわち、 xが無限大に近づくときのπ( x )/( x /ln( x ))の極限が存在するならば、それは必ず1に等しいということを証明することに成功した。^{[ 9 ]}彼は、この比率がすべてのxに対して1に近い2つの明示的に与えられた定数によって上下に抑えられることを無条件に証明することができた。^{[ 10 ]}チェビシェフの論文は素数定理を証明したものではありませんでしたが、π( x )の推定値は、任意の整数n ≥ 2 に対してnと 2 nの間に素数が存在するというベルトランの仮説を証明するのに十分強力でした。  

ベルンハルト・リーマンは、現代の解析的整数論に数々の著名な貢献をした。彼は、整数論に関する唯一の論文（わずか1つの短い論文）の中で、リーマンゼータ関数を研究し、素数の分布を理解する上でその重要性を確立した。彼はゼータ関数の性質について一連の予想を立て、その一つが有名なリーマン予想である。

リーマンの考えを拡張し、素数定理の2つの証明がジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プッサンによって独立に得られ、同じ年（1896年）に発表された。どちらの証明も複素解析の方法を用い、証明の主要なステップとして、t > 0のs = 1 + itの形をとる変数sのすべての複素数値に対してリーマンゼータ関数 ζ( s ) がゼロでないことを立証した。 ^{[ 12 ]}      

1950 年以降最大の技術的変化は、特に乗法問題における篩法^{[ 13 ]}の開発である。これらは組み合わせ論的な性質を持ち、非常に多様である。組み合わせ論の極値分野は、解析的数論で定量的な上限と下限に価値を置くことから大きな影響を受けている。もう 1 つの最近の発展は確率的数論^{[ 14 ]}であり、これは確率論の方法を使用して、ある数がいくつの素因数を持つかなどの数論的関数の分布を推定する。

具体的には、 Yitang Zhang、James Maynard、Terence Tao、Ben GreenによるブレークスルーはすべてGoldston – Pintz – Yıldırım法を使用しており、彼らは元々それを使用して^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]を証明し}ました。

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

解析的整数論の発展は、多くの場合、誤差項を減らし適用範囲を広げる以前の手法の改良である。例えば、ハーディとリトルウッドの円法は、複素平面上の単位円近傍の冪級数に適用するものとして考案されたが、現在では有限指数和（つまり、単位円上だが冪級数が打ち切られたもの）の観点から考えられている。ディオファントス近似に必要なのは、生成関数ではない補助関数（係数は鳩の巣原理を用いて構成される）であり、複数の複素変数を含む。ディオファントス近似と超越理論の分野は拡大し、その手法はモルデル予想にも適用されるようになった。

ユークリッドは素数が無限に存在することを示した。重要な問題は素数の漸近分布を決定すること、つまり、与えられた数より小さい素数がいくつあるかを大まかに記述することである。ガウスらは、多数の素数を計算した後、大きな数N以下の素数の数は、積分値に近いと推測した。

$$\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$$

1859年、ベルンハルト・リーマンは複素解析と、現在リーマンゼータ関数として知られる特別な有理型関数を用いて、実数x以下の素数の個数を表す解析的表現を導出した。驚くべきことに、リーマンの公式の主要項はまさに上記の積分であり、ガウス予想に大きな説得力を持たせた。リーマンは、この表現の誤差項、ひいては素数の分布の仕方が、ゼータ関数の複素零点と密接に関係していることを発見した。リーマンの考えを用い、ゼータ関数の零点に関するより多くの情報を得ることで、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プーサンはガウス予想の証明を完成させた。特に、彼らは、もし  $${\displaystyle \pi (x)=({\text{素数 }}\leq x),}$$ それから $$\lim_{x\to\infty}{\frac{\pi(x)}{x/\log x}}=1.}$$

この驚くべき結果は、現在では素数定理として知られています。これは解析的整数論における中心的な結果です。大まかに言えば、大きな数Nが与えられたとき、 N以下の素数の個数はおよそN /log( N ) に等しいということです。

より一般的には、任意の整数nに対して、任意の等差数列a + nqに含まれる素数の数について、同じ疑問を抱くことができます。数論への解析的手法の初期の応用の 1 つは、ディリクレが、 aとq が互いに素である任意の等差数列には無限個の素数が含まれることを証明しました。素数定理はこの問題に一般化できます。 $${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{等差数列 }}a+nq における素数 }}\leq x{\text{ の数,\ n\in \mathbf {Z} ),}$$そして、 aとqが互いに素である 場合、 $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1,}$$ どこ${\displaystyle \phi }$はトーシェント関数である。^{[ 21 ]}

数論には、現在の手法では証明が難しすぎると思われる、深く広範な予想が数多く存在します。例えば、p + 2 が素数となるような素数 p が無限に存在するかどうかを問う双子素数予想などが挙げられます。エリオット・ハルバースタム予想を前提として、最近、 p + kが素数となるような素数p が無限に存在することが証明されました（ただし、 kは最大で12 の正の偶数です）。また、 p + k が素数となるような素数p が無限に存在することも無条件に（つまり、未証明の予想に依存しずに）証明されています（ただし、 kは最大で246 の正の偶数です）。        

加法数論における最も重要な問題の一つは、ワーリングの問題である。これは、任意のk  ≥ 2 に対して、任意の正の整数を、限られた数のk 乗の和として表すことが可能かどうかを問うものである。

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.}$

k  =  2の場合については、 1770 年にラグランジュが、すべての正の整数は最大で 4 つの平方数の和であることを証明し、解答を与えた。一般の場合については、1909 年にヒルベルトが代数的手法を用いて証明したが、明示的な上限は得られなかった。重要な突破口となったのは、ハーディとリトルウッドによる解析的手法の適用である。これらの手法は円法として知られており、関数G ( k ) の明示的な上限、すなわち必要なk乗の最小数を与える。例えば、ヴィノグラドフの上限などである。

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

ディオファントス問題は、多項式方程式の整数解に関するものです。解の分布、つまり「大きさ」や高さの何らかの尺度に従って解を数えることを研究することができます。

重要な例として、ガウス円問題がある。これは、以下の条件を満たす整数点 ( x, y )を求める問題である。 

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

幾何学的に言えば、原点を中心とする半径rの平面上の円が与えられたとき、この問題は、円上または円内部にいくつの整数格子点が存在するかを問うている。答えが であることを証明するのは難しくない。${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$、 どこ${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$として$\displaystyle r\to \infty }$繰り返しますが、解析的数論の難しい部分であり、大きな成果は、誤差項E ( r ) の具体的な上限を得ることです。 

ガウスによって示されたのは${\displaystyle E(r)=O(r)}$一般に、単位円（より正確には閉じた単位円盤）を区分的に滑らかな境界を持つ任意の有界平面領域の拡大図に置き換えると、 O ( r ) の誤差項が生じる可能性があります。さらに、単位円を単位正方形に置き換えると、一般問題の誤差項はrの線形関数にまで大きくなる可能性があります。したがって、次の形式の誤差限界が得られます。 ${\displaystyle O(r^{\delta })}$ 一部の人にとって${\displaystyle \delta <1}$円の場合、これは大きな進歩である。最初にこれを達成したのは 1906年のシェルピンスキーで、彼は${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$1915年、ハーディとランドーはそれぞれ、${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$それ以来、目標は、各固定値に対して、${\displaystyle \epsilon >0}$実数が存在する${\displaystyle C(\epsilon )}$そのため${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$。

2000年にハクスリーは^{[ 22 ]}${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$これは、発表されている中で最も優れた結果である。

乗法数論において最も有用なツールの1つはディリクレ級数であり、これは次の形式の無限級数で定義される複素変数の関数である。

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

係数の選択によって${\displaystyle a_{n}}$この級数は、至るところで収束する場合もあれば、どこにも収束しない場合、あるいは半平面上で収束する場合もある。多くの場合、級数が至るところで収束しない場合でも、それが定義する正則関数は、複素平面全体上の有理型関数に解析的に接続できる。このような関数が乗法問題で有用であることは、形式的な恒等式に見ることができる。

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

したがって、2つのディリクレ級数の積の係数は、元の係数の乗法畳み込みになります。さらに、部分和やタウバーの定理などの手法を用いることで、ディリクレ級数の解析情報から係数に関する情報を得ることができます。このように、乗法関数を推定する一般的な方法は、それをディリクレ級数（または畳み込み恒等式を用いたより単純なディリクレ級数の積）として表現し、この級数を複素関数として調べ、得られた解析情報を元の関数の情報に変換することです。

オイラーは、算術の基本定理が（少なくとも形式的には）オイラー積を導くことを示した。

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1}$

ここで、積はすべての素数pについて取られます。

オイラーによる素数の無限性の証明は、s = 1の場合の左辺の項の発散（いわゆる調和級数）を利用しており、これは純粋に解析的な結果である。オイラーはまた、整数の性質を研究する目的で解析的な議論を初めて用いた人物であり、具体的には生成冪級数を構成した。これが解析的整数論の始まりであった。^{[ 20 ]}

後にリーマンはこの関数を複素数sに対して考察し、この関数がs = 1に単純極を持つ全平面上の有理型関数に拡張できることを示した。この関数は現在リーマンゼータ関数として知られており、 ζ ( s )で表される。この関数に関する文献は豊富にあり、この関数はより一般的なディリクレL関数の特殊な場合である。  

解析的整数論の研究者は、素数定理などの近似の誤差に関心を持つことが多い。この場合、誤差はx /log xより小さい。リーマンの π( x )の公式は、この近似における誤差項がゼータ関数の零点を用いて表せることを示している。リーマンは1859 年の論文で、ζ のすべての「非自明な」零点が直線上にあると予想した。 ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$しかし、この主張の証明は提供されなかった。この有名で長年の予想はリーマン予想として知られており、数論において多くの深い意味を持つ。実際、多くの重要な定理は、この予想が真であるという仮定の下で証明されている。例えば、リーマン予想の仮定の下では、素数定理の誤差項は${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$。

20世紀初頭、G・H・ハーディとリトルウッドは、リーマン予想を証明しようと試み、ゼータ関数に関する多くの結果を証明した。実際、1914年にハーディは、ゼータ関数の零点が臨界線上に無限に存在することを証明した。

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

これにより、臨界線上の零点の密度を記述するいくつかの定理が導き出された。