平行（幾何学）

幾何学では、平行線とは、どの点でも交わらない共面の無限直線のことである。平行平面とは、同じ3次元空間にある決して交わらない平面のことである。平行曲線とは、互いに接したり交差したりせず、一定の最小距離を保つ曲線のことである。3次元ユークリッド空間では、点を共有しない直線と平面も平行であると言われる。ただし、共面ではない2本の線は斜線と呼ばれる。線分とユークリッドベクトルは、同じ方向または反対方向（必ずしも同じ長さではない）である場合に平行である。^[1]

平行線はユークリッドの平行公理の対象です。^{[2]平行性は主に}アフィン幾何学の特性であり、ユークリッド幾何学はこのタイプの幾何学の特別な例です。双曲幾何学などの他の幾何学では、線は平行性と呼ばれる類似の特性を持つことがあります。

平行記号は です。^{[3] [4]}例えば、 は線分ABが線分CDに平行である ことを示します。 ${\displaystyle \parallel}$${\displaystyle AB\parallel CD}$

Unicode文字セットでは、「平行」と「非平行」の記号はそれぞれU+2225（∦）とU+2226（∦）のコードポイントを持ちます。さらに、U+22D5（⋕）は「等しく平行」という関係を表します。^[5]

ユークリッド空間内の平行直線lとmが与えられた場合、次の性質は同等です。

1. 線分m上のすべての点は、線分lから正確に同じ (最小の) 距離(等距離線) に位置します。
2. 線分m は線分lと同じ平面にありますが、線分lと交差しません(線分はどちらの方向にも無限に伸びることを思い出してください)。
3. 線分mと線分 l の両方が同一平面上で3 番目の直線 (横断線) と交差する場合、横断線との対応する交差角は等しい。

これらは同等の性質であるため、ユークリッド空間における平行線の定義としてどれでも採用できるが、最初の性質と3番目の性質は測定を伴うため、2番目よりも「複雑」である。したがって、ユークリッド幾何学における平行線の定義としては通常、2番目の性質が選択される。^{[6]他の性質は}ユークリッドの平行線公理の結果である。

平行線の定義は、平面上で交わらない2本の直線として、ユークリッドの『原論』第1巻の定義23に登場します。^[7]代替の定義は、多くの場合、平行線公理を証明しようとする試みの一環として、他のギリシャ人によって議論されました。プロクロスは、等距離の直線としての平行線の定義をポセイドニオスに帰し、同様の論調でゲミノスを引用しています。シンプリキウスも、ポセイドニオスの定義と、哲学者アガニスによるその修正について言及しています。^[7]

19世紀末のイギリスでは、ユークリッドの『原論』が依然として中等学校の標準教科書であった。射影幾何学や非ユークリッド幾何学の新たな発展により幾何学の伝統的な扱いは変化を迫られており、この時期に幾何学を教えるための新しい教科書がいくつか書かれた。これらの改革教科書同士、およびユークリッドとこれらの教科書との主な違いは、平行線の扱いである。^[8]これらの改革教科書には批判者がいたが、その一人であるチャールズ・ドジソン（別名ルイス・キャロル）は、これらの教科書を酷評する劇『ユークリッドと現代のライバル』を書いた。 ^[9]

初期の改革教科書の 1 つは、1868 年のジェームズ モーリス ウィルソンの「初等幾何学」でした。 ^{[10]ウィルソンは、}方向という原始的な概念に基づいて平行線を定義しました。ヴィルヘルム キリング^[11]によると、この考え方はライプニッツにまで遡ることができます。^[12]ウィルソンは、方向が原始的であるため定義せずに、6 番目の定義など、他の定義でこの用語を使用しています。「互いに交わる 2 本の直線は方向が異なり、それらの方向の差がそれらの間の角度です。」ウィルソン (1868、p. 2) 定義 15 で、彼は平行線を次のように紹介しています。「同じ方向を持ちながら、同じ直線の一部ではない直線を平行線といいます。」ウィルソン (1868、p. 12)オーガスタス ド モーガンはこのテキストをレビューし、主にこの定義と、ウィルソンが平行線についての証明にこの定義を使用した方法に基づいて、これは失敗作であると宣言しました。ドジソンはまた、劇の大部分（第2幕第6場§1）をウィルソンの類似点の扱いを非難することに費やしている。ウィルソンはこの概念を第3版以降では削除した。^[13]

他の改革者によって提案され、平行線の定義の代わりとして使われた他の性質も、あまりうまくいかなかった。ドジソンが指摘したように、主な難しさは、そのようにそれらを使用するには、システムに追加の公理を追加する必要があるということだった。フランシス・カスバートソンが 1874 年の著書『ユークリッド幾何学』で解説したポセイドニウスの等距離線の定義には、直線の片側にある一定の距離にある点が直線を形成することを示さなければならないという問題がある。これは証明できず、真実であると仮定しなければならない。^[14] WD クーリーが 1860 年の著書『幾何学原論』で使用した横断特性によって形成される対応角を簡略化して説明するには、1 つの横断線が対応する角度で 2 本の線と出会う場合、すべての横断線も必ず対応する角度で出会うという事実の証明が必要である。この場合も、この主張を正当化するには新しい公理が必要である。

上記の3つの特性から、平行線を構成する3つの異なる方法^[15]が導き出されます。

• 
  性質 1: 線分m は線分lに対してどこでも同じ距離を持ちます。
• 
  特性 2: aを通り、 xでlと交差するランダムな線を引きます。点x を無限遠に移動します。
• 
  特性 3: lとm は両方とも、 a を通る90° で交差する横断線を共有します。

ユークリッド平面上の平行線は等距離であるため、2本の平行線の間には一意の距離がある。2本の非垂直、非水平の平行線の方程式を考えると、

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

2本の直線間の距離は、平行線に共通の垂線上にある2点（各直線上に1点ずつ）を探し、それらの間の距離を計算することで求めることができる。直線の傾きはmなので、共通の垂線の傾きは−1/ mとなり、方程式y = − x / mの直線を共通の垂線としてとることができる。線形連立方程式を解くと、

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

点の座標を得る。線形システムの解は点である。

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

そして

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

これらの式は、平行線が水平（つまりm = 0）であっても正しい点の座標を与えます。点間の距離は

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

これは

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

線が直線の方程式の一般的な形式で与えられる場合（水平線と垂直線を含む）：

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

それらの距離は次のように表される。

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

同じ3 次元空間にある交差しない 2 本の線は、必ずしも平行である必要はありません。共通平面にある場合のみ平行と呼ばれ、そうでない場合は斜めの線と呼ばれます。

3 次元空間内の2 つの異なる直線lとmが平行であるためには、直線m上の点Pから直線l上の最も近い点まで の距離が直線m上の点Pの位置に依存しない必要があります。このことは斜めの直線には決して当てはまりません。

3次元空間内の直線mと平面q は、直線がその平面上にない場合、交差しない場合にのみ平行です。

同様に、直線m上の点Pから平面q内の最も近い点までの距離が直線m上の点 Pの位置に依存しない場合に限り、それらは平行です。

平行線は同じ平面上になければならないという事実と同様に、平行平面は同じ 3 次元空間上に位置し、共通点を含んではなりません。

2 つの異なる平面qとrが平行であるためには、平面q内の点Pから平面r内の最も近い点までの距離が、平面q内の点Pの位置に依存しない必要があります。2 つの平面が同じ 3 次元空間にない場合、この条件は成立しません。

非ユークリッド幾何学では、直線の概念は、より一般的な測地線の概念に置き換えられています。測地線とは、リーマン多様体（曲がっている可能性のある面（または高次元空間））上の計量（距離の定義）に関して局所的に直線となる曲線です。一般相対性理論では、外部力の影響を受けない粒子は、3つの空間次元と1つの時間次元を持つ4次元多様体である時空内の測地線に従います。 ^[16]

非ユークリッド幾何学 (楕円幾何学または双曲幾何学) では、上記の 3 つのユークリッド特性は同等ではなく、2 番目の特性 (線分 m は線分 l と同じ平面上にあるが、線分 l と交差しない) のみが測定を伴わないため、非ユークリッド幾何学で有用です。一般幾何学では、上記の 3 つの特性はそれぞれ、 等距離曲線、平行測地線、共通の垂線を共有する測地線という 3 種類の曲線を生み出します。

ユークリッド幾何学では 2 つの測地線は交差するか平行になりますが、双曲幾何学では 3 つの可能性があります。同じ平面に属する 2 つの測地線は、次のいずれかになります。

1. 交差する場合、平面上の共通点で交差する場合、
2. 平面上で交差せず、無限遠の共通極限点（理想点）に収束する場合は平行、または
3. 無限遠に共通の極限点を持たない場合、超平行となる。 ^[17]

文献では、極度平行測地線はしばしば非交差測地線と呼ばれます。 無限遠で交差する測地線は極限平行測地線と呼ばれます。

図に示すように、直線l上にない点aを通る 2 本の極限平行線があり、直線 l の各方向の理想点に 1 本ずつあります。これらは、直線 l と交差する線と直線lに極度に平行な線を分離します。

超平行線は単一の共通垂線（超平行定理）を持ち、この共通垂線の両側で発散します。

球面幾何学では、すべての測地線は大円です。大円は球を 2 つの等しい半球に分割し、すべての大円は互いに交差します。したがって、すべての測地線が交差するため、特定の測地線に平行な測地線は存在しません。球面上の等距離曲線は、地球儀上の緯線に類似した緯線と呼ばれます。緯線は、球の中心を通る平面に平行な平面と球面の交差によって生成できます。

l、m、nが3つの異なる直線である場合、${\displaystyle l\parallel m\ \land \ m\parallel n\ \implies \ l\parallel n.}$

この場合、平行性は推移的な関係である。しかし、 l = nの場合、重ね合わせた線はユークリッド幾何学では平行とはみなされない。平行線間の二項関係は明らかに対称的な関係である。ユークリッドの教義によれば、平行性は反射的な関係ではないため、同値関係にはならない。しかし、アフィン幾何学では、平行線の束は、平行性が同値関係である線分の集合における同値類とみなされる。 ^{[18] [19] [20]}

この目的のために、エミール・アルティン（1957）は、2本の線がすべての共通点を持つか、まったく共通点を持たない場合に、その線は平行であるという平行性の定義を採用しました。 ^[21] この場合、線はそれ自身に平行であるため、反射的および推移的特性はこのタイプの平行性に属し、線のセットに同値関係を作成します。入射幾何学の研究では、この平行性の変種がアフィン平面で使用されます。

• クリフォードパラレル
• 共線性
• 並行行
• 平行を制限する
• 平行曲線
• 超平行定理

• ヒース、トーマス L. (1956)、『ユークリッド原論 13 巻』（第 2 版 [複製。初版: ケンブリッジ大学出版局、1925 年] 編集）、ニューヨーク: ドーバー出版

(全3巻): ISBN 0-486-60088-2 (第1巻)、ISBN 0-486-60089-0 (第2巻)、ISBN 0-486-60090-4 (第3巻)。ヒースの権威ある翻訳に加え、テキスト全体にわたる広範な歴史研究と詳細な解説。   

• リチャーズ、ジョーン L. (1988)、数学的ビジョン：ビクトリア朝イングランドにおける幾何学の追求、ボストン：アカデミックプレス、ISBN 0-12-587445-6
• ウィルソン、ジェームズ・モーリス（1868年）、『初等幾何学』（第1版）、ロンドン：マクミラン社。
• ワイリー、CR Jr. (1964)、幾何学の基礎、マグロウヒル

• パパドプロス、アタナセ。テレ、ギョーム (2014)、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトのパラレルの理論、パリ: 歴史の歴史コレクション、アルベール・ブランシャール図書館、ISBN 978-2-85367-266-5