数理経済学

数理経済学は、経済学における理論を表現し、問題を分析するために数学的手法を応用したものである。多くの場合、これらの応用手法は単純な幾何学を超えており、微分積分、差分方程式、微分方程式、行列代数、数理計画法、またはその他の計算手法が含まれることがある。^{[1] [2]}このアプローチの支持者は、厳密さ、一般性、および単純さを備えた理論的関係の定式化を可能にすると主張している。^[3]

数学は、経済学者が、非公式には表現しにくい、広範囲で複雑な主題について、意味のある検証可能な命題を形成することを可能にします。さらに、数学の言語は、数学なしでは不可能な、物議を醸す主題や論争の的となる主題について、経済学者が具体的で肯定的な主張をすることを可能にします。[ ^4]現在、経済理論の多くは、仮定と意味合いを明確にするために主張される、様式化され単純化された数学的関係のセットである数理経済モデルの観点から提示されています。^[5]

幅広い用途には以下が含まれます:

• 家計、企業、政策立案者など、目標均衡に関する最適化問題
• 経済単位（世帯など）または経済システム（市場や経済など）が変化しないものとしてモデル化された静的（または均衡）分析
• 1つまたは複数の要因の変化によって引き起こされる、ある均衡から別の均衡への変化についての比較静学
• 動的分析、例えば経済成長から経済システムの変化を時間の経過とともに追跡する。^{[2] [6] [7]}

正式な経済モデル化は、19世紀に微分積分を用いて効用最大化などの経済行動を表現・説明することから始まった。これは数学的最適化の初期の経済的応用である。経済学は20世紀前半を通じて学問としてより数学的になったが、第二次世界大戦前後の時期にゲーム理論などの新しい一般化された手法が導入されたことで、経済学における数学的定式化の使用が大幅に広がった。^{[8] [7]}

経済学の急速な体系化は、経済学の批評家や著名な経済学者を驚かせた。 ジョン・メイナード・ケインズ、ロバート・ハイルブローナー、フリードリヒ・ハイエクらは、人間の行動に数学モデルを広く利用することを批判し、人間の選択の中には数学では説明できないものがあると主張した。

社会経済分析における数学の使用は、17 世紀に遡る。その後、主にドイツの大学で、行政に関連するデータの詳細な提示に特化した教育スタイルが出現した。 ゴットフリート・アッヘンヴァルはこのような方法で講義し、統計学という用語を生み出した。同時期に、イギリスの教授の小グループが「政府に関連する事柄を数字で推論する」方法を確立し、この方法を政治算術と呼んだ。^[9] ウィリアム・ペティ卿は、課税、貨幣の流通速度、国民所得など、後に経済学者が関心を持つことになる問題について長々と書いたが、彼の分析は数値的であったが、抽象的な数学的方法論は拒否した。ペティの詳細な数値データの使用 (ジョン・グラントと共に) は、イギリスの学者によってペティの著作がほとんど無視されていたにもかかわらず、統計学者や経済学者にしばらく影響を与えた。^[10]

経済学の数学的化は19世紀に本格的に始まった。当時の経済分析のほとんどは、後に古典経済学と呼ばれるものだった。主題は代数的手段で議論され、処理されたが、微積分は使われなかった。さらに重要なことは、 1826年にヨハン・ハインリヒ・フォン・テュネンが『孤立国家』を著すまで、経済学者は数学のツールを適用するために行動の明示的かつ抽象的なモデルを開発していなかったことである。テュネンの農地利用モデルは限界分析の最初の例である。^[11] テュネンの研究は主に理論的なものであったが、彼は一般化を裏付けるために経験的データも採掘した。同時代の人々と比較すると、テュネンは以前のツールを新しい問題に適用するのではなく、経済モデルとツールを構築した。^[12]

一方、物理科学の数学的手法を学んだ新しい一群の学者たちが 経済学に引き寄せられ、それらの手法を主張し、その主題に適用した。^{[13]そして今日では、}幾何学から力学への移行と呼ばれている。^[14] この中には、1862年に「政治経済学の一般的な数学理論」に関する論文を発表し、政治経済学における限界効用理論の使用法の概要を示したWSジェヴォンズも含まれる。 ^[15] 1871年に彼は『政治経済学原理』を出版し、科学としての経済学は「数量を扱うという理由だけで数学的でなければならない」と宣言した。ジェヴォンズは、価格と数量の統計を収集することによってのみ、提示された主題が正確な科学になることができると予想した。^[16]経済問題 の数学的表現を拡張する先行者および追随者は他にもいた。 ^[17]

オーギュスタン・クールノーとレオン・ワルラスは、個人は選択肢全体にわたって自分の効用を最大化しようと努め、それが数学的に記述できると主張し、効用を中心にこの分野のツールを公理的に構築した。^[18] 当時、効用はutilsと呼ばれる単位で定量化できると考えられていた。^[19] クールノー、ワルラス、フランシス・イシドロ・エッジワースは、現代の数理経済学の先駆者と見なされている。^[20]

数学教授のクールノーは、1838年に複占（2人の売り手の間の競争によって定義される市場状態）の数学的処理を開発した。^[20] この競争の扱い方は、最初に『富の数学的原理の研究』^{[21]で発表され、}クールノー複占と呼ばれている。両方の売り手が市場に平等にアクセスし、コストをかけずに商品を生産できると仮定されている。さらに、両方の商品が同質であると仮定されている。各売り手は、もう一方の売り手の生産量に基づいて生産量を変え、市場価格は供給された総量によって決定される。各企業の利益は、生産量に単位あたりの市場価格を乗じて決定される。各企業の供給量に関する利益関数を微分すると、連立一次方程式が得られ、これを同時解くと均衡量、価格、利益が得られた。^[22]クールノーによる経済学の数学的処理は数十年にわたって無視されたが、最終的には多くの限界主義者に影響を与えた。^{[22] [23]} クールノーの複占と寡占のモデルは、非協力ゲームの最初の定式化の1つでもあります。今日ではその解はナッシュ均衡として与えられますが、クールノーの研究は現代のゲーム理論より100年以上も先行していました。 ^[24]

クールノーが後に部分均衡と呼ばれるものに対する解を提示したのに対し、レオン・ワルラスは一般競争均衡理論を通じて経済全体の議論を形式化しようとした。すべての経済主体の行動は、生産側と消費側の両方で考慮される。ワルラスは当初、4つの別々の交換モデルを提示し、それぞれが次のモデルに再帰的に組み込まれていた。結果として得られる方程式系（線形と非線形の両方）の解が一般均衡である。^[25] 当時、任意の数の方程式系に対して一般解を表現することはできなかったが、ワルラスの試みは経済学において2つの有名な結果をもたらした。1つ目はワルラスの法則、2つ目はタトネマンの原理である。ワルラスの方法は当時としては高度に数学的であると考えられ、エッジワースは『純粋経済学要綱』のレビューでこの事実について長々とコメントしている。^[26]

ワルラスの法則は、一般均衡における解を決定する問題に対する理論的回答として導入されました。彼の表記法は現代の表記法とは異なりますが、より現代的な加算表記法を使用して構築できます。ワルラスは、均衡ではすべてのお金がすべての商品に使われると仮定しました。つまり、すべての商品がその商品の市場価格で販売され、すべての買い手が最後の1ドルを商品のバスケットに費やすと仮定しました。この仮定から出発して、ワルラスは、n個の市場があり、n-1個の市場が均衡状態に達した場合、n番目の市場も均衡状態になることを示すことができました。これは、2つの市場（ほとんどのテキストでは商品市場とお金の市場と見なされます）で視覚化するのが最も簡単です。2つの市場のうち1つが均衡状態に達した場合、2番目の市場には追加の商品（または逆にお金）が出入りできないため、2番目の市場も均衡状態にある必要があります。ワルラスはこの主張を一般均衡の解の存在証明に進めるために利用したが、今日では学部レベルで金融市場における市場清算を説明するためによく使われている。^[27]

タトネマン（フランス語で「模索」の意味）は、ワルラスの一般均衡を実際的に表現したものであった。ワルラスは市場を商品の競売として抽象化し、競売人が価格を宣言し、市場参加者は希望する数量に対して各自の留保価格を満たすまで待つ（これはすべての商品の競売であるため、誰もが希望する商品のバスケットに対して留保価格を持っていることを思い出す必要がある）。^[28]

全ての買い手が与えられた市場価格に満足した場合にのみ、取引が行われる。市場はその価格で「クリア」され、余剰も不足も存在しない。タトネマンという言葉は、市場が均衡に向かって模索し、すべての商品の価格が合意されるまで、さまざまな商品の価格を高くしたり低くしたりしながら進む方向を表すのに使われる。このプロセスは動的に見えるが、ワルラスは静的なモデルを提示しただけであり、すべての市場が均衡するまで取引は行われない。実際には、このような方法で機能する市場はごくわずかである。^[29]

エッジワースは、1881年に出版された『数学的心霊術：道徳科学への数学の応用に関する論文』で、経済学に数学的要素を明示的に導入した。 ^[30] 彼はジェレミー・ベンサムの幸福計算を経済行動に取り入れ、各決定の結果を効用の変化に変換できるようにした。^[31] この仮定を使用して、エッジワースは、個人は利己的であること、個人は効用を最大化するように行動すること、個人は「第三者とは無関係に他の個人と自由に再契約できること」という3つの仮定に基づいて交換モデルを構築した。^[32]

2人の個人が与えられた場合、両方の個人が効用を最大化できる解の集合は、現在ではエッジワースボックスとして知られている契約曲線によって記述されます。技術的には、エッジワース問題に対する2人解の構築は、1924年にアーサー・ライオン・ボウリーによって初めて図式化されました。^[34] エッジワースボックスの契約曲線（またはより一般的には、より多くのアクターに対するエッジワース問題の解の集合）は、経済のコアと呼ばれます。 ^[35]

エッジワースは、数学的証明は経済学のすべての学派に適切であると主張することに多大な努力を費やした。エコノミック・ジャーナルの編集長を務めていた間、彼は数理経済学の著名な懐疑論者であるエドウィン・ロバート・アンダーソン・セリグマンを含むライバル研究者の数学的厳密さを批判するいくつかの記事を発表した。 ^{[36]これらの記事は、}税負担と生産者の対応 をめぐる議論に焦点を当てていた。エッジワースは、供給の共同性はあるが需要の共同性はない財（飛行機のファーストクラスとエコノミークラスなど、飛行機が飛ぶと両方の座席も一緒に飛ぶ）を生産する独占企業の場合、税金が適用されると、消費者が目にする2つの財のうちの1つの価格が実際に下がる可能性があることに気付いた。常識とより伝統的な数値解析は、これがばかげていることを示しているように思われた。セリグマンは、エッジワースが得た結果は彼の数学的定式化の奇抜さであると主張した。彼は、連続的な需要関数と税金の微小な変化という仮定が逆説的な予測をもたらしたと示唆した。 ハロルド・ホテリングは後にエッジワースが正しく、同じ結果（「税金の結果としての価格の低下」）が不連続な需要関数と税率の大きな変化によって起こり得ることを示した。^[37]

1930年代後半からは、微分積分や微分方程式、凸集合、グラフ理論などの一連の新しい数学的ツールが、物理学に以前適用された新しい数学的手法と同様の方法で経済理論を発展させるために導入されました。^{[8] [38]このプロセスは後に、}力学から公理への移行として説明されました。^[39]

ヴィルフレド・パレートは、経済主体による決定を、ある財の配分を別のより好ましい配分に変更する試みとして扱うことで、ミクロ経済学を分析した。すると、少なくとも一人の個人を豊かにし、他のどの個人も不利にしないような交換が主体間で発生し得ない場合、配分セットはパレート効率的（パレート最適は同義語）として扱うことができる。^[40] パレートの証明は、ワルラス均衡と混同されることが多く、非公式にはアダム・スミスの「見えざる手」仮説に帰せられる。^{[41]むしろ、パレートの声明は、}厚生経済学の第一基本定理として知られる定理の最初の正式な主張であった。^[42] これらのモデルには、次世代の数理経済学の不等式が欠けていた。

ポール・サミュエルソンは、画期的な論文『経済分析の基礎』（1947年）で、アルフレッド・マーシャルの以前の研究を基に、この分野の複数の分野にわたる共通のパラダイムと数学的構造を特定した。『基礎』は物理学の数学的概念を取り上げ、それを経済問題に適用した。この幅広い視点（例えば、ルシャトリエの原理とタトネマンとの比較）は、数理経済学の基本的な前提を推進するものである。すなわち、経済主体のシステムはモデル化でき、その行動は他のシステムとほとんど同じように記述できる。この拡張は、前世紀の限界主義者の研究に続き、それを大幅に拡張したものである。サミュエルソンは、集合グループに対して個々の効用最大化を適用する問題に、比較静学（変数の外生的変化後の2つの異なる均衡状態を比較する）でアプローチした。この方法とこの本の他の方法は、20世紀の数理経済学の基礎となった。^{[7] [43]}

一般均衡の制約モデルは、1937年にジョン・フォン・ノイマンによって定式化された。 ^[44]以前のバージョンとは異なり、フォン・ノイマンのモデルには不等式制約があった。フォン・ノイマンは、拡大経済モデルにおいて、ブラウワーの不動点定理の一般化を用いて均衡の存在と一意性を証明した。フォン・ノイマンの拡大経済モデルは、非負行列 AとBを持つ行列ペンシル A - λ Bを考慮し、フォン・ノイマンは、相補性方程式 を解く確率ベクトルpと q、および正の数 λを求めた。  

p ^T  ( A − λ  B )  q = 0,

経済効率を表す2つの不等式システムも提示されている。このモデルでは、（転置された）確率ベクトルpは商品の価格を表し、確率ベクトルqは生産プロセスが実行される「強度」を表す。唯一の解 λは経済の成長率を表し、これは利子率に等しい。正の成長率の存在を証明し、成長率が利子率に等しいことを証明することは、フォン・ノイマンにとっても注目すべき成果だった。^{[45] [46] [47]フォン・ノイマンの結果は、非負の行列のみを使用するフォン・ノイマンのモデルにおける}線形計画法の特殊なケースと見なされている。^[48]フォン・ノイマンの拡大経済モデルの研究は、計算経済学に関心を持つ数理経済学者の関心を引き続けている。^{[49] [50] [51]}

1936年、ロシア生まれの経済学者ワシリー・レオンチェフは、ソ連の経済学者が作成した「物質収支」表から、投入産出分析モデルを構築した。この表自体は、重農主義者による以前の研究を踏襲したものである。生産と需要のプロセスを記述した彼のモデルで、レオンチェフは、ある経済部門の需要の変化が他の経済部門の生産にどのように影響するかを説明した。^[52]実際には、レオンチェフは、経済的に興味深い問題に対処するために、彼の単純なモデルの係数を推定した。生産経済学では、「レオンチェフ技術」は、投入物の価格に関係なく、一定の割合の投入物を使用して出力を生成するため、経済を理解するためのレオンチェフモデルの価値は低下するが、そのパラメータは比較的簡単に推定できる。対照的に、拡大経済のフォン・ノイマンモデルでは、技術の選択が可能だが、係数は各技術ごとに推定する必要がある。^{[53] [54]}

数学において、数理最適化（または最適化、数理計画法）とは、利用可能な選択肢の集合から最良の要素を選択することを指す。^[55]最も単純なケースでは、最適化問題は、関数の入力値を選択し、関数の対応する値を計算することによって、実関数を最大化または最小化することを 伴う。解決プロセスには、最適性のための一般的な必要十分条件を満たすことが含まれる。最適化問題の場合、関数とその入力に関して特殊な表記法が使用される場合がある。より一般的には、最適化には、定義されたドメインが与えられた場合の関数の最良の利用可能な要素を見つけることが含まれ、さまざまな 計算最適化手法が使用される場合がある。^[56]

経済学は、経済におけるエージェントによる最適化と密接に結びついており、影響力のある定義では、経済学を科学として「目的と希少な手段の関係としての人間の行動の研究」と表現し、代替用途も挙げている。 ^[57]最適化問題は現代の経済学に存在し、その多くは明確な経済的または技術的制約を伴う。ミクロ経済学では、効用最大化問題とその双対問題である、与えられた効用レベルに対する支出最小化問題は、経済的最適化問題である。 ^[58]理論では、消費者は予算制約に従って効用 を最大化し、企業は生産関数、投入コスト、市場需要に従って利益を最大化するとされている。^[59]

経済均衡は、原理的には経験的データに対して検証できる経済定理の重要な要素として最適化理論で研究されている。^{[7] [60]}リスクと不確実性を考慮した動的計画法やモデリング最適化の分野 では新たな発展があり、ポートフォリオ理論、情報の経済学、探索理論への応用も行われている。^[59]

市場システム全体の最適性は、厚生経済学の2つの基本定理の定式化^[61]や一般均衡のアロー・ドブリューモデル（以下でも議論）のように、数学的に表現されることがある。 ^{[62]より具体的には、多くの問題は}解析的（定式化）な解決法で説明できる。他の多くの問題は複雑すぎて、ソフトウェアの助けを借りた数値的解決法が必要となる。 ^{[56]さらに複雑だが扱いやすい問題もあり、}計算可能な解決法、特に経済全体の計算可能な一般均衡モデルが利用できる。^[63]

線形計画法と非線形計画法は、以前は等式制約のみを考慮していたミクロ経済学に大きな影響を与えました。^[64]ノーベル経済学賞を受賞した数理経済学者の多くは、線形計画法を用いた注目すべき研究を行っていました。レオニード・カントロヴィッチ、レオニード・ハーヴィッツ、チャリング・クープマンス、ケネス・J・アロー、ロバート・ドーフマン、ポール・サミュエルソン、ロバート・ソローです。^{[65]カントロヴィッチとクープマンスはどちらも、}ジョージ・B・ダンツィヒが線形計画法のノーベル賞を共同受賞するに値すると認めました。非線形計画法の研究を行った経済学者もノーベル賞を受賞しており、カントロヴィッチ、ハーヴィッツ、クープマンス、アロー、サミュエルソンに加えて、ラグナル・フリッシュが有名です。

線形計画法は、1930年代のロシアと1940年代のアメリカで、企業や産業における資源の配分を支援するために開発されました。ベルリン空輸（1948年）の際には、ソ連の封鎖後にベルリンが飢餓に陥るのを防ぐため、物資の輸送計画を立てるために線形計画法が使用されました。^{[66] [67]}

不等式制約による非線形最適化の拡張は、 1951年にアルバート・W・タッカーとハロルド・クーンによって達成され、彼らは非線形最適化問題を考察した。

対象と場所を最小限に抑える${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}$${\displaystyle h_{j}(x)=0}$

${\displaystyle f(\cdot )}$最小化される関数である

${\displaystyle g_{i}(\cdot )}$不等式制約の関数であり、${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle h_{j}(\cdot )}$は、 という等式制約の関数です。${\displaystyle l}$${\displaystyle j=1,\dots ,l}$

不等式制約を許容することで、クーン・タッカーのアプローチは、（それまでは）等式制約のみを許容していたラグランジュ乗数の古典的な方法を一般化した。 ^[68] クーン・タッカーのアプローチは、不等式制約の扱いを含むラグランジュ双対性に関するさらなる研究に影響を与えた。^{[69] [70]}非線形計画法の双対性理論は、フェンチェルとロッカフェラーの凸解析的双対性理論を活用する凸最小化問題に適用すると特に満足のいくものとなる。この凸双対性は、線形計画法で生じるような多面体凸関数に対して特に強力である。ラグランジュ双対性と凸解析は、オペレーションズ・リサーチ、発電所のスケジュール作成、工場の生産計画、航空会社のルーティング（ルート、フライト、飛行機、乗務員）で日常的に使用されている。^[70]

経済ダイナミクスでは、動的システムを含め、時間の経過に伴う経済変数の変化が考慮されています。このような変化に対する最適な関数を見つける問題は、変分法と最適制御理論で研究されています。第二次世界大戦前、フランク・ラムゼーとハロルド・ホテリングは、その目的で変分法を使用していました。

リチャード・ベルマンの動的計画法に関する研究と、L・ポントリャーギン らによる初期の研究の1962年の英訳に続いて、 ^{[71]最適制御理論は経済学において、特に}経済成長の均衡と経済システムの安定性に関する動的問題を扱う際に広く使用されるようになり、^[72]最適消費と最適貯蓄が教科書的な例である。^[73]決定論的制御モデルと確率的制御モデルの間には決定的な違いがある。^[74] 最適制御理論の他の応用としては、金融、在庫、生産などがある。^[75]

ジョン・フォン・ノイマンが1937年の経済成長モデルで最適均衡の存在を証明する過程で、関数解析手法を導入し、経済理論に位相幾何学、特に ブラウワーの不動点定理の一般化による不動点理論を導入した。^{[8] [44] [76]}フォン・ノイマンのプログラムに続いて、ケネス・アローとジェラール・ドブリューは、凸集合 と不動点理論を使用して経済均衡の抽象モデルを定式化した。1954年にアロー・ドブリュー・モデルを導入した際、彼らは均衡の存在（ただし一意性ではない）を証明し、またすべてのワルラス均衡がパレート効率的であることを証明した。一般に均衡は一意である必要はない。^[77]彼らのモデルでは、（「主」）ベクトル空間は量を表し、「双対」ベクトル空間は価格を表した。^[78]

ロシアでは、数学者レオニード・カントロヴィッチが、数量と価格の二重性を強調した、半順序ベクトル空間における経済モデルを開発した。 ^[79]カントロヴィッチは価格を「客観的に決定された評価」と改名したが、これはロシア語で「o. o. o.」と略され、ソ連で価格について議論することの難しさを暗示している。^{[78] [80] [81]}

関数解析の概念は有限次元でも経済理論に光を当て、特に価格が生産や消費の可能性を表す凸集合を支える超平面への法線ベクトルとしての役割を明らかにした。しかし、時間の経過や不確実性の下での最適化を記述する問題では、エージェントが関数や確率過程の中から選択するため、無限次元関数空間の使用が必要となる。^{[78] [82] [83] [84]}

ジョン・フォン・ノイマンの関数解析と位相幾何学に関する研究は、数学と経済理論に新境地を開いた。^{[44] [85]}また、この研究によって、高度な数理経済学における微分積分の応用は減少した。特に、一般均衡理論家は、微分積分よりも一般位相幾何学、凸幾何学、最適化理論を多用した。これは、微分積分のアプローチでは均衡の存在を証明できなかったためである。

しかし、微分積分の衰退は誇張されるべきではない。なぜなら、微分積分は常に大学院教育や応用で使用されてきたからである。さらに、微分積分は、数理経済学の最高レベルである一般均衡理論(GET) に戻り、「 GETセット」(ジャック・H・ドレーズによるユーモラスな呼称)によって実践されている。しかし、1960年代と1970年代に、ジェラール・ドブリューとスティーブン・スメールは、数理経済学における微分積分の使用の復活を主導した。特に、彼らは、一般位相幾何学からのベールのカテゴリと微分位相幾何学からのサールの補題という斬新な数学に​​より、以前の著者が失敗した一般均衡の存在を証明することができた。微分解析の使用に関連する他の経済学者には、エグバート・ディルカー、アンドリュー・マスコレル、イヴ・バラスコがいる。^{[86] [87]}これらの進歩は、微分積分の放棄を称賛したフォン・ノイマンに続く数理経済学の歴史の伝統的な物語を変えました。

ジョン・フォン・ノイマンは、オスカー・モルゲンシュテルンとともにゲーム理論に取り組んでおり、1944年に凸集合と位相不動点理論に関連する関数解析手法を経済分析に拡張することで、数学の新しい境地を開いた。 ^{[8] [85]}彼らの研究は、最大値演算子が微分不可能な関数に適用されない伝統的な微分積分​​を回避した。 フォン・ノイマンの協力ゲーム理論の研究を引き継いで、ゲーム理論家のロイド・S・シャプレー、マーティン・シュビック、エルヴェ・ムーラン、ニムロド・メギド、ベザレル・ペレグは、政治学と経済学における経済研究に影響を与えた。たとえば、協力ゲームにおける公正な価格や投票ゲームの公正な価値に関する研究は、議会での投票や公共事業の費用計算のルール変更につながった。たとえば、協力ゲーム理論は、スウェーデン南部の給水システムの設計や、米国の専用電話回線の料金設定に使用された。

以前の新古典派理論は、交渉結果の範囲と、例えば二国間独占やエッジワースボックスの契約曲線に沿った特殊なケースのみを限定していた。^[88] フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンの結果は同様に弱いものだった。しかし、フォン・ノイマンのプログラムに続いて、ジョン・ナッシュは不動点理論を使用して、交渉問題と非協力ゲームが唯一の均衡解を生み出すことができる条件を証明した。^[89]非協力ゲーム理論は 、実験経済学、^[90]行動経済学、^[91]情報経済学、^[92]産業組織論、^[93]政治 経済学の基本的な側面として採用されている。^{[94]また、}メカニズムデザイン（逆ゲーム理論と呼ばれることもある）という主題を生み出し、情報共有のインセンティブを通じて経済効率を向上させる方法について、民間および公共政策に応用されている。^[95]

1994年、ナッシュ、ジョン・ハルサニ、ラインハルト・ゼルテンは非協力ゲームに関する研究でノーベル経済学賞を受賞した。ハルサニとゼルテンは反復ゲームに関する研究で受賞した。その後の研究で彼らの研究結果は計算モデル化手法にまで拡張された。^[96]

エージェントベースの計算経済学 (ACE) という名前で呼ばれる分野は比較的新しく、発表された研究は 1990 年代に遡ります。ACE は、経済プロセス (経済全体を含む) を、時間の経過とともに相互作用するエージェントの動的システムとして研究します。したがって、ACE は複雑適応システムのパラダイムに属します。^[97]対応するエージェントベースのモデルでは、エージェントは実際の人間ではなく、「ルールに従って相互作用するようにモデル化された計算オブジェクト」であり、「そのミクロレベルの相互作用が空間と時間で出現パターンを作成します」。^[98]ルールは、インセンティブと情報に基づいて行動と社会的相互作用を予測するように策定されます。エージェント市場による数学的最適化の理論的仮定は、市場の力に適応する限定合理性を持つエージェントという、より制限の少ない仮定に置き換えられます。^[99]

ACEモデルは、定理の定式化などのより従来的な方法がすぐには使用できない可能性のある複雑な動的問題のコンピュータベースのシミュレーションに数値解析法を適用します。 ^[100]指定された初期条件から始めて、計算経済システムは、その構成エージェントが繰り返し相互作用するにつれて時間の経過とともに進化するものとしてモデル化されます。これらの点で、ACEは経済研究に対するボトムアップの培養皿アプローチとして特徴付けられています。^[101]他の標準的なモデリング方法とは対照的に、ACEイベントは、均衡が存在するかどうか、または計算的に扱いやすいかどうかに関係なく、初期条件によってのみ駆動されます。ただし、ACEモデリングには、エージェントの適応、自律性、および学習が含まれます。^[102]これは、社会的相互作用をモデル化するエージェントベースの方法として、ゲーム理論と類似しており、重複しています。 ^[96]このアプローチの他の側面には、競争と協力、^[103]市場構造と産業組織、^[104]取引費用、^[105]厚生経済学^[106]とメカニズム設計、^[95]情報と不確実性、^[107]マクロ経済学などの標準的な経済学の主題が含まれます。^{[108] [109]}

この方法は、コンピュータサイエンスのモデリング技術の継続的な改善とコンピュータの能力の向上から恩恵を受けていると言われています。問題には、一般的な実験経済学に共通する問題^[110]と、比較による問題^[111]、およびエージェントベースのモデリングにおける実証的検証と未解決の問題の解決のための共通フレームワークの開発が含まれます。^[112]この方法の究極の科学的目的は、「各研究者の研究が以前の研究を適切に基盤として構築され、経験的に裏付けられた理論が時間の経過とともに蓄積されるように、理論的な発見を現実世界のデータに対してテストすること」と説明されています。^[113]

20世紀を通じて、経済学の「コアジャーナル」^[115]に掲載される論文は、ほとんどが学界の経済学者によって執筆されてきた。その結果、これらのジャーナルで発表される資料の多くは経済理論に関するものであり、「経済理論自体は、より抽象的かつ数学的になってきている」。^[116]これらのコアジャーナルで採用されている数学的手法の主観的評価^[117]によると、幾何学的表現も数学的表記も使用しない論文は、1892年の95%から1990年の5.3%に減少している。^[118] 2007年にトップ10の経済ジャーナルを対象に行われた調査では、2003年と2004年に発表された論文のうち、データの統計分析と、ページの余白に番号で索引付けされた数式の表示の両方が欠けていたのはわずか5.8%だった。^[119]

第一次世界大戦と第二次世界大戦の間に、数理統計学の進歩と数学的に訓練された経済学者の集団によって計量経済学が生まれました。これは、数学と統計学を使用して経済学を発展させる学問分野に提案された名前です。経済学では、「計量経済学」は数理経済学ではなく、経済学の統計的手法を指すことが多いです。統計計量経済学は、経済データへの線形回帰と時系列分析の適用を特徴としています。

ラグナル・フリッシュは「計量経済学」という言葉を作り出し、 1930年に計量経済学会、 1933年に雑誌『エコノメトリカ』^{の創刊に貢献した。 [120] [121]} フリッシュの弟子であるトリグヴェ・ハーヴェルモは1944年に『計量経済学における確率的アプローチ』を出版し、精密な統計分析は複雑な情報源から得たデータを用いて経済主体に関する数学的理論を検証するツールとして使えると主張した。^[122] システムの統計分析と経済理論の結びつきは、1930年代から1940年代にかけて、カウルズ委員会（現在のカウルズ財団）によっても広められた。^[123]

現代計量経済学のルーツは、アメリカの経済学者ヘンリー・L・ムーアに遡る。ムーアは農業生産性を研究し、トウモロコシやその他の作物の区画の生産性の変化を、異なる弾性値を使用して曲線に当てはめようとした。ムーアは、モデルの選択や数学の使用の限界など、いくつかの誤りを犯した。ムーアのモデルの精度は、当時の米国の国民経済計算のデータが貧弱だったために制限されていた。ムーアの最初の生産モデルは静的であったが、1925年に彼は景気循環を説明するために設計された動的な「移動均衡」モデルを発表した。この供給曲線と需要曲線の過剰修正による周期的な変動は、現在クモの巣モデルとして知られている。このモデルのより正式な導出は、後にニコラス・カルドアによって行われ、その説明で広く評価されている。^[124]

古典経済学の多くは、単純な幾何学用語や初等数学表記法で表現できる。しかし、数理経済学では、経済分析において微積分や行列代数を慣例的に利用し、そのような数学的ツールがなければ難しいであろう説得力のある主張を行っている。これらのツールは、数理経済学だけでなく、現代の経済理論全般において、正式な研究の前提条件である。経済問題には多くの変数が含まれることが多く、数学がそれらを扱い解決する唯一の実用的な方法である。 アルフレッド・マーシャルは、定量化され、分析的に表現され、解決できるすべての経済問題は、数学的作業によって扱われるべきであると主張した。^[126]

経済学はますます数学的手法に依存するようになり、そこで用いられる数学的ツールはより洗練されたものとなっている。その結果、経済学と金融の専門家にとって数学はより重要になってきている。経済学と金融学の両方の大学院プログラムは、入学にあたり学部レベルでの数学の十分な準備を必要としており、このためますます多くの数学者を引きつけている。応用数学者は、経済分析やその他の経済関連の問題などの実際的な問題に数学的原理を適用し、多くの経済問題はしばしば応用数学の範囲内に統合されていると定義される。^[18]

この統合は、経済問題を、明確な仮定と反証可能な予測を伴う定型モデルとして定式化することで実現します。このモデル化は、アダム・スミスの『国富論』のように非公式または平凡なものである場合もあれば、公式で厳密かつ数学的なものになる場合もあります。

大まかに言えば、正式な経済モデルは確率的か決定論的か、離散的か連続的かに分類できる。実用的なレベルでは、定量的モデリングは経済学の多くの分野に適用されており、いくつかの方法論が多かれ少なかれ互いに独立して進化してきた。^[127]

• 確率モデルは、確率過程を使用して定式化されます。これらは、時間の経過に伴う経済的に観察可能な値をモデル化します。計量経済学のほとんどは、これらの過程についての仮説を定式化してテストしたり、それらのパラメータを推定したりするために統計に基づいています。第一次世界大戦と第二次世界大戦の間に、ハーマン・ウォルドは、自己回帰モデルと決定論的傾向の観点から定常確率過程の表現を開発しました。ウォルドとヤン・ティンバーゲンは、時系列分析を経済データに適用しました。時系列統計に関する現代の研究では、自己回帰移動平均モデルなどの定常過程の追加の定式化が検討されています 。より一般的なモデルには、 自己回帰条件付き異分散性(ARCH) モデルと一般化 ARCH ( GARCH ) モデルがあります。
• 非確率的数学モデルは、純粋に定性的（例えば、社会選択理論のある側面に関わるモデル）または定量的（例えば、双曲座標や変数間の関数関係の特定の形式による金融変数の合理化に関わる）である場合がある。場合によっては、モデルの経済予測は単に経済変数の動きの方向を主張するだけであり、そのため関数関係は定性的意味でのみ使用される。例えば、ある商品の価格が上昇すると、その商品の需要は減少する。このようなモデルの場合、経済学者は関数の代わりに2次元グラフを使用することが多い。
• 定性モデルは時々使用されます。1 つの例は、起こりうる将来のイベントを予測する定性シナリオ プランニングです。もう 1 つの例は、非数値的な決定木分析です。定性モデルは、精度が不足することがよくあります。

数理経済学の大きな魅力は、特に政治的に重要なテーマに関して、経済的思考に一定の厳密さをもたらすことです。たとえば、法人税の引き下げが労働者の賃金上昇に有効かどうかの議論では、単純な数学モデルが当面の問題を理解するのに役立ちました。

ハーバード大学のグレッグ・マンキュー教授 は、知的な訓練として次のような問題を提起した。^[128]

開放経済には生産関数があり、ここで は労働者一人当たりの産出量、は労働者一人当たりの資本です。資本ストックは、税引き後の資本の限界生産性が外生的に与えられた世界金利と等しくなるように調整されます...減税により賃金はどの程度上昇するでしょうか?${\textstyle y=f(k)}$${\textstyle y}$${\textstyle k}$${\textstyle r}$

この疑問に答えるために、フーバー研究所のジョン・H・コクランの考えに従う。^[129]開放経済が次のような生産関数を持つと仮定する。この式の変数は以下のとおりである。 $${\displaystyle Y=F(K,L)=f(k)L,\quad k=K/L}$$

• ${\textstyle Y}$総出力は
• ${\textstyle F(K,L)}$生産関数である
• ${\textstyle K}$総資本ストック
• ${\textstyle L}$総労働ストック

生産関数の標準的な選択は、コブ・ダグラス型生産関数です。ここで、は生産性の要素で、定数と仮定します。このモデルでは、法人税の引き下げは資本への課税に相当します。税金によって、企業は次を最大化しようとします。ここで、は資本税率、は労働者一人当たりの賃金、 は外生的な利子率です。この場合、一次最適条件は次のようになります。したがって、最適条件から次のことが分かります。総税額を と定義します。これは、労働者一人当たりの税額が次のようになることを意味します。税率を与えられた場合、労働者一人当たりの税額の変化は次のようになります。賃金の変化を求めるには、労働者一人当たりの賃金について 2 番目の最適条件を微分して次の式を取得します。利子率が で固定され、 となると仮定すると、利子率について 1 番目の最適条件を微分して次の式を求めることができます。今のところは、となる資本税引き下げの静的効果のみに注目しましょう。この式を、税率に対する賃金の変化に関する式に代入すると、次のようになります。したがって、資本税の減税が賃金に与える静的な影響は次のとおりです。このモデルに基づくと、労働者の賃金が減税額よりも大きく上昇する可能性があるようです。 しかし、これは静的な影響のみを考慮したものであり、動的影響も考慮する必要があることはわかっています。 動的モデルでは、税率に対する労働者 1 人あたりの税金の変化に関する式を次のように書き直すことができます。を思い出すと、次のようになります。コブ・ダグラス生産関数を使用すると、次のようになります。したがって、資本税の減税が賃金に与える動的影響は次のとおりです。 とすると、資本税を下げることによる賃金への動的影響は、静的な影響よりもさらに大きくなります。 さらに、資本蓄積に正の外部性がある場合、減税が賃金に与える影響は、先ほど導出したモデルよりも大きくなります。 結果は次の組み合わせであることに注意することが重要です。 $${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }=Ak^{\alpha }L,\quad \alpha \in [0,1]}$$${\textstyle A}$$${\displaystyle J=\max _{K,L}\;(1-\tau )\left[F(K,L)-wL\right]-rK\equiv \max _{K,L}\;(1-\tau )\left[f(k)-w\right]L-rK}$$${\textstyle \tau }$${\textstyle w}$${\textstyle r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial J}{\partial K}}&=(1-\tau )f'(k)-r\\{\frac {\partial J}{\partial L}}&=(1-\tau )\left[f(k)-f'(k)k-w\right]\end{aligned}}}$$$${\displaystyle r=(1-\tau )f'(k),\quad w=f(k)-f'(k)k}$$${\textstyle X=\tau [F(K,L)-wL]}$${\textstyle x}$$${\displaystyle x=\tau [f(k)-w]=\tau f'(k)k}$$$${\displaystyle {dx \over {d\tau }}=\underbrace {f'(k)k} _{\text{Static}}+\underbrace {\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}} _{\text{Dynamic}}}$$$${\displaystyle {\frac {dw}{d\tau }}=\left[f'(k)-f'(k)-f''(k)k\right]{\frac {dk}{d\tau }}=-f''(k)k{\frac {dk}{d\tau }}}$$${\textstyle r}$${\textstyle dr/d\tau =0}$$${\displaystyle {dk \over {d\tau }}={f'(k) \over {(1-\tau )f''(k)}}}$$${\textstyle dx/d\tau =f'(k)k}$$${\displaystyle {dw \over {d\tau }}=-{\frac {f'(k)k}{1-\tau }}=-{1 \over {1-\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}}$$$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1 \over {1-\tau }}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{dx \over {d\tau }}&=f'(k)k+\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}\\&=f'(k)k+{\tau \over {1-\tau }}{[f'(k)]^{2}+f'(k)f''(k)k \over {f''(k)}}\\&={\tau \over {1-\tau }}{f'(k)^{2} \over {f''(k)}}+{1 \over {1-\tau }}f'(k)k\\&={f'(k) \over {1-\tau }}\left[\tau {f'(k) \over {f''(k)}}+k\right]\end{aligned}}}$$${\textstyle dw/d\tau =-f'(k)k/(1-\tau )}$$${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{{\frac {f'(k)k}{1-\tau }} \over {{\frac {f'(k)}{1-\tau }}\left[\tau {\frac {f'(k)}{f''(k)}}+k\right]}}=-{\frac {1}{\tau {\frac {f'(k)}{kf''(k)}}+1}}}$$$${\displaystyle {f'(k) \over {kf''(k)}}=-{1 \over {1-\alpha }}}$$$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1-\alpha \over {1-\tau -\alpha }}}$$${\textstyle \alpha =\tau =1/3}$

1. 小規模開放経済では労働者が小規模資本所得税の100％を負担するという標準的な結果
2. 税率がプラスの場合、一次デッドウェイト損失により増税の負担が収入を上回るという事実

一定の仮定のもとで、法人税の引き下げにより労働者の賃金が減収分を上回る上昇を示すこの結果は、その規模が正しいことを意味するものではない。むしろ、これは、手抜きに頼らない政策分析の根拠を示唆している。仮定が妥当であれば、このモデルは現実の許容できる近似値となる。そうでなければ、よりよいモデルを開発する必要がある。

ここで、コブ＝ダグラス型生産関数の代わりに、より一般的な一定代替弾性（CES）生産関数 があると仮定しましょう。ここで、は資本と労働の代替弾性です。計算したい関連量は で、次のように導出できます。したがって、これを使用して次のことを見つけることができます。したがって、一般的な CES モデルでは、資本税削減の賃金に対する動的影響は次のとおりです。 のとき、コブ＝ダグラス型の解が得られます。 のとき、つまり完全代替が存在する場合、次のことがわかります- 資本税の変更による賃金への影響はありません。また のとき、つまり完全補完が存在する場合、次のことがわかります- 資本税の削減により、賃金がちょうど 1 ドル増加します。 $${\displaystyle f(k)=A\left[\alpha k^{\rho }+(1-\alpha )\right]^{1/\rho }}$$${\textstyle \rho =1-\sigma ^{-1}}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle f'/kf''}$$${\displaystyle {f' \over {kf''}}=-{1 \over {1-\rho -{\alpha (1-\rho ) \over {\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }}}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}1+\tau {f' \over {kf''}}&=1-{\tau [\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }] \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\\[6pt]&={(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}}$$${\textstyle \rho =0}$${\textstyle \rho =1}$${\textstyle dw/dx=0}$${\textstyle \rho =-\infty }$${\textstyle dw/dx=-1}$

オーストリア学派は、シカゴ学派のような限界主義の主流派経済学者と多くの点で同じ規範的経済的議論を展開しているが、特に経済学の数学的化に対する鋭い批判において、主流派の新古典派経済学とは方法論的に異なっている。 ^[130]フリードリヒ・ハイエクは、形式的手法の使用は科学的正確さを投影するが、それは現実の経済主体が直面する情報の限界を適切に考慮していないと主張した。^[131]

1999年のインタビューで、経済史家 ロバート・ハイルブローナーは次のように述べている。^[132]

科学的アプローチは、この 20 ～ 30 年の間に、この職​​業に浸透し、すぐに主流になり始めたと思います。これは、さまざまな数学的分析の「発明」と、実際にその大幅な改善によってもたらされた部分もあります。現代は、データが増えただけでなく、データの使用方法がより洗練された時代です。そのため、これはデータ満載の科学であり、データ満載の取り組みであるという強い感覚があります。これは、膨大な数値、膨大な方程式、そしてジャーナル ページの見た目だけで、科学にある程度似ています。 . . . その中心的な活動は科学的に見えます。それはわかります。それは本物だと思います。それは普遍的な法則に近づいています。しかし、科学に似ていることと科学であることは異なります。

ハイルブローナーは「経済学の一部/大部分は本来定量的なものではなく、したがって数学的な説明には向かない」と述べた。^[133]

哲学者カール・ポパーは1940年代から1950年代にかけて経済学の科学的立場について論じた。彼は数理経済学はトートロジー的であるという欠点があると主張した。言い換えれば、経済学が数学理論となったことで、数理経済学は経験的反証に頼らなくなり、数学的証明と反証に頼るようになった。^{[134]ポパーによれば、反証可能な仮定は実験と観察によってテストできるが、反証不可能な仮定はその結果や他の仮定との}整合性について数学的に調査できる。^[135]

ミルトン・フリードマンは、数理経済学に限らず、経済学全般における仮定に関するポパーの懸念を共有し、「すべての仮定は非現実的である」と宣言した。フリードマンは、経済モデルをその仮定と現実の一致ではなく、予測のパフォーマンスによって判断することを提案した。^[136]

数理経済学について、JMケインズは『一般理論』の中で次のように書いている。^[137]

経済分析のシステムを形式化する記号的疑似数学的方法の大きな欠点は、関係する要因間の厳密な独立性を明確に想定し、この仮説が認められなければ説得力と権威を失うことです。一方、通常の会話では、盲目的に操作しているわけではなく、自分が何をしているのか、言葉が何を意味するのかを常に把握しているため、必要な留保、資格、および後で行わなければならない調整を​​「頭の片隅に」置いておくことができます。これは、複雑な偏微分を、すべて消えると想定している数ページの代数の「奥に」置いておくことができないのと同じです。最近の「数学的」経済学のあまりにも大きな部分は、その根拠となる最初の仮定と同じくらい不正確な、単なるでっちあげであり、著者は、気取った役に立たない記号の迷路の中で、現実世界の複雑さと相互依存性を見失ってしまいます。

これらの批判に対して、ポール・サミュエルソンはジョサイア・ウィラード・ギブスの主張を繰り返し、数学は言語であると主張した。経済学では、数学の言語は実質的な問題を表現するために時々必要である。さらに、数理経済学は経済学の概念的進歩をもたらした。^{[138]特にサミュエルソンは}ミクロ経済学 の例を挙げて、「数学の言語に頼らずに[その]より複雑な部分を理解できるほど独創的な人はほとんどいないが、ほとんどの普通の人は数学の助けを借りてかなり簡単に理解できる」と書いている。^[139]

経済学者の中には、数理経済学は他の数学、特に数理最適化や数理統計、そして理論計算機科学のような数学と同じく支援を受けるに値すると主張する者もいる。数理経済学やその他の数理科学には、理論的進歩が経済学のより応用的な分野の改革に定期的に貢献してきた歴史がある。特に、ジョン・フォン・ノイマンのプログラムに続いて、ゲーム理論は現在、統計的意思決定理論（「自然に対するゲーム」として）や計量経済学から一般均衡理論や産業組織論に至るまで、応用経済学の多くを説明する基礎を提供している。過去10年間、インターネットの台頭により、数理経済学者、最適化の専門家、計算機科学者は、オンラインサービスの価格設定の問題に取り組んできた。これは、協力ゲーム理論、微分不可能な最適化、および組み合わせゲームの数学を用いた貢献である。

ロバート・M・ソローは、数理経済学が現代経済学の核となる「基盤」であると結論付けました。

経済学はもはや紳士淑女の会話にふさわしい話題ではありません。経済学は技術的な科目になってしまいました。他のあらゆる技術的な科目と同様に、経済学は、科目よりも技術に興味を持つ人々を惹きつけます。それは残念なことですが、避けられないことかもしれません。いずれにせよ、自分を欺いてはいけません。経済学の技術的な核心は、政治経済にとって不可欠な基盤なのです。だからこそ、今日の世界についての啓蒙を求めて [現代経済学の参考文献] を参照すると、技術的な経済学、または歴史、あるいはまったく何もないところに導かれるのです。^[140]

著名な数理経済学者には以下のような人々がいます。

• 経済物理学
• 数理ファイナンス

• Alpha C. ChiangとKevin Wainwright、[1967] 2005. 「数理経済学の基礎的方法」、McGraw-Hill Irwin。目次。
• E. ロイ・ウェイントラブ、1982年。経済学者のための数学、ケンブリッジ。目次。
• Stephen Glaister、1984年。経済学者のための数学的手法、第3版、Blackwell。目次。
• 高山 明、1985年。数理経済学、第2版。ケンブリッジ。目次。
• ナンシー・L・ストーキー、ロバート・E・ルーカス、エドワード・プレスコット共著、1989年。経済ダイナミクスにおける再帰的手法、ハーバード大学出版局。説明と章のプレビューリンク。
• AK Dixit、[1976] 1990. 経済理論における最適化、第2版、オックスフォード。説明と内容のプレビュー。
• Kenneth L. Judd、1998年。Numerical Methods in Economics、MIT Press。説明と章のプレビューリンク。
• マイケル・カーター、2001年。『数理経済学の基礎』、MIT出版。目次。
• Ferenc Szidarovszky および Sándor Molnár、2002 年。マトリックス理論入門: ビジネスおよび経済への応用、World Scientific Publishing。説明とプレビュー。
• D. Wade Hands、2004 年。Introductory Mathematical Economics、第 2 版。オックスフォード。目次。
• Giancarlo Gandolfo、[1997] 2009. Economic Dynamics、第4版、Springer。説明とプレビュー。
• John Stachurski、2009 年。Economic Dynamics: Theory and Computation、MIT Press。説明とプレビュー。

• 数理経済学ジャーナルの目的と範囲
• エラスムス・ムンドゥス マスター QEM - 定量経済学のモデルと方法、定量経済学のモデルと方法 - QEM