引き算

長さbの線分を考えてみましょう。左端はa、右端はcとします。a から出発して、cに到達するには右にb歩進みます。この右方向への移動は、数学的には加算によってモデル化されます。

a + b = c。

cからaに戻るには、左にbステップ移動する必要があります。この左方向への移動は、減算によってモデル化されます。

c − b = a。

さて、 1、2、3という数字が記された線分があるとします。位置3から左に移動しても3にとどまるにはステップ数は必要ない、つまり3 − 0 = 3です。位置1に到達するには左に2ステップ移動する必要があり、つまり3 − 2 = 1です。この図では、位置3から左に3ステップ移動した後に何が起こるかを説明するには不十分です。このような操作を表すには、線分を延長する必要があります。

任意の自然数を引くには、まずすべての自然数（0、1、2、3、4、5、6、…）を含む直線を用意します。3から左に3ステップ進むと0に到達するので、3 − 3 = 0となります。しかし、3 − 4は直線から外れてしまうため、やはり無効です。自然数は引き算の文脈としては適切ではありません。

解決策は、整数直線（…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…）を考えることです。この方法では、3から左に4ステップ進むと−1に到達します。

3 − 4 = −1。

自然数の減算は閉じていません。減数が減数以上でない限り、差は自然数になりません。例えば、11から26を引いても自然数にはなりません。このような場合、次の2つの方法のいずれかを使用します。

1. 26から11を引くことはできないと結論付けます。減算は部分関数になります。
2. 答えは負の数を表す整数で答えてください。例えば、11から26を引くと-15になります。

実数の領域は、加算と乗算という2つの二項演算と、加法逆元と乗法逆元を生成する単項演算のみを指定することで定義できます。実数（減数）から別の実数（被減数）を引くことは、被減数と減数の加法逆元を足し合わせることで定義できます。例えば、3 − π = 3 + (− π )となります。あるいは、これらの単項演算を要求する代わりに、減算と除算という二項演算を基本とすることもできます。

減法は反交換法則を満たす。つまり、差の項を左から右に逆にすると、結果は元の結果の負の値になる。記号的に表すと、aとb が任意の 2 つの数である場合、

a − b = −( b − a)。

減法は非結合法則であり、これは繰り返し減法を定義しようとする際に問題となる。一般に、式は

「a − b − c」

は ( a − b ) − cまたはa − ( b − c )のいずれかとして定義できますが、これら 2 つの可能性は異なる答えをもたらします。この問題を解決するには、演算の順序を確立する必要があります。順序が異なると、結果も異なります。

整数の文脈では、1の減算も特別な役割を果たします。任意の整数aに対して、整数( a − 1 )はaより小さい最大の整数であり、 aの前身とも呼ばれます。

パーセンテージの変化は、少なくとも2つの形式、すなわちパーセンテージ変化とパーセンテージポイント変化で報告できます。パーセンテージ変化は、2つの量間の相対的な変化をパーセンテージで表したもので、パーセンテージポイント変化は、2つのパーセンテージを差し引いて得られる数値です。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

例えば、ある工場で製造された製品の30%が不良品だとします。6か月後、不良品の割合は20%になりました。パーセントの変化は20% − 30% / 30% = − 1 / 3 = −33 + 1 / 3 %であり、パーセントポイントの変化は−10パーセントポイントです。

現在、アメリカのほとんどすべての学校では、繰り下がりや繰り上がり（分解アルゴリズム）を用いた引き算の方法と、補助記号と呼ばれるマーキングシステムを教えています。^{[ 10 ] [ 11 ]}繰り下がりの方法自体は以前から知られており、教科書にも掲載されていましたが、補助記号の使用は、ウィリアム・A・ブラウネルが補助記号はこの方法を使用する生徒にとって有益であると主張する研究を発表した後に、アメリカの学校で広まりました。^{[ 12 ]}このシステムは急速に普及し、当時アメリカで使用されていた他の引き算の方法に取って代わりました。

ヨーロッパの一部の学校では、オーストリア式減法（加算法とも呼ばれる）と呼ばれる減法を採用している。この方法では繰り下がりはない。また、国によって異なる補助記号（記憶を助けるための印）もある。^{[ 13 ] [ 14 ]}

これらの方法はいずれも、位取りによる1桁の引き算のプロセスとして引き算を分解します。最下位桁から始めて、減数の引き算を行います。

s _j s _{j −1} ... s ₁

マイナスから

m _k m _{k −1} ... m ₁、

ここで、s _iとm _{i は}それぞれ数字であり、 s _{i が}m _{i を}超えない限り、m ₁ − s ₁、m ₂ − s ₂などを書き下します。そうでない場合は、m _iを 10 増やし、この増加を補正するために他の数字を変更します。アメリカ式では、被減数m _{i +1}を 1 減らす（または、借りる非ゼロの数字が現れるまで左方向に借り続ける）ことで補正します。ヨーロッパ式では、減数s _{i +1}を 1 増やすことで補正します。

例： 704 − 512。

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {繰り上がり}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {減数}}\\\longleftarrow \;{\rm {減数}}\\\longleftarrow {\rm {余りまたは差}}\\\end{array}}}$

被減数は 704、減数は 512 です。被減数の桁はm ₃ = 7、m ₂ = 0、m ₁ = 4です。減数の桁はs ₃ = 5、s ₂ = 1、s ₁ = 2です。一の位から始めると、4 は 2 より小さくないので、差 2 が結果の一の位に書き込まれます。十の位では、0 は 1 より小さいので、0 に 10 を加え、1 との差である 9 が十の位に書き込まれます。アメリカ式では、被減数の百の位の数字を 1 減らすことで、10 の増加を修正します。つまり、7に線を引いて6に置き換えます。次に、百の位で引き算を行います。6は5以上なので、その差を百の位に書きます。これで計算は完了です。結果は192です。

オーストリア式では、7を6に減らすのではなく、減算する数の百の位の数字を1増やします。この数字の近くまたは下に小さな印を付けます（学校によって異なります）。次に、1を増やして5を加えると7になる数は何か、という問いを立てて引き算を進めます。答えは1で、結果の百の位に書き留めます。

アメリカ式では、生徒は常に暗算で引き算の表を使うという微妙な違いがあります。一方、オーストリア式では、生徒に暗算で足し算の表を逆向きに使うよう促すことがよくあります。上記の例では、5に1を加えて6を出し、それを7から引くのではなく、1を加えた数に5を加えると7になる数を考えるように生徒に求められます。

例：^{[ 15 ]}

• 
  1 + ... = 3
• 
  差額は線の下に書かれています。
• 
  9 + ... = 5必要な合計 (5) は小さすぎます。
• 
  そこで、それに10を加えて、減数の次の桁に1を置きます。
• 
  9 + ... = 15これで、以前と同じように差を求めることができます。
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  差額は線の下に書かれています。
• 
  合計差額。

例：

• 
  7 − 4 = 3この結果は鉛筆で書き込まれているだけです。
• 
  被減数の次の桁が減数よりも小さいので、鉛筆で書いた数字から1を引いて、次の桁に10を心の中で足します。
• 
  15 − 9 = 6
• 
  被減数の次の桁が減数より小さくないため、この数字をそのまま使用します。
• 
  3 − 1 = 2

この方法では、減数の各桁を右から左へ、その上の桁から引きます。上の数が小さすぎて下の数を引くことができない場合は、10 を加えます。この 10 は、左上の桁から「借りて」、そこから 1 を引きます。次に、次の桁を引き、必要に応じて借りて、すべての桁が引かれるまで続けます。例: ^{[ 16 ]}

• 
  3 − 1 = ...
• 
  線の下に差額を記入します。
• 
  5 − 9 = ...被減数 (5) が小さすぎます!
• 
  そこで、10を足します。10は左端の数字から「借りて」くるので、左端の数字は1減ります。
• 
  15 − 9 = ...これで引き算ができるので、その差を線の下に書きます。
• 
  6 − 4 = ...
• 
  線の下に差額を記入します。
• 
  合計差額。

アメリカ式の変形版で、すべての借用をすべての減算の前に行う。^{[ 17 ]}

例：

• 
  1 − 3 = 不可能。1に 10 を加えます。10 は近くの 5 から「借りる」ので、5 は 1 減ります。
• 
  4 − 9 = 不可能。したがって、ステップ 1 と同じように進めます。
• 
  右から左へ計算すると：11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

部分差法は、繰り上がりや借り入れが行われないため、他の縦方向の減算方法とは異なります。代わりに、被減数が減数より大きいか小さいかに応じてプラスまたはマイナスの符号を付けます。部分差の合計が全体の差になります。^{[ 18 ]}

例：

• 
  小さい方の数を大きい方の数から引きます。700 − 400 = 300被減数が減数より大きいので、この差にはプラスの符号が付きます。
• 
  小さい方の数を大きい方の数から引きます。90 − 50 = 40被減数が減数より小さいので、この差にはマイナス符号が付きます。
• 
  小さい方の数を大きい方の数から引きます。3 − 1 = 2被減数が減数より大きいので、この差にはプラスの符号が付きます。
• 
  +300 − 40 + 2 = 262