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数学の基礎とは、自己矛盾した理論を生み出すことなく数学を発展させ、特に定理、証明、アルゴリズムなどの信頼できる概念を持つことを可能にする論理的および数学的な枠組みのことである。これには、この枠組みと現実との関係についての哲学的研究も含まれる。[ 1 ]
「数学の基礎」という用語は19世紀末まで造語されていませんでしたが、基礎は古代ギリシャの哲学者たちによってアリストテレスの論理学という名で最初に確立され、ユークリッドの『原論』で体系的に応用されました。数学的な主張は、それが真の前提から一連の三段論法（推論規則）によって証明された定理である場合にのみ真実とみなされます。前提は、すでに証明された定理か、公理または公準と呼ばれる自明の主張のいずれかです。
これらの基礎は、17世紀にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって微積分学が導入されるまで、暗黙のうちに決定的なものとみなされていました。この新しい数学の分野は、新しい推論方法と新しい基本概念（連続関数、導関数、極限）を含んでいましたが、それらは十分に根拠づけられてはいませんでした。しかし、ニュートンの万有引力の法則から惑星の軌道が楕円であるという推論が導き出されるなど、驚くべき結果をもたらしました。
19世紀には、微積分学の基本概念、特に自然数と実数の厳密な定義を確立する上で進歩が見られました。しかし、19世紀末には、一見矛盾するような数学的結果が次々と現れ、数学的結果の信頼性と真実性に対する一般的な信頼を揺るがすことになりました。これは「数学の基礎的危機」と呼ばれています。
この危機の解決には、集合論、モデル理論、証明論、計算可能性理論、計算複雑性理論、そして近年ではコンピュータ科学の一部を含む、数理論理学と呼ばれる新しい数学分野の台頭が伴った。20世紀におけるその後の発見により、数学の基礎は、すべての数学に有効な首尾一貫した枠組みへと安定化された。この枠組みは、公理的方法の体系的な使用と集合論、特に選択公理を持つツェルメロ＝フレンケル集合論に基づいている。型理論に基づく基礎も普及し、コンピュータ証明支援システムで一般的に使用されている。
このことから、数、点、線、幾何学的空間といった基本的な数学的概念は、現実からの抽象化としてではなく、基本的な性質（公理）から定義されることになる。これらの概念と物理的な起源との適合性はもはや数学の範疇ではないが、現実との関係は依然として数学的直観を導くために用いられている。つまり、数学者は公理を選択し、証明すべき興味深い定理を見つけ、証明の可能性を示す手がかりを得るために、依然として物理的現実を利用しているのである。
ほとんどの文明は、主に実用的な目的、例えば計数（商人）、測量（畑の区画分け）、韻律、天文学、占星術などのために、何らかの数学を発展させてきた。古代ギリシャの哲学者たちが、数学の本質とその現実世界との関係を最初に研究したようだ。
エレアのゼノン（紀元前490年頃～紀元前430年頃）は、運動は存在しないという自らの主張を裏付けるために、いくつかのパラドックスを提示した。これらのパラドックスは数学的無限という概念に関わるものであり、それは当時の数学の基礎概念の範囲外であり、19世紀末まで十分に理解されていなかった。
ピタゴラス学派は当初、数とは自然数と自然数の比のみであると主張していた。紀元前5世紀頃に、正方形の対角線と辺の比が2つの自然数の比ではないことが発見されたことは彼らにとって 衝撃であり、しぶしぶ受け入れたに過ぎなかった。この証拠として、2つの整数の商ではない数を指す現代の用語である無理数が挙げられる。「無理数」は元々「合理的でない」または「理性では理解できない」という意味であった。[ a ]
長さの比が有理数で表せないという事実は、プラトンの弟子であるクニドスのエウドクソス（紀元前408～355年）によって解決されました。彼は、2つの無理数の比の比較を、関係する量の整数倍の比較に還元しました。彼の方法は、リヒャルト・デデキント（1831 ～ 1916年）による実数の現代的な定義におけるデデキントの方法を先取りしていました。 [ 2 ]クニドスのエウドクソス §エウドクソスの比例を参照。
アリストテレス（紀元前384年～322年）は『分析論後書』において、原始概念、公理、仮説、定義、定理を用いて知識の分野を体系化する論理を構築した。アリストテレスはこのための例の大部分を算術と幾何学から引用し、彼の論理は数世紀にわたって数学の基礎となった。この方法は現代の公理的方法に似ているが、哲学的に大きな違いがある。公理と仮説は自明であるか実験から導き出されるものであり、真であると想定されていたのに対し、公理的方法では証明の正しさ以外の真理は考慮されない。したがって、アリストテレスにとって証明された定理は真であるが、公理的方法では、証明は公理が定理の記述を導くことだけを述べているにすぎない。
アリストテレスの論理学は、ユークリッドの『原論』（紀元前300年）で頂点に達しました。 この数学に関する論文は、非常に高い厳密さをもって構成されており、ユークリッドは各命題を三段論法の連鎖による証明で正当化しています（ただし、必ずしもアリストテレスの定型に厳密に従っているわけではありません）。アリストテレスの三段論法は、ユークリッドの『原論』によるその具体例とともに、古代ギリシャの科学的業績として認められ、何世紀にもわたって数学の基礎であり続けました。
中世において、ユークリッドの『原論』は数学の確固たる基礎として確立され、数学哲学は数学的概念の存在論的地位に焦点を当てていた。問題は、それらが知覚とは独立して存在するのか（実在論）、それとも心の中にのみ存在するのか（概念論）、あるいは単に個々の対象の集合の名前なのか（唯名論）ということであった。
『原論』では、自然数と長さの比のみが考慮される。非整数に対するこの幾何学的見方は中世末期まで支配的であったが、代数学の台頭により、非整数を幾何学とは独立して考えるようになり、これは暗黙のうちに数学の基礎となる基本要素が存在することを示唆している。例えば、アル・フワーリズミーによって導入された方程式の変換や、 16世紀に発見された3次式と4次式は、幾何学的対応物を持たない代数的操作の結果である。
しかしながら、これは数学の古典的な基礎を揺るがすものではなかった。なぜなら、用いられた数の性質はすべて、その幾何学的定義から導き出すことができるからである。
1637年、ルネ・デカルトは『幾何学』を出版し、その中で、点の位置を決定する数値である座標を用いることで、幾何学を代数に還元できることを示した。これにより、彼が実数と呼んだ数値は、より基礎的な役割を担うことになった（彼以前は、数値は2つの長さの比として定義されていた）。デカルトの著書は1649年以降に有名になり、微積分学への道を開いた。
イギリスのアイザック・ニュートン（1642年～1727年）とドイツのライプニッツ（1646年～1716年）は、それぞれ独立して、移動する点（例えば、空の惑星）や可変量を扱うための微積分学を開発した。
そのためには、連続関数、導関数、極限などの新しい概念を導入する必要がありました。これらの概念を論理的に扱うために、それらはゼロに限りなく近い仮想的な数である無限小を用いて定義されました。無限小の計算が数学の基礎に及ぼす強い影響は、プロテスタントの哲学者ジョージ・バークリー（1685-1753）のパンフレットによって示されており、彼は次のように書いています。「無限小は、有限の量でも、無限に小さい量でもなく、かといって無でもありません。それらを、消滅した量の幽霊と呼んではいけないでしょうか？」[ 3 ]
また、厳密性に欠けるという指摘も頻繁になされてきた。なぜなら、微小量とその関連概念は正式に定義されていなかったからである（直線や平面も正式には定義されていなかったが、人々はそれらに慣れ親しんでいた）。実数、連続関数、導関数は、ユークリッド幾何学と同様に、19世紀以前には正式に定義されていなかった。微小量の正式な定義が与えられ、微小量全体はそれらから導き出せるという証明がなされたのは、20世紀になってからのことである。
論理的な基礎がしっかりしていないにもかかわらず、微積分は数学者たちにすぐに受け入れられ、数多くの応用例によってその妥当性が証明された。特に、惑星の軌道はニュートンの万有引力の法則から導き出せるという事実がその例である。
19世紀、数学は様々な分野で急速に発展しました。検討された問題のいくつかは、数学の基礎に関する疑問へとつながりました。提案された解決策は、しばしば哲学的かつ数学的な性質を同時に持つ、さらなる疑問を生み出しました。これらの疑問はすべて、19世紀末から20世紀初頭にかけて、数学の基礎危機と呼ばれる議論へと発展しました。以下の節では、19世紀に明らかになった主要な基礎問題について解説します。
コーシー（1789–1857）は、微積分に厳密な基礎を与えるプロジェクトを開始した。特に、彼は代数の一般性と呼ばれる発見的原理を否定した。これは、適切な証明なしに代数演算の性質を無限列に適用することであった。彼の『解析学講義』（1821）では、現在では「十分に小さい量」と呼ばれる非常に小さな量を考察した。つまり、「xが非常に小さいならば…」という文は、「 | x | < 1/ nとなる（十分に大きい）自然数nが存在する」と理解されなければならない。証明において、彼はこれを現代の(ε, δ) 極限の定義に先駆ける形で用いた。[ 4 ]
極限と連続関数の現代的な(ε, δ)定義は、1817年にボルツァーノによって初めて開発されたが、あまり知られておらず、コーシーはおそらくボルツァーノの研究を知っていたと思われる。
カール・ワイエルシュトラス（1815年～1897年）は、極限の（ε、δ）定義を形式化し普及させ、連続かつ至るところで微分不可能な関数など、当時としては逆説的に思えたいくつかの特異な関数を発見した。実際、そのような関数は、計算規則や滑らかなグラフとしての関数という従来の概念と矛盾する。
この時点で、ワイエルシュトラスが提唱した解析の算術化（数学的解析を算術演算と代数演算に還元すること）のプログラムは、2つの点を除いてほぼ完了していた。
まず、実数の正式な定義がまだ確立されていませんでした。実際、 1858年にリヒャルト・デデキントが実数の定義を提唱して以来、ヘルマン・ハンケル、シャルル・メレー、エドゥアルト・ハイネなど、数人の数学者が実数の定義に取り組んできましたが、1872年になってようやく、2つの独立した完全な実数の定義が発表されました。1つはデデキントによるデデキントカットを用いた定義、もう1つはゲオルク・カントールによるコーシー列の同値類としての定義です。[ 5 ]
これらの定義にはいくつかの未解決の問題が残されており、それが数学の基礎的危機の一因となった。第一に、どちらの定義も有理数、ひいては自然数が厳密に定義されていることを前提としているが、これは数年後にペアノ公理によって実現された。第二に、どちらの定義も無限集合（デデキント切断とコーシー列の要素の集合）を扱っているが、カントールの集合論は数年後に発表された。
3つ目の問題はより微妙で、論理の基礎に関わるものです。古典論理は一階述語論理であり、量化子は個々の要素を表す変数に適用され、（無限）要素の集合を表す変数には適用されません。実数の定義と使用に必要な実数の完全性の基本的性質は、無限集合に対する量化を伴います。実際、この性質は、実数の無限列がコーシー列であれば、その極限が実数である、あるいは、有界な実数の部分集合はすべて、実数である最小上界を持つ、と表現できます。無限集合に対するこの量化の必要性は、20世紀前半における高階論理の発展の動機の一つとなっています。
19世紀以前には、幾何学の他の公理から平行線公準を導き出そうとする試みが数多く行われたが、いずれも失敗に終わった。ヨハン・ハインリヒ・ランベルト（1728年～1777年）は、平行線公準の否定が矛盾を導くことを証明しようと、双曲幾何学の構築に着手し、双曲関数を導入し、双曲三角形（内角の和が180°未満）の面積を計算した。
この新しい幾何学の構築を続ける中で、複数の数学者がそれぞれ独立に、もしそれが矛盾しているならば、ユークリッド幾何学も矛盾しており、したがって平行線公準は証明できないことを証明した。これは、1826年にニコライ・ロバチェフスキー、1832年にヤーノシュ・ボヤイ（1802年～1860年）、そしてカール・フリードリヒ・ガウス（未発表）によって証明された。
19世紀後半、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンは、平行線が存在せず、三角形の内角の和が180度を超える非ユークリッド幾何学である楕円幾何学を開発した。これは、球面（または超球面）上の対蹠点のペアを点とし、球面上の大円を線と定義することで、その整合性が証明された。
平行線公準の証明不可能性を示すこれらの証明は、いくつかの哲学的問題を引き起こす。主な問題は、この発見以前は、平行線公準とそのすべての帰結が真であると考えられていたことである。つまり、非ユークリッド幾何学は数学的真理の概念に挑戦したのである。
17世紀にルネ・デカルトが解析幾何学を導入して以来、幾何学には2つのアプローチがあった。1つは総合幾何学と呼ばれる古いアプローチ、もう1つは座標と呼ばれる実数で全てを指定する新しいアプローチである。
19世紀半ばまでは、数学者たちはこれら2つのアプローチの矛盾についてあまり気にしていなかった。当時、「射影幾何学における総合的方法と解析的方法の支持者の間で激しい論争があり、両者は互いに射影的概念と計量的概念を混同していると非難し合っていた」[ 6 ] 。実際、射影空間には距離の概念はなく、数値である交差比は総合的射影幾何学の基本概念である。
カール・フォン・シュタウトは、現在「場」と呼ばれるものを形成する「投射」を導入することによって、この問題に対する純粋に幾何学的なアプローチを開発し、その中で交差比を表現することができるようになった。
解析的アプローチと総合的アプローチの等価性の問題が完全に解決されたのは、1957年に出版されたエミール・アルティンの著書『幾何代数学』によってのみであるようだ。体kが与えられたとき、 kベクトル空間を用いてk上のアフィン空間と射影空間を定義できることはよく知られていた。これらの空間では、パップスの六角形定理が成り立つ。逆に、パップスの六角形定理が平面幾何学の公理に含まれている場合、その幾何学がk上のアフィン幾何学または射影幾何学と同じになるような体kを定義できる。
厳密な実解析と実数の定義を行う作業は、正の有理数は自然数の分数であるため、すべてを有理数、ひいては自然数に還元することから成り立っていました。したがって、算術の公理的理論として自然数の形式的な定義が必要でした。これは、1881年にチャールズ・サンダース・パース、1888年にリヒャルト・デデキントによって開始され、彼らは自然数を有限集合の濃度として定義しました。[ 7 ]しかし、これには集合論が含まれますが、当時は形式化されていませんでした。
ジュゼッペ・ペアノは1888年に、自然数の順序性に基づく完全な公理体系を提示した。ペアノの最後の公理は、「Sが集合ならば」または「もしSが集合ならば」で始まるため、論理的な困難を引き起こす唯一の公理である。ならば述語である」。つまり、ペアノの公理は無限集合上の量化を誘導し、これはペアノ算術が現在二階述語論理と呼ばれるものであることを意味する。
当時、これは十分に理解されていませんでしたが、自然数の定義に無限が現れるという事実は、当時の多くの数学者にとって問題でした。例えば、アンリ・ポアンカレは、公理は有限の適用においてのみ証明できると述べ、同じ行為の無限の繰り返しを想像できるのは「精神力」であると結論付けました。[ 8 ]これは特に、後継関数がすべての自然数を生成することを示すために、最後のペアノ公理を使用することに当てはまります。また、レオポルド・クロネッカーは「神は整数を作った、それ以外はすべて人間の仕事だ」と言いました。[ b ]これは「整数は数学的に定義できない」と解釈できます。
19世紀後半以前、無限は数学には属さない哲学的な概念であった。しかし、微積分学の発展に伴い、数学者たちは無限に慣れ親しむようになった。それは主に潜在的な無限、すなわち無限数列、無限級数、極限の定義といった、終わりのない過程の結果としての無限という概念を通してであった。実際の無限の可能性は、多くの哲学的論争の対象となった。
集合、特に無限集合は、数学的な概念とはみなされていませんでした。特に、それらを表す固定された用語はありませんでした。ゲオルク・カントールの研究によって劇的な変化が起こりました。彼は無限集合を体系的に研究した最初の数学者です。特に、彼は無限集合の大きさを測る基数と、大まかに言えば無限に達した後も数え続けることを可能にする順序数を導入しました。彼の主要な成果の1つは、実数は自然数よりも厳密に多い（実数の連続体の基数は自然数の連続体の基数よりも大きい）という発見です。
これらの結果は多くの数学者や哲学者によって否定され、数学の基礎的危機の一部である議論を引き起こした。
この危機は、「すべての集合の集合」という表現が自己矛盾を孕んでいると主張するラッセルのパラドックスによってさらに深刻化した。この矛盾は、数学全体の整合性に対する疑念をもたらした。
ツェルメロ＝フレンケル集合論（1925年頃）の導入と数学界によるその採用により、一貫性に関する疑念は基本的に解消されたが、ゲーデルの不完全性定理のため、集合論の一貫性を証明することはできない。
1847年、ド・モルガンは法則を発表し、ジョージ・ブールは、現在ブール代数と呼ばれる代数を考案しました。これにより、アリストテレスの論理を数式と代数演算で表現することが可能になりました。ブール代数は数理論理学の出発点であり、命題論理の基礎となっています。1870年代には、チャールズ・サンダース・パースとゴットロープ・フレーゲがそれぞれ独立に、述語論理を構築するための量化子を導入することで命題論理を拡張しました。
フレーゲは、論理理論に求められる3つの特性を指摘した。それは、無矛盾性（矛盾する命題を証明することが不可能であること）、完全性（いかなる命題も証明可能か反駁可能であること、すなわち、その否定が証明可能であること）、そして決定可能性（すべての命題を検証するための決定手続きが存在すること）である。
世紀末近くになると、バートランド・ラッセルはフレーゲの研究を普及させ、「すべての集合の集合」という表現が自己矛盾を孕んでいることを示すラッセルのパラドックスを発見した。このパラドックスは数学全体を矛盾したものに見せかけ、数学の基礎的危機の主要な原因の一つとなった。
数学の基礎的な危機は、 19 世紀末から20世紀初頭にかけて、いくつかのパラドックスや直感に反する結果が発見されたことで生じた。
最初の問題は、平行線公準が証明できないことの証明でした。これは、ユークリッド幾何学の中に非ユークリッド幾何学を構築した結果であり、その矛盾はユークリッド幾何学の矛盾を意味することになります。よく知られたパラドックスとして、ラッセルのパラドックスがあります。これは、「自身を含まないすべての集合の集合」という表現が自己矛盾であることを示しています。その他の哲学的問題としては、計算も明示的な記述もできない数学的対象の存在の証明、およびペアノ算術では証明できない自然数に関する定理の存在の証明（ゲーデルの不完全性定理を参照）がありました。
20世紀には、数学哲学のいくつかの学派がこれらの問題に取り組んだ。以下にそれらについて説明する。
これらの問題は数学者によっても研究され、その結果、数理論理学が数学の新たな分野として確立されました。数理論理学は、論理（推論規則の集合）、数学的および論理的理論、定理、証明に数学的な定義を与え、これらの概念に関する定理を証明するために数学的手法を用いる学問分野です。『プリンキピア・マテマティカ』は、数理論理学と数理論理学の基礎に関する画期的な成果であり、1913年にラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって出版されました。
数学的論理学は、ゲーデルの不完全性定理のような予期せぬ結果をもたらした。大まかに言えば、ある理論が標準的な算術を含んでいる場合、その理論自体が自己矛盾していないことを証明するためにその理論を用いることはできない。また、自己矛盾していない場合でも、その理論内部では証明できないが、何らかの技術的な意味では真である定理が存在する。
ツェルメロ＝フレンケル集合論（選択公理付き） （ZFC）は、エルンスト・ツェルメロとアブラハム・フレンケルによって確立された論理理論である。これは現代数学の標準的な基礎となり、特に断りがない限り、現代の数学書では一般的に暗黙のうちに用いられている。
同時に、公理的方法は事実上の標準となった。すなわち、定理の証明は、明示的な公理と、明確に定義された推論規則を適用することによって既に証明された定理から導き出されなければならない。公理は必ずしも何らかの現実に対応する必要はない。しかしながら、豊かで有用な理論につながる公理系が、物理的現実や他の数学理論からの抽象化から生じるものである理由を説明することは、未解決の哲学的問題である。
要約すると、基礎論的危機は基本的に解決されたものの、新たな哲学的問題が生じた。特に、新たな基礎（ZFC）が自己矛盾を孕んでいないことを証明することはできない。もしそのようなことが起こったとしても、ZFCをわずかに修正することで問題は解決できるというのが一般的な見解である。
基礎的な危機が生じた際、数学者や論理学者の間で、数学への信頼を回復するために何をするべきかについて激しい議論が交わされた。これには、数学的真理、数学と現実の関係、数学的対象の現実性、そして数学の本質といった哲学的問題が含まれていた。
基礎論の問題に関しては、パラドックスを回避するために主に2つの選択肢があった。1つ目は直観主義と構成主義につながり、直観に近づくために論理規則を制限するというものであった。一方、2つ目は形式主義と呼ばれ、定理は推論規則を適用することによって公理から演繹できる場合に真であり（形式的証明）、定理の妥当性には公理の「真性」は必要ないという考え方である。
デイヴィッド・ヒルベルト（1862年- 1943年）のような形式主義者は、数学は単なる言語と一連のゲームに過ぎないと考えていると主張されてきた。ヒルベルトは、彼が「数式ゲーム」と呼んだ形式主義は数学の根本的な部分であると主張したが、数学は形式主義に還元されてはならないとも主張した。実際、彼は1927年にLEJ・ブラウワーの批判に対する返答の中で「数式ゲーム」という言葉を用いた。
そして、このようにして可能になった公式ゲームは、どの程度成功したと言えるだろうか？この公式ゲームによって、数学という学問の思考内容全体を統一的に表現し、個々の命題と事実の間の相互関係が明確になるような形で展開することができるのだ。ブラウワーがこれほどまでに軽視する公式ゲームは、数学的価値に加えて、重要な一般的な哲学的意義を持っている。なぜなら、この公式ゲームは、私たちの思考の技法が表現される、ある一定の規則に従って行われるからである。これらの規則は、発見され、明確に述べることができる閉じたシステムを形成している。[ 11 ]
つまりヒルベルトは、数学は恣意的なルールを持つ恣意的なゲームではなく、むしろ私たちの思考、ひいては話し言葉や書き言葉の進め方と一致しなければならないと主張しているのだ。[ 11 ]
ここで言う恣意性とは、いかなる意味においても異なります。数学は、恣意的に定められたルールによって課題が決定されるゲームのようなものではありません。むしろ、数学は、他にあり得ない内在的必然性を持つ概念体系なのです。[ 12 ]
デイヴィッド・ヒルベルトに代表される形式主義の根幹をなす哲学は、集合論のパラドックスへの応答であり、形式論理に基づいている。今日、ほぼすべての数学的定理は集合論の定理として定式化できる。この観点からすると、数学的命題の真偽は、その命題が形式論理の規則を用いて集合論の公理から導き出せるという事実によって表される。
形式主義を用いるだけでは、いくつかの問題、例えば、なぜ特定の公理を用いるべきで、他の公理を用いないのか、なぜ特定の論理規則を用いるべきで、他の論理規則を用いないのか、なぜ「真」の数学的命題（例えば算術法則）が真であるように見えるのか、といった問題は説明できない。ヘルマン・ワイルはまさにこれらの疑問をヒルベルトに投げかけた。
与えられたものをはるかに超えたこの理論的世界構築に、どのような「真理」や客観性が帰せられるのかは、深遠な哲学的問題である。それはさらに次の問題と密接に関係している。すなわち、ヒルベルトによって展開された特定の公理系をまさに基礎として採用するよう、私たちを駆り立てるものは何なのか。一貫性は確かに必要条件ではあるが、十分条件ではない。今のところ、この問いに答えることはできないだろう… [ 13 ]
場合によっては、これらの疑問は、逆数学や計算複雑性理論などの分野における形式理論の研究によって十分に解決される可能性がある。ワイルが指摘したように、形式論理体系にも矛盾が生じる危険性がある。ペアノ算術では、これはおそらくすでにいくつかの無矛盾性の証明によって解決されているが、それらが意味を持つほど十分に有限であるかどうかについては議論がある。ゲーデルの第2不完全性定理は、算術の論理体系は、自身の無矛盾性の有効な証明を決して含まないことを確立している。ヒルベルトがやりたかったのは、 Sのごく一部を構成する原理Pに基づいて、論理体系Sが無矛盾であることを証明することだった。しかし、ゲーデルは、原理PはSはおろか、Pが無矛盾であることを証明することさえできないことを証明した。
LEJ・ブロウワー（1882年～1966年）のような直観主義者は、数学は人間の精神の産物であると主張する。数字は、おとぎ話の登場人物と同様に、単なる精神的な存在であり、それらについて考える人間の精神が存在しなければ、存在し得ない。
ブロウワーやスティーブン・クリーネが極端な例として挙げた直観主義または構成主義の根幹哲学は、証明が本質的に「構成的」であることを要求する。つまり、対象の存在は、その非存在の不可能性の証明から推論されるのではなく、証明されなければならない。例えば、このことから、背理法として知られる証明形式は疑わしいとされる。
数学哲学における現代の理論の中には、本来の意味での基盤の存在を否定するものもある。数学の実践に焦点を当て、社会集団としての数学者の実際の活動を記述・分析しようとする理論もあれば、数学の認知科学を構築しようとする理論もある。後者は、数学を現実世界に応用する際の信頼性の源泉として人間の認知に焦点を当てる。これらの理論は、客観的な外部構造ではなく、人間の思考の中にのみ基盤を見出すべきだと主張する。この問題は依然として議論の的となっている。
論理主義とは、数学は論理学の拡張である、あるいは数学の一部または全部は、公理と推論規則が本質的に「論理的」な適切な形式体系から導き出せるというテーゼに基づく、数学哲学における思想および研究プログラムである。バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、ゴットロープ・フレーゲによって提唱され、リヒャルト・デデキントの影響を受けたこの理論を擁護した。
公理的集合論の多くの研究者は、クルト・ゲーデルに代表される集合論的プラトン主義と呼ばれるものに賛同してきた。
数人の集合論学者はこのアプローチに従い、発見的理由から真とみなせる公理、そして連続体仮説を決定づける公理を積極的に探求した。多くの大きな基数公理が研究されたが、仮説は常にそれらとは独立したままであり、現在では新しい大きな基数公理によってCHが解決される可能性は低いと考えられている。他の種類の公理も検討されたが、いずれも連続体仮説に関して合意には至っていない。ハムキンスによる最近の研究では、より柔軟な代替案が提案されている。それは、連続体仮説を満たす集合論的宇宙と満たさない他の宇宙の間を自由に行き来できる集合論的マルチバースである。
ウィラード・クワインとヒラリー・パトナムによるこの議論は（パトナムの簡潔な言葉によれば）、
数学的実体に対する定量化は科学にとって不可欠である。したがって、我々はそのような定量化を受け入れるべきである。しかし、 これは問題となっている数学的実体の存在を受け入れることを義務付けることになる。
しかし、パトナムはプラトン主義者ではなかった。
数学者の多くは、日々の業務において、論理主義、形式主義、あるいはその他の哲学的立場について深く考えることはまずない。むしろ、彼らの最大の関心事は、数学という営み全体が常に生産的であり続けることである。そして、そのためには、常に柔軟な思考を持ち、実践的で、精力的に活動することが不可欠だと考えている。一方で、過度にイデオロギー的になったり、盲目的に還元主義に陥ったり、怠惰になったりすることは、数学という営みを脅かす可能性があると捉えている。
こうした見解は、著名な物理学者の中にも表明されている。
例えば、リチャード・ファインマンはこう言った。
人々は私に「あなたは物理学の究極の法則を探しているのですか？」と尋ねます。いいえ、そうではありません...もしすべてを説明する単純な究極の法則が存在することが判明すれば、 それはそれで良いでしょう。発見できればとても素晴らしいことです。もしそれが何百万もの層を持つタマネギのようなものだと判明すれば...それはそれで仕方ありません。しかし、どちらにしても自然は存在し、自然は自然のままに現れます。ですから、調査を行う際には、それについてより詳しく知るためだけに何を探しているのかを事前に決めるべきではありません。[ 14 ]
哲学者の洞察は時として物理学者に恩恵をもたらしてきたが、概してそれは否定的な形で、つまり他の哲学者の先入観から物理学者を守るという形で恩恵をもたらしてきた。……先入観による何らかの指針がなければ、何も成し遂げることはできないだろう。ただ、哲学的な原理は、一般的に私たちに適切な先入観を与えてこなかっただけなのだ。
ワインバーグは、連続体仮説のような数学におけるあらゆる決定不能性は、不完全性定理にもかかわらず、集合論に適切な公理を追加することによって解決できる可能性があると信じていた。
ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理において、ある式の形式的証明可能性と、それがすべての可能なモデルにおいて真であることとの間に等価性を確立する。具体的には、無矛盾な一階述語論理に対して、その理論によって記述されるモデルの「明示的な構成」を与える。このモデルは、理論の言語が可算であれば可算となる。しかし、この「明示的な構成」はアルゴリズム的ではない。それは、理論を完成させる反復プロセスに基づいており、反復の各ステップは、理論の無矛盾性を維持する場合に、ある式を公理に追加することから成る。しかし、この無矛盾性の問題はまだ半決定可能である（矛盾を見つけるためのアルゴリズムは存在するが、矛盾がない場合、この無矛盾性は証明できないままとなる）。
以下に、メタ数学における注目すべき成果をいくつか挙げる。ツェルメロ＝フレンケル集合論は、集合論の公理化の中で最も広く研究されているものである。選択公理を含む場合はZFC、選択公理を含まない場合はZFと略される。
1935年から、フランスの数学者グループであるブルバキらは、集合論という新たな基礎の上に数学の多くの分野を体系化するための一連の書籍を出版し始めた。
直観主義学派は多くの支持者を集めることができず、構成的数学がより確固たる基盤の上に置かれたのは、1967年のビショップの研究まで待たなければならなかった。 [ 17 ]
ヒルベルトの計画は部分的に完了したと考えることもできるだろう。つまり、危機は本質的に解決され、ヒルベルトの当初の野心よりも低い要求で満足できるようになったということだ。彼の野心は、何もかもが不確かな時代に表明されたものであり、数学に厳密な基礎がそもそも存在し得るのかどうかも定かではなかった。
集合論には多くの可能な変種があり、それらは一貫性の強さが異なり、より強いバージョン（より高次の無限を仮定する）はより弱いバージョンの一貫性の形式的証明を含みますが、どれも自身の一貫性の形式的証明を含みません。したがって、ZF など、私たちが好むどのバージョンの集合論の一貫性の形式的証明も持っていません。形式体系の一貫性に対する他の哲学的正当化があり、例えば、ゲンツェンの一貫性証明は、ペアノ公理の一貫性を、ある順序数の存在を主張する追加の公理を持つ原始再帰算術のより弱い体系に還元します。この証明はまた、他の形式体系に対する同様の順序分析のプログラムを開始しました。[ 18 ]
実際には、ほとんどの数学者は公理系を用いないか、あるいは用いる場合でも、一般的に彼らが好む公理系であるZFCの無矛盾性を疑わない。実践されている数学のほとんどの分野では、基礎となる形式理論の不完全性やパラドックスはそもそも問題にならず、それらが問題となる分野、あるいは形式化を試みると矛盾した理論を形成する危険性がある分野（論理学や圏論など）では、それらは慎重に扱われる。
20世紀半ばの圏論の発展は、フォン・ノイマン＝ベルナイズ＝ゲーデル集合論やタルスキ＝グロタンディーク集合論のように、ZFCよりも大きなクラスの存在を保証する集合論の有用性を示したが、多くの場合、大きな基数公理やグロタンディーク宇宙の使用は形式的に排除可能である。
逆算数学プログラムの目的の一つは、「中核数学」の分野において、基礎的な問題が再び危機を引き起こす可能性があるかどうかを特定することである。これには、ZFCよりも弱い形式体系で数学的定理を証明できるかどうかを確認することが含まれる。
集合論に基づかない数学の基礎へのアプローチも研究され、採用されてきた。型理論は、構成計算や直観型理論のように、数学の基礎の基礎として用いられてきた。直観型理論は、 1975 年にPer Martin-Löfによって初めて発表された。[ 19 ]単価基礎は、2000 年代に生まれた数学の基礎への新しいアプローチであり、ホモトピー型理論から構築されている。型理論の基礎は、形式的な数学的証明の開発と検証を支援するコンピュータ プログラムである証明支援装置で使用するために、集合論の基礎よりも一般的になっている。
大まかに言えば、型理論は伝統的な意味での「公理」を必要とせず、代わりに同じ目的を果たすより包括的な論理体系を備えています。このため、型理論の一貫性の強さを集合論と比較することは難しくなりますが、試みられてきました。たとえば、ベンジャミン・ヴェルナーは、無限に到達不可能な基数の存在を仮定して、帰納的構成の計算をメタ理論として使用することでツェルメロ＝フレンケル集合論を符号化できること、またその逆も可能であることを示しました。[ 20 ]
トポイと呼ばれる特定の圏論的対象は、数学の基礎の基礎としても用いられてきた。
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