多変数微積分

多変数微積分学（多変数微積分学とも呼ばれる）は、1変数の微積分学を複数の変数の関数の微積分学に拡張したもので、 1つの変数だけではなく複数の変数（多変数）を含む関数の微分と積分を行います。^[1]

多変数微積分は、ユークリッド空間における微積分学の基本的な部分と考えることができます。3 次元空間における微積分の特殊なケースは、しばしばベクトル計算と呼ばれます。

一変数微分積分では、微分や積分などの演算は一変数の関数に対して行われます。多変数微分積分では、これらを複数の変数に一般化する必要があり、ドメインは多次元になります。したがって、1D 空間と高次元空間の間には 2 つの重要な違いがあるため、これらの一般化には注意が必要です。

1. 1D では 2 つの方法 (正の方向と負の方向) しかありませんが、高次元では 1 つの点にアプローチする方法は無限にあります。
2. 次元に関連付けられた拡張オブジェクトは複数あります。たとえば、1D 関数の場合、2Dデカルト平面上の曲線として表現する必要がありますが、2 つの変数を持つ関数は 3D のサーフェスであり、曲線は 3D 空間にも存在できます。

最初の違いの結果は、極限と微分の定義の違いです。方向の極限と微分は、 1D パラメーター化された曲線に沿った極限と微分を定義し、問題を 1D の場合に縮小します。これらの演算子から、さらに高次元のオブジェクトを構築できます。

2 番目の違いの結果、線積分、表面積分、体積積分など、複数の種類の積分が存在することになります。これらの積分は一意ではないため、不定積分または不定積分を適切に定義することはできません。

多変数微積分における極限と連続性の研究により、単変数関数では示されない多くの直感に反する結果が得られます。

経路に沿った極限は、n次元ユークリッド空間のパラメータ化された経路を考えることによって定義できます。任意の関数は、1D関数として経路上に投影できます。したがって、経路に沿った点へのの極限は次のように定義できます。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f(s(t))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t_{0})}$${\displaystyle s(t)}$

この極限の値は、極限が近づく点だけでなく、 の形、つまり選択された経路に依存する可能性があることに注意する必要がある。^{[1] : 19–22}たとえば、関数 ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

点に線、またはパラメトリック形式で 近づく場合:${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y=kx}$

すると、パスに沿った制限は次のようになります。

一方、パス（またはパラメトリックに）を選択した場合、限界は次のようになります。 ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$

同じ点に向かう異なる経路をたどると異なる値が得られるため、その点における関数の一般的な制限を定義することはできません。 ${\displaystyle (0,0)}$

一般極限は、すべての可能な経路に沿った点への極限が同じ値に収束する場合に定義できます。つまり、関数に対して、ある点への極限がLである場合、そしてその場合のみ、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

となるすべての連続関数に対して。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

経路に沿った極限の概念から、多変量連続性の定義を同様に導くことができます。つまり、点 で連続な関数に対して、次の式が成り立つとき、かつ次の式が成り立つときのみ、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

となるすべての連続関数に対して。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

限界と同様に、1 つのパスに沿って連続していることは、多変量連続性を意味するものではありません。 ${\displaystyle s(t)}$

各引数における連続性が多変量連続性の十分条件ではないことは、次の例からもわかります。^{[1] : 17–19}たとえば、2 つの実数値パラメータを持つ実数値関数 の場合、が固定されているときの におけるの連続性と が固定されているときのにおけるの連続性は、の連続性を意味するものではありません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

考慮する

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

この関数は定義により境界上および四角形の外側でゼロになることは簡単に確認できます。さらに、定数およびに対して定義される関数は、 ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$そして${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

連続している。具体的には、

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$すべてのxとyに対して です。したがって、さらに、座標軸に沿って であり、 です。したがって、関数は個々の引数の両方に沿って連続です。${\displaystyle f(0,0)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

しかし、パラメトリックパスを考えてみましょう。パラメトリック関数は次のようになります。 ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$

したがって、

したがって、両方の座標で連続しているにもかかわらず、関数は多変量連続ではないことは明らかです。

• 単変数微積分における線形性と重ね合わせのすべての特性は、多変数微積分にも引き継がれます。
• 合成:および がそれぞれ点およびにおいて多変量連続関数である場合、も点 において多変量連続関数です。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle x_{0}}$
• 乗算:と が両方とも点 で連続関数である場合、 はで連続し、であればも で連続します。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• が点で連続関数である場合、も同じ点で連続です。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |f|}$
• が点 の近傍でリプシッツ連続（必要に応じて適切なノルム空間を使用）である場合、 はにおいて多変量連続です。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

一変数関数の導関数は次のように定義される。

上で議論した極限の拡張を使用すると、導関数の定義をあるパスに沿ったスカラー値関数に拡張することができます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

値が経路 の正確な形状に依存する極限とは異なり、経路 に沿った導関数は における経路の接線ベクトルのみに依存することが示されます。つまり、 がでリプシッツ連続であり、そのような経路の少なくとも 1 つに対して極限が存在することが条件です。 ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t_{0})}$${\displaystyle s'(t_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t_{0})}$

したがって、方向微分の定義は次のように生成できる。ある点における単位ベクトルに沿ったスカラー値関数の方向微分は、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

あるいは、通常の微分法で表現すると、

これは、 が 1 つの変数を持つスカラー関数であるため、明確に定義された式です。 ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$${\displaystyle t}$

方向のない一意のスカラー微分を定義することはできません。たとえば、 であることは明らかです。また、ある方向に対しては方向微分が存在し、他の方向に対しては存在しない可能性もあります。 ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

偏微分は、微分の概念を高次元に一般化したものである。多変数関数の偏微分は、他のすべての変数を一定に保ったまま、1つの変数に関して微分したものである。 ^{[1] : 26ff}

偏微分は、座標軸に沿った関数の方向微分と考えることができます。

偏微分は、興味深い方法で組み合わせて、より複雑な微分表現を作成することができます。ベクトル計算では、del演算子 ( ) を使用して、偏微分に関する勾配、発散、回転の概念を定義します。偏微分行列であるヤコビ行列は、任意の次元の 2 つの空間間の関数の微分を表すために使用できます。したがって、微分は、関数のドメイン内の点から点に直接変化する 線形変換として理解できます。${\displaystyle \nabla }$

偏微分を含む微分方程式は偏微分方程式またはPDEと呼ばれます。これらの方程式は、1つの変数のみに関する微分を含む常微分方程式よりも一般的に解くのが困難です。 ^{[1] ：654ff}

多重積分は、積分の概念を任意の数の変数の関数に拡張します。二重積分と三重積分は、平面および空間内の領域の面積と体積を計算するために使用できます。 フビニの定理は、被積分関数が積分領域全体で連続している限り、多重積分を繰り返し積分または反復積分として評価できることを保証します。 ^{[1] : 367ff}

面積分と線積分は、曲面や曲線などの曲面多様体上で積分するために使用されます。

一変数微積分学では、微積分学の基本定理が微分と積分の関係を確立する。多変数微積分学における微分と積分の関係は、ベクトル解析の積分定理によって具体化される：^{[1] : 543ff}

• 勾配定理
• ストークスの定理
• 発散定理
• グリーンの定理。

多変数微積分学のより高度な研究では、これら4つの定理は、より一般的な定理である一般化ストークスの定理の特定の具体化であり、多様体上の微分形式の積分に適用されることがわかります。^[2]

多変数微積分の技術は、物質世界における多くの興味深い対象を研究するために使われます。特に、

多変数計算は、複数の自由度を持つ決定論的システムの解析に適用できます。これらのシステムをモデル化するために、各自由度に対応する独立変数を持つ関数がよく使用され、多変数計算はシステムダイナミクスを特徴付けるツールを提供します。

多変量解析は、連続時間動的システムの最適制御に使用され、回帰分析では、さまざまな経験的データセット間の関係を推定する式を導出するために使用されます。

多変数計算は、自然科学、社会科学、工学の多くの分野で、決定論的な動作を示す高次元システムをモデル化して研究するために使用されます。たとえば、経済学では、さまざまな商品に対する消費者の選択や、使用するさまざまな入力と生産する出力に対する生産者の選択が、多変数計算でモデル化されます。

非決定論的、つまり確率論的なシステムは、確率計算などの異なる種類の数学を使用して研究することができます。

• 多変数微積分トピックのリスト
• 多変量統計

ウィキメディア・コモンズには、多変量解析に関連するメディアがあります。

• カリフォルニア大学バークレー校の多変数微積分学に関するビデオ講義、2009年秋、エドワード・フレンケル教授
• 2007 年秋学期の MIT 多変数微積分学ビデオ講義
• 多変数微積分学: ジョージ・ケインとジェームズ・ヘロッドによる無料オンライン教科書
• 多変数微積分オンライン: ジェフ・ニズリーによる無料のオンライン教科書
• 多変数微積分学 – 非常に簡単なレビュー、ブレア・ペロー教授、マサチューセッツ大学アマースト校
• 多変数微積分学、ジェリー・シュルマン博士によるオンラインテキスト