アルフレッド・タルスキ

アルフレッド・タルスキ
1968年のタルスキ
生まれる	アルフレッド・タイテルバウム ( 1901-01-14 )1901年1月14日 ワルシャワ、ポーランド会議
死亡	1983年10月26日(1983-10-26)（享年82歳） 米国カリフォルニア州バークレー
国籍	ポーランド、アメリカ
教育	ワルシャワ大学（博士号、1924年）
知られている	現代論理の基礎を学ぶ 真理の意味論（コンベンションT） タルスキの定義不可能定理 モデル理論の開発 関係の論理 バナッハ・タルスキーのパラドックス タルスキの不動点定理 タルスキ型宇宙 タルスキの公理 タルスキモンスターグループ ヨンソン・タルスキ双対性 タルスキの円二乗問題
科学者としてのキャリア
フィールド	数学、論理、形式言語
機関	ワルシャワ大学(1925–1939) カリフォルニア大学バークレー校(1942–1983)
論文	O wyrazie pierwotnym logistyki (物流の原始的な用語について)  (1924)
博士課程の指導教員	スタニスワフ・レシニエフスキ
博士課程の学生	ソロモン・フェファーマン ハイム・ガイフマン ビャルニ・ヨンソン ハワード・ジェローム・ケイスラー ロジャー・マダックス リチャード・モンタギュー アン・C・モレル アンジェイ・モストフスキ ジュリア・ロビンソン ワンダ・シュミレフ ロバート・ヴォート
その他の著名な学生	エバート・ウィレム・ベス

アルフレッド・タルスキ（/ ˈ t ɑːr s k i /、本名：アルフレッド・タイテルバウム、^{[1] [2] [3]} 1901年1月14日 - 1983年10月26日）は、ポーランド系アメリカ人^[4]の 論理学者、数学者^[5]である。モデル理論、メタ数学、代数論理の研究で最もよく知られた多作の著者である彼は、抽象代数学、位相幾何学、測度論、数理論理学、集合論、解析哲学にも貢献した。

ポーランドのワルシャワ大学で教育を受け、ルヴフ・ワルシャワ学派論理学およびワルシャワ数学派の一員であったタルスキは、1939年に米国に移住し、1945年に帰化しました。タルスキは1942年から1983年に亡くなるまで、カリフォルニア大学バークレー校で数学を教え、研究しました。^[6]

彼の伝記作家アニタ・バードマン・フェファーマンとソロモン・フェファーマンは、「彼は同時代のクルト・ゲーデルとともに、特に真理の概念とモデル理論に関する研究を通じて、20世紀の論理学の様相を変えた」と述べている。^[7]

アルフレッド・タルスキは、裕福な家庭に育ったポーランド系ユダヤ人の両親のもと、アルフレッド・タイテルバウム（ポーランド語表記：Tajtelbaum）として生まれた。彼は、ワルシャワのシュコラ・マゾヴィエツカ高校の中学校時代に数学の才能を初めて発揮した。^{[8]しかし、彼は1918年に}生物学を学ぶつもりでワルシャワ大学に入学した。^[9]

1918年にポーランドが独立を回復した後、ワルシャワ大学はヤン・ウカスィエヴィチ、スタニスワフ・レシニエフスキ、ヴァツワフ・シェリンピンスキの指導の下、すぐに論理学、基礎数学、数学の哲学における世界有数の研究機関となった。レシニエフスキはタルスキの数学者としての才能を認め、生物学を断念するよう勧めた。 ^{[9]それ以来タルスキはウカスィエヴィチ、シェリンピンスキ、}ステファン・マズルキエヴィチ、タデウシュ・コタルビンスキ の講義に出席し、1924年にレシニエフスキの指導の下で博士号を取得した唯一の人物となった。彼の論文は「ロジスティックスの原始項について」と題され、1923年に出版された。タルスキとレシニ​​エフスキは、主に後者の反ユダヤ主義の高まりにより、すぐにお互いに冷え込んでいった。^[7]しかし、後年、タルスキはコタルビンスキに対して最も温かい賞賛を捧げ、レシニエフスキもそれに応じた。

1923年、アルフレッド・タイテルバウムと彼の兄弟ヴァツワフは姓を「タルスキ」に変更した。タルスキ兄弟もポーランドの主要宗教であるローマカトリックに改宗した。アルフレッドは公然と無神論者であったにもかかわらず、改宗した。^{[10] [11]}

ワルシャワ大学で史上最年少で博士号を取得したタルスキは、ポーランド教育大学で論理学を、同大学で数学と論理学を教え、ウカシェヴィチの助手も務めた。これらの職は低賃金だったため、タルスキは1925年からワルシャワの中学校、ポーランド中等学校教員組合第三男子校（後のステファン・ジェロムスキ校）でも数学を教えた。^[12]第二次世界大戦前は、研究能力のあるヨーロッパの知識人が高校で教えることは珍しいことではなかった。そのため、1939年に米国に渡るまで、タルスキは数冊の教科書と多くの論文（その多くは画期的なもの）を執筆しただけでなく、主に高校で数学を教えることで生計を立てていた。^[13] 1929年、タルスキはカトリック教徒のポーランド人同僚教師マリア・ヴィトコフスカと結婚した。彼女はポーランド・ソビエト戦争で軍の運び屋として働いていた。二人の間には2人の子供がいた。息子のヤン・タルスキは物理学者になり、娘のイナは数学者のアンジェイ・エーレンフォイヒトと結婚した。^[14]

タルスキはリヴフ大学の哲学教授職に応募したが、バートランド・ラッセルの推薦により、その職はレオン・フヴィステックに与えられた。^[15] 1930年にタルスキはウィーン大学を訪れ、カール・メンガーのコロキウムで講義し、クルト・ゲーデルと会った。フェローシップのおかげで、1935年前半にウィーンに戻り、メンガーの研究グループで働くことができた。ウィーンからパリに行き、ウィーン学団から派生した科学の統一運動の最初の会合で真理に関する自身の考えを発表した。ポーランドでのタルスキの学問的経歴は、彼のルーツによって強く、そして繰り返し影響された。例えば、1937年にタルスキはポズナン大学の教授職に応募したが、タルスキ（間違いなく最も有力な応募者だった）がユダヤ人であるという理由で教授職に割り当てられないように、その教授職は廃止された。^[16]タルスキは科学の統一運動とつながりがあったため、1939年9月にハーバード大学で開催された科学の統一会議で講演するよう招かれ、命を救われたと思われる。こうして彼は、ドイツとソ連のポーランド侵攻と第二次世界大戦勃発前にポーランドから米国に向けて出航した最後の船に乗って、1939年8月にポーランドを離れた。タルスキは渋々出発したが、それは、その数ヶ月前にレシニエフスキが亡くなり、タルスキが埋めようとした空席があったためであった。ナチスの脅威に気づかず、タルスキは妻と子供たちをワルシャワに残した。1946年まで彼らに再会することはなかった。戦争中、彼のユダヤ人の親戚のほぼ全員がドイツ占領当局の手によって殺害された。

アメリカに渡ると、タルスキはハーバード大学（1939年）、ニューヨーク市立大学（1940年）、そしてグッゲンハイム・フェローシップのおかげでプリンストン高等研究所（1942年）など、いくつかの臨時の教職や研究職に就き、そこで再びゲーデルと出会った。1942年、タルスキはカリフォルニア大学バークレー校の数学科に加わり、そこで残りのキャリアを過ごした。タルスキは1945年にアメリカ市民権を取得した。^[17] 1968年から名誉教授であったが、1973年まで教鞭をとり、死ぬまで博士課程の学生を指導した。^[18]バークレーでは、タルスキは驚くほど優秀で要求の厳しい教師という評判を得ており、その事実は多くの観察者に指摘されている。

バークレーでの彼のセミナーは、数理論理学の世界ですぐに有名になった。彼の学生の多くは著名な数学者になったが、彼らは彼が学生たちから最高の成果を引き出すために、常に最高水準の明瞭さと正確さを要求しながら、驚くべきエネルギーで説得し、説得する様子を目にした。^[19]

タルスキは外向的で、機知に富み、意志が強く、精力的で、口が達者だった。彼は共同研究を好み、時には同僚と夜通し研究することもあった。また、優先順位には非常にこだわっていた。^[20]

カリスマ的な指導者であり教師でもあり、非常に正確でありながらサスペンスに満ちた解説スタイルで知られるタルスキは、生徒に対して威圧的なほど高い基準を課していたが、同時に、一般の傾向とは対照的に、特に女性に対して非常に励ましを与えることができた。一部の生徒は怖気づいて離れてしまったが、弟子の輪は残り、その多くがこの分野で世界的に有名な指導者となった。^[21]

タルスキは24本の博士論文を指導したが、その中には（年代順に）アンジェイ・モストフスキ、ビャルニ・ヨンソン、ジュリア・ロビンソン、ロバート・ヴォート、ソロモン・フェファーマン、リチャード・モンタギュー、ジェームズ・ドナルド・モンク、ハイム・ガイフマン、ドナルド・ピゴッツィ、ロジャー・マダックス、また、この分野の古典的テキストであるモデル理論（1973）^[22]の著者であるチェン・チュン・チャンとジェローム・ケイスラーの論文が含まれている。^{[23] [24]彼はまた、}アドルフ・リンデンバウム、ダナ・スコット、スティーブン・ギヴァントの博士論文にも強い影響を与えた。タルスキの学生のうち5人は女性だったが、当時は大学院生の圧倒的多数が男性であったことを考えると、これは注目に値する事実である。^[24]しかし、彼はこれらの学生のうち少なくとも2人と不倫関係にあった。彼が別の女性学生の^{[誰？ ] 彼女}が男性の同僚^{[誰？ ]}に研究を委託したところ、同僚がそれを自ら出版してしまい、彼女は大学院を中退し、後に別の大学に移り、別の指導教員のもとで働くことになった。^[25]

タルスキは、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ（1950年、1966年）、パリのアンリ・ポアンカレ研究所（1955年）、バークレーのミラー基礎科学研究所（1958～60年）、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（1967年）、チリ・ポンティフィカル・カトリック大学（1974～75年）で講義を行った。タルスキはキャリアを通じて数多くの栄誉を獲得したが、その中には、1958年に米国科学アカデミー、英国学士院、オランダ王立芸術科学アカデミーの会員に選出されたこと、 ^[26] 1975年にチリ・ポンティフィカル・カトリック大学、 1977年にマルセイユのポール・セザンヌ大学、カルガリー大学から名誉学位を授与され、1981年にはバークレー賞も受賞した。タルスキは1944年から1946年まで記号論理学協会、1956年から1957年まで科学史哲学国際連合の会長を務めた。また、 Algebra Universalisの名誉編集者でもあった。^[27]

タルスキの数学への関心は並外れて広範であった。彼の論文集は約2,500ページに及ぶが、そのほとんどは論理学ではなく数学に関するものである。タルスキの元教え子ソロモン・フェファーマンによる彼の数学と論理学の業績の簡潔な概説については、フェファーマンとフェファーマンの「Interludes I–VI」を参照のこと。^[28]

タルスキが19歳のときに発表した最初の論文は集合論に関するもので、彼は生涯このテーマに取り組み続けた。^[29] 1924年に、彼とシュテファン・バナッハは、選択公理を受け入れると、球を有限個の断片に切断し、それを再構成してより大きな球にすることができる、あるいは、元の球と同じ大きさの球を2つに再構成できることを証明した。この結果は現在、バナッハ＝タルスキのパラドックスと呼ばれている。^[30]

タルスキは『初等代数および初等幾何学の決定法』で、量指定子消去法によって、加法と乗法の下での実数の第一階理論が決定可能であることを示した。（この結果が発表されたのは 1948 年になってからであるが、その起源は 1930 年に遡り、タルスキ (1931) で言及されている。）これは非常に興味深い結果である。なぜなら、アロンゾ・チャーチは1936 年にペアノ算術（自然数の理論）は決定可能でないことを証明したからである。ペアノ算術は、ゲーデルの不完全性定理によっても不完全である。1953 年の『決定不能な理論』で、タルスキらは、格子理論、抽象射影幾何学、閉包代数など、多くの数学体系がすべて決定不能であることを示した。アーベル群の理論は決定可能であるが、非アーベル群の理論は決定不可能である。

1920年代から30年代にかけてシュテファン・ジェロムスキ・ジムナジュムで教えている間、タルスキは幾何学を頻繁に教えた。^[31]マリオ・ピエリのアイデアをいくつか使って、1926年にタルスキは平面ユークリッド幾何学の独自の公理化を考案した。これはヒルベルトの公理化よりもかなり簡潔なものであった。^[32]タルスキの公理は集合論を持たず、個体が点であり、2つの原始関係のみを持つ一階理論を形成する。1930年に彼はこの理論が決定可能であることを証明した。なぜなら、彼がすでに決定可能であることが証明されていた別の理論、すなわち実数の第一階理論にマッピングできるからである。

1929年、タルスキはユークリッド立体幾何学の大部分が、個体が球（原始的概念）であり、単一の原始的二項関係が「含まれる」、そしてとりわけ、包含が球を部分的に秩序づけることを意味する2つの公理からなる二次理論として書き直せることを示した。個体がすべて球であるという要件を緩和すると、レスニエフスキの変形よりもはるかに簡単に説明できるメレオロジーの形式化が得られる。タルスキは晩年、幾何学に関する研究を要約した非常に長い手紙を書き、タルスキとギヴァント（1999年）として出版した。^[33]

基数代数は、基数の算術演算をモデルに含む代数を研究します。順序代数は、順序型の加法理論の代数を示します。基数加算は可換ですが、順序加算は可換ではありません。

1941年、タルスキは二項関係に関する重要な論文を発表した。これは、タルスキと彼の学生たちが残りの人生の大半を費やした関係代数とそのメタ数学の研究の始まりであった。その研究（および密接に関連するロジャー・リンドンの研究）によって関係代数のいくつかの重要な限界が明らかになったが、タルスキはまた、関係代数がほとんどの公理的集合論とペアノ算術を表現できることを示した（Tarski and Givant 1987） 。関係代数の入門書については、Maddux (2006) を参照。1940年代後半、タルスキと彼の学生は円筒代数を考案した。これは、一階述語論理にとって、 2要素ブール代数が古典的な文論理にとってであるのと同じである。この研究は、タルスキ、ヘンキン、モンクによる2つのモノグラフ（1971、1985）で最高潮に達した。^[34]

タルスキの弟子ロバート・ローソン・ヴォートは、タルスキをアリストテレス、ゴットロープ・フレーゲ、クルト・ゲーデルと並んで史上最も偉大な論理学者の4人の一人に挙げている。^{[7] [35] [36]しかし、タルスキは}チャールズ・サンダース・パース、特に関係の論理における彼の先駆的な研究に対して、 しばしば大きな尊敬の念を表明した。

タルスキは、論理的帰結の公理を生み出し、演繹システム、論理代数、定義可能性の理論に取り組んだ。彼の意味論的方法は、1950年代から60年代にかけて彼とバークレー校の多くの学生が開発したモデル理論で頂点に達し、ヒルベルトの証明論的メタ数学を根本から変えた。1930年頃、タルスキは、論理計算のいくつかの特性をモデル化する論理的演繹の抽象理論を開発した。数学的には、彼が記述したのは、集合（文の集合）上の有限閉包演算子にすぎない。抽象代数論理では、有限閉包演算子は、タルスキが作った帰結演算子という名前で今でも研究されている。集合S は文の集合、Sの部分集合Tは理論、cl( T ) は理論から導かれるすべての文の集合である。この抽象的なアプローチはファジー論理に適用されました (Gerla 2000 を参照)。

[タルスキの]見解では、メタ数学はあらゆる数学の分野と似たものになった。その概念と結果は数学化できるだけでなく、実際に数学に統合することができる。...タルスキはメタ数学と数学の境界線を破壊した。彼はメタ数学の役割を数学の基礎に限定することに反対した。^[37]

タルスキの1936年の論文「論理的帰結の概念について」は、前提のあらゆるモデルが結論のモデルである場合に限り、議論の結論がその前提から論理的に導かれると主張した。^[38] 1937年、彼は演繹法の性質と目的、および科学研究における論理の役割に関する彼の見解を明確に提示した論文を発表した。^{[29]高校と大学での彼の論理と公理に関する講義は、最初にポーランド語で出版され、次にドイツ語に翻訳され、最終的に1941年に英語に翻訳された『}論理学と演繹科学の方法論への入門』という古典的な短いテキストに結実した。^[39]

タルスキの 1969 年の著書「真理と証明」では、ゲーデルの不完全性定理とタルスキの定義不可能性定理の両方が検討され、それらが数学の公理的方法にどのような影響を与えるかが検討された。

1933年、タルスキはポーランド語で「Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych」^[40]「形式言語に対する真理の数学的定義の提示」と題する非常に長い論文を出版した。1935年のドイツ語訳は「Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen」、つまり「形式化された言語における真理の概念」と題され、「Wahrheitsbegriff」と短縮されることもある。英語訳は1956年のLogic, Semantics, Metamathematicsの初版に掲載された。1923年から1938年までのこの論文集は、20世紀の分析哲学における出来事であり、記号論理学、意味論、言語哲学への貢献である。その内容の簡単な説明については、Convention T（およびT-schema）を参照。

哲学的な議論では、形式化された言語に対するタルスキの真理理論が、真理の対応理論としてどの程度まで見ることができるかが検討されています。議論の中心は、真の定義に対するタルスキの物質的適切性の条件をどのように読むかです。その条件では、真理が定義されている言語のすべての文 p に対して、真理理論が次の定理を持つことが求められます。

「p」は、pの場合にのみ真です。

（ここでpは「p」によって表現される命題である）

この議論は、次のような形式の文章を、

「雪は白い」は、雪が白い場合にのみ真実である。

単に真理のデフレ理論を表現しているだけなのか、それとも真理をより本質的な性質として体現しているだけなのかは議論の余地がある（Kirkham 1992 を参照）。

1936年、タルスキは前年にパリで開催された国際科学哲学会議で行った講義「論理的に従うことの概念について」^[41]のポーランド語版とドイツ語版 を出版した。この論文の新しい英訳であるタルスキ（2002）は、論文のドイツ語版とポーランド語版の多くの相違点を強調し、タルスキ（1983）のいくつかの誤訳を訂正している。^[41]

この出版物は、（意味論的）論理的帰結の現代的なモデル理論的定義、あるいは少なくともその基礎を示した。タルスキの考えが完全に現代的なものであったかどうかは、彼がさまざまなドメインを持つモデル（特に、異なる濃度のドメインを持つモデル）を認めるつもりであったかどうかにかかっている。^[要出典]この問題は哲学文献で議論されている問題である。ジョン・エチェメンディはタルスキのさまざまなドメインの扱いに関する議論を大いに刺激した。^[42]

タルスキは最後に、論理的帰結の定義は論理的と非論理的という用語の区分に依存していると指摘し、そのような客観的区分が今後行われるかどうかについて懐疑的な見方を示している。「論理的概念とは何か?」は「論理的帰結の概念について」の続きとして見ることができる。^[要出典]

タルスキの「論理的概念とは何か？」（タルスキ 1986）は、1966年にロンドンで、その後1973年にバッファローで行われた講演の出版版である。これは、タルスキが直接関与することなく、ジョン・コーコランによって編集された。この論文は、論理学の歴史と哲学の雑誌で最も引用された論文となった。^[43]

講演で、タルスキは論理演算（彼は「概念」と呼ぶ）と非論理演算を区別することを提案した。提案された基準は、19世紀ドイツの数学者フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムから派生したものである。マウトナー（1946年）と、おそらく^{ポルトガルの数学者}ホセ・セバスチャン・エ・シルバ^の論文は^、タルスキがエアランゲン・プログラムを論理に適用するのを先取りしていた。^[要出典]

エルランゲン プログラムは、さまざまな種類の幾何学 (ユークリッド幾何学、アフィン幾何学、位相幾何学など) を、その幾何学理論の対象を不変にする空間の 1 対 1 変換の種類によって分類しました。(1 対 1 変換は、空間のそれ自体への関数マップであり、空間のすべての点が空間の他の 1 つの点に関連付けられるか、マップされます。したがって、「30 度回転する」や「2 倍に拡大する」は、単純な均一な 1 対 1 変換の直感的な説明です。) 連続変換は、位相幾何学の対象、ユークリッド幾何学の対象への相似変換などを生み出します。^{[引用が必要]}

許容される変換の範囲が広くなるにつれて、変換を適用しても保存されるオブジェクトの範囲は狭くなります。相似変換は範囲がかなり狭いため（点間の相対距離が保存される）、比較的多くのものを区別できます（たとえば、正三角形と非正三角形）。連続変換（直感的には、不均一な伸縮、圧縮、曲げ、ねじりは許可するが、引き裂いたり接着したりは許可しない変換と考えることができます）では、多角形と環形（中央に穴があるリング）を区別できますが、2 つの多角形を区別することはできません。^[要出典]

タルスキの提案^{[は？ ] は、}ドメインからそれ自身へのすべての可能な一対一変換 (自己同型) を考慮することによって論理概念を区切ることであった。ドメインとは、論理の意味論的理論のモデルの議論領域を意味する。真理値True をドメイン集合と同一視し、真理値 False を空集合と同一視すると、提案では次の操作が論理的であるとみなされる。

1. 真理関数: この提案では、すべての真理関数が認められます。これには、有限のnに対するすべてのn項真理関数が含まれますが、これに限定されません。(任意の無限数の位を持つ真理関数も認められます。)
2. 個人: ドメインに少なくとも 2 人のメンバーがいる場合、個人は許可されません。
3. 述語:
   • 一位合計述語とヌル述語。前者はその拡張にドメインのすべてのメンバーを持ち、後者は拡張にドメインのメンバーを持たない。
   • 2項合計述語と空述語。前者はドメインメンバーのすべての順序付きペアの集合をその拡張として持ち、後者は空集合をその拡張として持つ。
   • 2項同一性述語。その拡張にはすべての順序ペア< a , a >の集合が含まれる。ここでaはドメインのメンバーである。
   • 2項多様性述語、すべての順序ペア< a , b >の集合（ aとbはドメインの異なるメンバー）
   • n項述語一般: 恒等述語から定義できるすべての述語、および連言、選言、否定（任意の順序性、有限または無限まで）
4. 量指定子: Tarski は、単項量指定子についてのみ明示的に論じており、そのような数値量指定子はすべて彼の提案の下で認められると指摘しています。これには、標準的な全称量指定子と存在量指定子のほか、たとえば「ちょうど 4」、「有限個」、「非可算個数」、「4 から 900 万の間」などの数値量指定子が含まれます。Tarski はこの問題には立ち入っていませんが、多項量指定子も提案の下で認められていることは明らかです。これらは、2 つの述語FxとGyが与えられたときに「More( x, y )」のように「 GよりもF を持つものが多い」と述べる
5. 集合論的関係:ドメインのサブセットに適用される包含、交差、和などの関係は、現在の意味で論理的です。
6. 集合の帰属関係: タルスキは講義の最後に、集合の帰属関係が彼の意味で論理的であるかどうかについて議論した。(数学の(ほとんど)が集合論に還元されることを考えると、これは実質的に、数学のほとんどまたはすべてが論理の一部であるかどうかという問題であった。) 彼は、集合論が型理論に沿って展開される場合、集合の帰属関係は論理的であるが、集合論が標準的なツェルメロ-フランケル集合論のように公理的に展開される場合、集合論は超論理的であると指摘した。
7. 高階の論理的概念: Tarski は議論を一階論理の操作に限定しましたが、彼の提案には必ずしも一階論理に限定されるものはありません。(講演が非技術的な聴衆に行われたため、Tarski はおそらく一階の概念に注意を限定しました。) したがって、高階の量化子と述語も認められます。^{[引用が必要]}

ある意味では、本提案はリンデンバウムとタルスキ（1936）の提案の逆である。彼らは バートランド・ラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』のすべての論理演算は、領域をそれ自身に1対1変換しても不変であることを証明した。本提案はタルスキとギヴァント（1987）でも採用されている。^[44]

ソロモン・フェファーマンとヴァン・マギーは、タルスキの死後に発表された論文で、タルスキの提案^{[ which? ]についてさらに議論した。フェファーマン (1999) は、この提案の問題点を指摘し、解決策として、タルスキの自己同型による保存を任意の準}同型による保存に置き換えることを提案している。本質的に、この提案は、特定の基数の異なるドメイン間および異なる基数のドメイン間での論理演算の同一性を扱う際のタルスキの提案の難しさを回避している。フェファーマンの提案は、タルスキの元の提案と比較して、論理用語の根本的な制限をもたらす。特に、標準的な一階述語論理の演算子のうち同一性のない演算子のみを論理的としてカウントすることになる。^[要出典]

ヴァン・マギー（1996）は、任意の長さの連言と選言、および任意の数の変数の量化を許可することで一階述語論理を拡張した言語における表現可能性の観点から、タルスキの提案の意味で論理的である操作が何であるかを正確に説明しています。「任意」には可算な無限が含まれます。^[45]

アンソロジーとコレクション

• 1986年。アルフレッド・タルスキ全集、全4巻。Givant, SR、McKenzie, RN編、Birkhäuser。
• ギヴァント・スティーブン (1986)。「アルフレッド・タルスキの書誌」。 シンボリック・ロジック誌。51 (4): 913–41。doi : 10.2307 /2273905。JSTOR 2273905。S2CID  44369365。
• 1983年（1956年）。アルフレッド・タルスキ著『論理、意味論、メタ数学：1923年から1938年の論文』 、コーコラン、J.、ハケット編。第1版、 JHウッドガー編集・翻訳、オックスフォード大学出版局。^[46]このコレクションには、タルスキの初期の最も重要な論文のポーランド語からの翻訳が含まれており、前述の『形式化言語における真理の概念』や『論理的帰結の概念について』も含まれています。

タルスキの原著

• 1930 年に『科学理論』に寄稿。 Fund Math 15 (1930)、42–50。
• 1930年（ヤン・ウカシェヴィチと）。 「Untersuhungen uber den Aussagenkalkul」[「センテンシャル微積分の調査」]、Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie、Vol、23 (1930) Cl。 III、タルスキ (1983) の 31 ～ 32 ページ: 38 ～ 59。
• 1931. 「Sur les ensembles définissables de nombres réels I」、Fundamenta Mathematicae 17 : 210–239、Tarski (1983): 110–142。
• 1936. 「Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik」、国際科学科学会議、ソルボンヌ、パリ、1​​935 年、vol. III、「言語と疑似問題」、パリ、ヘルマン、1936 年、1 ～ 8 ページ、Tarski (1983): 401 ～ 408。
• 1936. 「Über den Begriff der logischen Folgerung」、国際科学科学会議、ソルボンヌ、パリ、1​​935 年、vol. VII、Logique、パリ: Hermann、タルスキ (1983) の 1 ～ 11 ページ: 409 ～ 420。
• 1936年（アドルフ・リンデンバウムと共著）。「演繹理論の限界について」タルスキ（1983年）：384-92ページ。
• 1937.数学論理と数学方法論の研究。シュプリンガー、ウィーン（ウィーン）。
• 1994年（1941年）。^{[47] [48]} 論理学と演繹科学の方法論入門。ドーバー。
• 1941年「関係の計算について」、記号論理学ジャーナル6：73-89。
• 1944年。「真理の意味論的概念と意味論の基礎」『哲学と現象学的研究』4：341-75。
• 1948.初等代数と幾何学のための決定法サンタモニカ CA: RAND Corp. ^[49]
• 1949年「基数代数」オックスフォード大学出版局^[50]
• 1953年（モストフスキー、ラファエル・ロビンソンと共著）。決定不可能な理論。ノースホラント。^[51]
• 1956年、順序代数、ノースホランド。
• 1965. 「同一性を伴う述語論理の単純化された形式化」、 Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7 : 61-79
• 1969年「真実と証明」サイエンティフィック・アメリカン220 :63-77。
• 1971 ( Leon Henkinおよび Donald Monk と共著)。円筒代数: パート I。North -Holland。
• 1985年（レオン・ヘンキン、ドナルド・モンクと共著）。円筒代数：パートII。ノースホランド。
• 1986年、「論理的概念とは何か？」、コーコラン、J.編、論理の歴史と哲学7：143-54。
• 1987年（Steven Givantと共著）。変数なしの集合論の形式化。アメリカ数学会コロキウム第41巻。プロビデンスRI：アメリカ数学会。ISBN 978-0821810415 。レビュー 
• 1999年（Steven Givantと共著）。「Tarskiの幾何学体系」、Bulletin of Symbolic Logic 5：175–214。
• 2002.「論理的に従うという概念について」（マグ​​ダ・ストロイスカ、デイヴィッド・ヒッチコック訳）論理の歴史と哲学23：155–196。

• ポーランドの哲学史
• 円筒代数
• 解釈可能性
• 解釈可能性が低い
• アルフレッド・タルスキにちなんで名付けられたもののリスト
• ポーランドの科学技術の年表

伝記の参照

• フェファーマン、アニタ・バードマン(1999)。「アルフレッド・タルスキ」。アメリカ国立伝記第 21 巻。オックスフォード大学出版局。330 ～ 332 ページ。ISBN 978-0-19-512800-0。
• フェファーマン、アニタ・バードマン、フェファーマン、ソロモン（2004年）。アルフレッド・タルスキ：人生と論理。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-80240-6. OCLC  54691904.
• フロストアーノルド、グレッグ（2013年）。『ハーバード大学におけるカルナップ、タルスキ、クワインの対話：論理、数学、科学』シカゴ：オープンコート。ISBN 9780812698374。
• ギヴァント・スティーブン (1991)。「アルフレッド・タルスキの肖像」。数学インテリジェンサー。13 (3): 16–32。doi : 10.1007 /bf03023831。S2CID  122867668。
• パターソン、ダグラス。アルフレッド・タルスキ：言語と論理の哲学 （パルグレイブ・マクミラン、2012年）262ページ。1920年代後半から1930年代半ばまでの彼の作品に焦点を当てた伝記で、特に彼の教師であるスタニスワフ・レスニエフスキとタデウシュ・コタルビンスキからの影響に注目しています。

論理文学

• 1986 年 12 月の Journal of Symbolic Logic号では、モデル理論( Robert Vaught )、代数学(Jonsson)、決定不能理論(McNulty)、代数論理(Donald Monk)、幾何学(Szczerba)に関するタルスキの研究が概観されています。同じ雑誌の 1988 年 3 月号では、公理的集合論(Azriel Levy)、実閉体(Lou Van Den Dries)、決定可能理論(Doner とWilfrid Hodges )、メタ数学(Blok と Pigozzi)、真理と論理的帰結( John Etchemendy )、一般哲学(Patrick Suppes) に関するタルスキの研究が概観されています。
  • Blok, WJ; Pigozzi, Don、「アルフレッド・タルスキの一般メタ数学に関する研究」、The Journal of Symbolic Logic、第 53 巻、第 1 号 (1988 年 3 月)、36 ～ 50 ページ
• Chang, CC、およびKeisler, HJ、 1973.モデル理論、 North-Holland、アムステルダム。 American Elsevier、ニューヨーク。
• コーコラン、ジョン、サグイジョ、ホセ・ミゲル、2011年。「1936年のタルスキの帰結定義論文における複数の談話宇宙の不在」、論理の歴史と哲学32：359-80。[1]
• コーコラン、ジョン、ウェーバー、レオナルド、2015年。「タルスキの規約T：条件ベータ」、南米論理学ジャーナル。1、3-32。
• エチェメンディ、ジョン、1999年。論理的帰結の概念。スタンフォード、カリフォルニア州：CSLI出版。ISBN 1-57586-194-1 
• Feferman Solomon (1999). 「論理、論理、そして論理主義」(PDF) . Notre Dame Journal of Formal Logic . 40 : 31–54. doi : 10.1305/ndjfl/1039096304 .
• Gerla, G. (2000)ファジー論理：近似推論のための数学的ツール。Kluwer Academic Publishers。
• グラッタン・ギネス、アイヴァー、2000年。『数学的根源の探求 1870-1940』プリンストン大学出版局。
• カーカム、リチャード、1992年。「真理の理論」MIT出版。
• Maddux, Roger D.、2006 年。Relation Algebras、第 150 巻、「Studies in Logic and the Foundations of Mathematics」、Elsevier Science。
• Mautner FI (1946). 「Klein の Erlanger プログラムの拡張: 不変理論としての論理」. American Journal of Mathematics . 68 (3): 345–84. doi :10.2307/2371821. JSTOR  2371821.
• McGee Van (1996). 「論理操作」. Journal of Philosophical Logic . 25 (6): 567–80. doi :10.1007/bf00265253. S2CID  32381037.
• ポッパー、カール・R.、1972年、改訂版、1979年、「タルスキーの真理理論に関する哲学的コメント」、補遺付き、客観的知識、オックスフォード、319-340。
• Sinaceur H (2001). 「アルフレッド・タルスキ：メタ数学における意味論的転換、ヒューリスティックな転換」。Synthese . 126 : 49–65. doi : 10.1023 /a:1005268531418. S2CID  28783841.
• スミス、ジェームズ・T.、2010年。「幾何学における定義と非定義性」、アメリカ数学月刊誌117:475–89。
• ウォレンスキ、ヤン、1989年。「リヴォフ・ワルシャワ学派の論理学と哲学」ライデル/クルーワー。

ウィキメディア・コモンズには、アルフレッド・タルスキに関連するメディアがあります。

Wikiquote には、アルフレッド・タルスキに関する引用があります。

• スタンフォード哲学百科事典:
  • ウィルフレッド・ホッジス著『タルスキの真理の定義』。
  • アルフレッド・タルスキー、マリオ・ゴメス＝トレンテ著。
  • Ramon Jansana 著の「Algebraic Propositional Logic」。これらのトピックに関する Tarski の研究についてかなり詳しく解説されています。
• インターネット哲学百科事典におけるタルスキの意味論。