近似値

近似値とは、意図的に他の ものと似ているが、正確には等しくない値のことです。

approximationという単語はラテン語の approximatusに由来し、proximus（非常に近い）と接頭辞 ad-（pの前のad-は同化によりap-になる）（ ～を意味する）から成ります。^[1] approximation、approximation、approximationなどの単語は、特に技術的または科学的な文脈で使用されます。日常英語では、 roughlyやaroundなどの単語が同様の意味で使用されます。^{[2]これは多くの場合、} approximateと省略されます。

この用語は、ほぼ正確だが正確ではない、類似しているがまったく同じではない (たとえば、おおよその時刻は 10 時だった) さまざまなプロパティ (値、数量、イメージ、説明など) に適用できます。

近似は数値に最もよく適用されますが、数学関数、形状、物理法則などにも頻繁に適用されます。

科学において、近似とは、正しいモデルの使用が難しい場合に、より単純なプロセスまたはモデルを使用することを指します。近似モデルは、計算を容易にするために使用されます。不完全な情報により正確な表現が使用できない場合にも、近似が使用されることがあります。

使用される近似の種類は、利用可能な情報、必要な精度の程度、このデータに対する問題の感度、および近似によって達成できる節約（通常は時間と労力）によって異なります。

近似理論は数学の一分野であり、関数解析の定量的な部分です。ディオファントス近似は、有理数による実数の近似を扱います。

近似値は通常、正確な形式または正確な数値が不明であるか入手が困難な場合に発生します。ただし、何らかの既知の形式が存在し、実際の形式を表現できるため、大きな偏差が見つからない場合があります。たとえば、1.5 × 10 ^{6 は、測定対象の真の値が 1,500,000 の 10 万倍であることを意味します (したがって、実際の値は 1,450,000 から 1,550,000 の間になります)。これは、真の値が 1,500,000 の 1000 倍であることを意味する 1.500 × 10 6}という表記とは対照的です(つまり、真の値は 1,499,500 から 1,500,500 の間になります)。

数値の近似値は、有効桁数が少ない場合に生じることがあります。計算には、丸め誤差やその他の近似誤差が含まれる可能性があります。対数表、計算尺、計算機は、最も単純な計算を除いて、近似値を生成します。コンピュータの計算結果は通常、限られた有効桁数で表された近似値ですが、より正確な結果を生成するようにプログラムすることもできます。^[3] 10進数を有限の2進数で表現できない場合に近似値が発生する可能性があります。

関数の近似値に関連するのは関数の漸近値、つまり関数の 1 つ以上のパラメータが任意に大きくなる値です。たとえば、合計⁠ ⁠ は漸近的に${\displaystyle k/2+k/4+k/8+\cdots +k/2^{n}}$kに等しくなります。数学全体で一貫した表記法は使用されておらず、テキストによっては ≈ をほぼ等しいという意味で、~ を漸近的に等しいという意味で使用しているものもあれば、記号を逆の意味で使用しているものもあります。

近似等号≈はイギリスの数学者アルフレッド・グリーンヒルによって導入された。^[4]

LaTeXマークアップで使用される記号。

• ${\displaystyle \approx}$( \approx) は、通常、 のような数値間の近似値を示します。${\displaystyle \pi \approx 3.14}$
• ${\displaystyle \not \approx }$( \not\approx)、通常は数がほぼ等しくないことを示します ( )。${\displaystyle 1\not \approx 2}$
• ${\displaystyle \simeq}$( \simeq) は、通常、 のような関数間の漸近的同値性を示します。 ${\displaystyle f(n)\simeq 3n^{2}}$
  • したがって、広く使用されているにもかかわらず、この定義では writing は誤りになります。${\displaystyle \pi \simeq 3.14}$
• ${\displaystyle \sim}$( \sim) は通常、関数間の比例関係を示すために使用され、 上の行の同じものは になります。${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$
• ${\displaystyle \cong }$( \cong) は、通常、 のような図形間の合同性を示すために使用されます。${\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A'B'C'}$
• ${\displaystyle \eqsim }$( \eqsim) は、通常、2 つの量が定数まで等しいことを示します。
• ${\displaystyle \lessapprox }$( \lessapprox) と( ) は、通常、不等式が成り立つか、2 つの値がほぼ等しいことを示します。${\displaystyle \gtrapprox }$\gtrapprox

ほぼ等しい項目を表すために使用される記号は、波線または点線の等号です。^[5]

科学実験では、近似値が自然に生じます。科学理論の予測は、実際の測定値と異なる場合があります。これは、理論に含まれていない実際の状況の要因があるためです。たとえば、単純な計算では、空気抵抗の影響が考慮されない場合があります。このような状況では、理論は現実の近似値です。測定技術の制限により、差異が生じる場合もあります。この場合、測定値は実際の値の近似値です。

科学の歴史は、以前の理論や法則が、より深い法則の近似値になり得ることを示しています。対応原理によれば、新しい科学理論は、古い理論が機能する領域において、古くから確立された理論の結果を再現するはずです。^[7]古い理論は新しい理論の近似値になります。

物理学の問題の中には、直接分析で解決するには複雑すぎるものや、利用可能な分析ツールによって進歩が制限されるものがあります。したがって、正確な表現がわかっている場合でも、近似によって十分に正確な解決策が得られ、問題の複雑さが大幅に軽減される場合があります。物理学者は、より正確な表現が可能であるにもかかわらず、地球の形状を球体として近似することがよくあります。これは、多くの物理的特性 (重力など) が他の形状よりも球体の方が計算しやすいためです。

近似法は、恒星を周回する複数の惑星の運動を解析するためにも使用されます。これは、惑星同士の重力の影響が複雑に作用するため、極めて困難です。^[8]近似解は、反復計算を実行することによって得られます。最初の反復計算では、惑星の重力相互作用は無視され、恒星は固定されていると仮定されます。より正確な解が必要な場合は、最初の反復計算で特定された惑星の位置と運動を使用し、各惑星から他の惑星への一次重力相互作用を追加して、別の反復計算を実行します。このプロセスは、十分に正確な解が得られるまで繰り返すことができます。

摂動を利用して誤差を修正すると、より正確な解が得られます。惑星や恒星の動きをシミュレーションすると、より正確な解が得られます。

科学哲学の最も一般的なバージョンでは、経験的測定は常に近似値であり、測定対象を完全に表すものではないと認められています。

欧州連合（EU）において、「近似」とは、各国の既存の法的枠組みの差異にかかわらず、 EUの法律が加盟国の国内法に実装され組み込まれるプロセスを指す。近似は、新規加盟国に対する加盟前プロセスの一部として義務付けられており、^[9] EU指令で義務付けられている場合は継続的なプロセスとして実施される。近似は、指令のタイトルで一般的に使用されるキーワードであり、たとえば、2015年12月16日の商標指令は、「商標に関する加盟国の法律を近似する」役割を果たしている。^[10]欧州委員会は、法律の近似を「欧州連合加盟国に特有の義務」と表現している。^[9]

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