表現（数学）

数学において、式とは、文脈に依存する数学表記の構文規則に従って書かれた記号の配置です。記号は数値（定数）、変数、演算、関数を表すことができます。^[1]その他の記号には、句読点や括弧（多くの場合、グループ化、つまり式の一部を単一の記号と見なすために使用される）があります。

多くの著者は、表現式と公式を区別しています。前者は数学的対象を表し、後者は数学的対象についてのステートメントを表します。^[2]これは自然言語に類似しており、名詞句は対象を表し、文全体は事実を表します。たとえば、は表現式ですが、は公式です。 ${\displaystyle 8x-5}$${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

式は、式内の演算をその結果に置き換えることで、評価または部分的に評価することができます。たとえば、式は部分的に評価され、全体的に評価されます。${\displaystyle 8\times 2-5}$${\displaystyle 16-5}$${\displaystyle 11.}$

式は、関数を定義するためによく使用されます。関数の引数または入力となる変数を取り、結果として得られる式全体の評価を出力として割り当てます。 ^[3]たとえば、は各数値にその平方プラス1 を関連付ける関数を定義します。変数のない式は定数関数を定義します。通常、2 つの式は同じ関数を定義する場合、それらは等しいまたは同等であると見なされます。このような等式は「意味的等式」と呼ばれ、両方の式が「同じことを意味する」ことを意味します。 ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

形式式は、標準式と同じ生成規則によって作成された一種の記号列ですが、式の意味に関係なく使用されます。このように、2つの形式式は、構文的に等しい場合、つまりまったく同じ式である場合にのみ等しいとみなされます。 ^{[4] [5]}たとえば、形式式「2」と「1+1」は等しくありません。

表現の使用範囲は、次のような単純なものから多岐にわたります。

${\displaystyle 3+8}$

${\displaystyle 8x-5}$   (線形多項式)

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   （二次多項式）

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   (有理数)

複合体へ：

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))}$${\displaystyle +\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.}$

多くの式には変数が含まれます。どの変数も、自由変数または束縛変数のいずれかに分類できます。

自由変数の値の特定の組み合わせに対して式を評価できますが、自由変数の値の組み合わせによっては式の値が未定義になる場合があります。したがって、式は定数と自由変数に対する演算を表し、その出力は式の結果の値です。^[6]

例えば、式がx = 10、y = 5で評価された場合、2と評価されます。これは次のように表されます。 ${\displaystyle x/y}$

${\displaystyle x/y{\text{}}|_{x=10,\,y=5}=2.}$

y = 0の場合、評価は未定義です。

2つの式は、自由変数の値の各組み合わせに対して同じ出力、つまり同じ関数を表す場合、同等であると言われる。^{[7] [8]} 2つの式の等価性は恒等式と呼ばれ、しばしば次のように表記される。${\displaystyle \equiv .}$

例えば、式では変数nは束縛されており、変数xは自由である。この式はより単純な式12 xと同等である。つまり、 x = 3 の値は36であり、次のように表すことができる。${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

式は構文構造です。それは整形式でなければなりません。それは次のように多少非公式に説明することができます：許可された演算子は正しい場所に正しい数の入力を持つ必要があり、これらの入力を構成する文字は有効でなければならず、明確な演算順序を持っている必要があります、など。構文規則に違反する記号の文字列は整形式ではなく、有効な数式ではありません。^[9]

例えば算数では、 1 + 2 × 3という式は正しいが、

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$。

違います。

意味論は意味を研究する学問です。形式意味論は表現に意味を付与する学問です。

代数学では、式を使用して値を指定することができますが、その値は式に現れる変数に割り当てられた値に依存する場合があります。 ^[要出典]この値の決定は、式の記号に付随する意味に依存します。意味の選択は、式のコンテキストに依存します。同じ構文式1 + 2 × 3は、コンテキストによって暗示される演算の順序に応じて、異なる値（数学的には 7 ですが、9 にもなります）を持つ可能性があります（演算 § 計算機も参照）。

意味規則では、特定の式が値を指定しないことが宣言される場合があります (たとえば、0 による除算が含まれる場合)。このような式は未定義の値を持つと言われますが、それでも適切な式です。一般に、式の意味は値を指定することに限定されません。たとえば、式は条件や解くべき方程式を指定する場合があり、また、特定の規則に従って操作できる独自のオブジェクトと見なすこともできます。^[要出典]値を指定する特定の式は、保持されると想定される条件を同時に表現します。たとえば、内部直和を指定する演算子を含む式などです。 ${\displaystyle \oplus}$

数学における整形式の表現は形式言語の一部として記述することができ、以下のように再帰的に定義される。^[10]

アルファベットは次のもので構成されています:

• 定数/確定値の集合:数値(1、2.5、1/7、...)、集合( 、...)、真理値(T または F) など、談話領域内の固定されたオブジェクトを表す記号。${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• 変数名のセット:ドメイン内の数学的オブジェクトを表すために使用される、可算無限個の変数。(通常はxやyなどの文字)

• 演算のセット:加算 (+)、乗算 (×)、または和集合 (∪)、積集合 (∩) などの集合演算など、ドメイン上の要素に対して実行できる演算を表す関数記号。(関数は単項演算として理解できます)

• 括弧 ( )

このアルファベットでは、整形式式 (WFE) を形成するための再帰規則は次のようになります。

• 定義されている定数または変数は、アトミック式(最も単純な WFE) です。たとえば、式 " " または " " は、構文的に正しい式です。${\displaystyle 2}$${\displaystyle x}$

• がドメイン上のn 項演算を表し、が任意の WFE のメタ変数であるとします。${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

それからWFEでもあります。${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

たとえば、議論のドメインが実数である場合、は二項演算+を表すことができるため、 はWFE です。 または、 は単項演算 を表すことができるため、 も同様です。${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \surd}$${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

括弧は最初は各非アトミック式を囲みますが、演算の順序が定義されている場合や、順序が重要でない場合（つまり、演算が結合的である場合）には削除できます。

整形式の式は構文木と考えることができる。^[11]葉ノードは常にアトミック式である。操作と にはちょうど 2 つの子ノードがあるが、操作、、 にはちょうど 1 つの子ノードがある。WFE は無限に数えられるが、各 WFE には有限個のノードがある。 ${\displaystyle +}$${\displaystyle \cup}$${\textstyle {\sqrt {x}}}$${\textstyle {\text{ln}}(x)}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

形式言語を使用すると、整形式の表現の概念 を形式化できます。

1930年代に、関数とその評価を形式化するために、アロンゾ・チャーチとスティーブン・クリーネによってラムダ式と呼ばれる新しいタイプの式が導入されました。 ^{[12] [a]これらは、}数理論理学とプログラミング言語の理論で使用される形式システムであるラムダ計算の基礎を形成します。

2つのラムダ式の同値性は決定不可能である。これは、算術演算、対数、指数を使用して整数から構築される実数を表す式にも当てはまる（リチャードソンの定理）。

代数式は、代数定数、変数、代数演算（加算、減算、乗算、除算、有理数による累乗）から構成される式である。^[13]たとえば、3 x ² − 2 xy + cは代数式である。平方根を取ることは、1/2⁠、以下も代数式です。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}}$

参照:代数方程式および代数閉包

多項式は、スカラー（ある体の元の数）、不定値、および非負整数の累乗の加算、乗算、累乗の演算子で構築された式です。たとえば、${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

結合法則、交換法則、分配法則を用いると、あらゆる多項式は多項式と等価になります。多項式とは、不定値の整数乗の積の線形結合である式です。例えば、上記の多項式は等価です（同じ多項式を次のように表します）。${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

多くの著者は、多項式と多項式表現を区別しません。この場合、線形結合としての多項式表現は、多項式の 標準形、正規形、または展開形と呼ばれます。

コンピュータサイエンスにおいて、式とはプログラミング言語における構文上の実体であり、評価されてその値が決定されるか[ ^14] 、終了に失敗するかのいずれかであり、その場合式は未定義となる。[ ^15]式は、プログラミング言語が（特定の優先順位と関連付けの規則に従って）解釈し、計算して別の値を生成（状態のある環境では「返す」）する、1つ以上の定数、変数、関数、演算子の組み合わせである。数式の場合、このプロセスは評価と呼ばれる。単純な設定では、結果の値は通常、文字列、ブール値、数値（整数、浮動小数点、複素数など）などのさまざまなプリミティブ型のいずれかである。

コンピュータ代数では、数式は、式内の変数に与えられた値に応じてブール値として評価できる式と見なされます。たとえば、x に1 未満の値が与えられた場合はfalse の値を取り、それ以外の場合はtrue の値を取ります。 ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

式は、値を持たない構文エンティティ (命令) である ステートメントと対比されることがよくあります。

数値と変数を除き、すべての数式は、演算子のシンボルとそれに続く一連のオペランドとして考えることができます。コンピュータ代数ソフトウェアでは、式は通常このように表現されます。この表現は非常に柔軟で、一見すると数式ではないと思われるものも、数式として表現および操作できます。たとえば、方程式は「=」を演算子とする式であり、行列は「行列」を演算子とし、その行をオペランドとする式として表現できます。

参照:コンピュータ代数式

数学的論理では、「論理式」は項または式のいずれかを指します。項は数学的対象を表し、式は数学的事実を表します。特に、項は式の構成要素として現れます。

一階項は、定数記号、変数、関数記号から再帰的に構築されます。述語記号を適切な数の項に適用して形成される式は原子式と呼ばれ、解釈が与えられた場合、二価論理で真または偽に評価されます。たとえば、⁠ ⁠は、定数 1、変数x、および二項関数記号⁠ ⁠と⁠ ⁠から構築された項であり、 xの実数値ごとに真に評価される原子式⁠ ⁠の一部です。 ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$

• Redden, John (2011). 「初等代数」. Flat World Knowledge . 2014-11-15 にオリジナルからアーカイブ。2012-03-18に取得。