ウラム螺旋

ウラム螺旋または素数螺旋は、素数の集合をグラフィカルに表現したもので、1963 年に数学者スタニスワフ・ウラムによって考案され、その後まもなくサイエンティフィック・アメリカンのマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムで広く知られるようになった。 ^{[ 1 ]}これは、正の整数を正方形の螺旋に書き、素数を特別にマークすることによって作られる。

ウラムとガードナーは、螺旋の中に多数の素数を含む目立つ対角線、水平線、垂直線が際立って現れることを強調した。ウラムとガードナーは、螺旋の線は二次多項式に対応しており、オイラーの素数生成多項式x² − x + 41のような特定の多項式は高密度の素数を生成すると考えられているため、このような^{目立つ線の存在は予想外ではないと指摘した。 [ 2 ] [ 3 ]} それにもかかわらず、ウラム螺旋はランダウ問題のような数論における主要な未解決問題と関連している。特に、二次多項式が無限に多くの素数を生成することは証明されておらず、ましてや漸近的に高い密度を持つことも証明されていないが、漸近密度がどうあるべきかについては十分に裏付けられた予想がある。

1932年、ウラムの発見の31年前に、爬虫類学者のローレンス・クラウバーは、同様の素数の集中を示す垂直線と対角線を含む三角形の非螺旋状の配列を構築した。クラウバーはウラムと同様に、オイラーの多項式などの素数生成多項式との関連性に気づいた。^{[ 4 ]}

ウラム螺旋は、正の整数を正方格子上に螺旋状に配置することによって構築される。

そして素数をマークする：

図では、素数は特定の対角線に沿って集中しているように見える。上に示した 201×201 のウラム螺旋では、対角線がはっきりと見え、その点までのパターンが確認される。素数が高密度に存在する水平線と垂直線も、それほど目立たないものの、明らかである。多くの場合、数螺旋は中心に 1 を置いて始まるが、任意の数から始めることも可能であり、対角線、水平線、垂直線に沿って同じ素数の集中が見られる。中心に 41 を置いて始めると、40 個の素数が途切れることなく続く対角線が得られる (原点の南西 1523 から始まり、原点で 41 まで減少し、原点の北東 1601 まで増加する)。これはこの種の最長の例である。^{[ 5 ]}

ガードナーによれば、ウラムは1963年に科学会議で「長くて非常に退屈な論文」を発表している最中に落書きをしているときに螺旋を発見した。^{[ 1 ]} これらの手計算は「数百点」に相当した。その後まもなく、ウラムは共同研究者のマイロン・スタインとマーク・ウェルズとともに、ロスアラモス科学研究所のMANIAC IIを使用して、計算を約10万点に拡張した。このグループはまた、素数の多い線と素数の少ない線に沿って、10,000,000までの数における素数の密度も計算した。螺旋の画像は「機械に取り付けられたスコープ」に最大65,000点まで表示され、その後写真に撮られた。^{[ 6 ]}ウラム螺旋は、マーティン・ガードナーが1964年3月にサイエンティフィック・アメリカンの「数学ゲーム」コラム で紹介し 、その号の表紙を飾った。スタイン、ウラム、ウェルズの写真の一部がコラムに掲載された。

サイエンティフィック・アメリカンのコラムの追記で、ガードナーはクラウバーの以前の論文に言及した。^{[ 7 ] [ 8 ]} クラウバーは自身の構成を次のように説明している。「整数は三角形の順序で配置され、頂点に1、2行目に2から4、3行目に5から9、といった具合に続きます。素数が示されている場合、特定の垂直線と対角線に集中していることがわかり、その中に素数が集中しているいわゆるオイラー数列が発見されます。」^{[ 4 ]}

数螺旋の対角線、水平線、垂直線は、次の形式の多項式に対応します。

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

ここで、bとcは整数定数です。b が偶数の場合、線は対角線になり、cの値に応じて、すべての数が奇数になるか、すべて偶数になります。したがって、2 以外のすべての素数がウラム螺旋の交互の対角線上にあることは驚くべきことではありません。次のような多項式もあります。${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$奇数のみを生成する一方で、整数に対して因数分解を行う${\displaystyle (4n^{2}+8n+3)=(2n+1)(2n+3)}$したがって、素数となるのは、因数のいずれかが1に等しい場合を除いてはあり得ません。このような例は、素数を含まない、あるいはほとんど含まない対角線に対応します。

残りの奇数対角線の一部に素数の集中度が他の対角線よりも高い理由を理解するために、以下を考察する。${\displaystyle 4n^{2}+6n+1}$そして${\displaystyle 4n^{2}+6n+5}$nが0、1、2、…と連続して値をとるときの3による除算の余りを計算します。最初の多項式の場合、余りの列は1、2、2、1、2、2、…ですが、2番目の多項式の場合は2、0、0、2、0、0、…となります。これは、2番目の多項式が取る値の列では、3つのうち2つが3で割り切れるため、素数ではないことを意味しますが、最初の多項式が取る値の列では、3で割り切れる値は一つもありません。したがって、最初の多項式は2番目の多項式よりも素数の密度が高い値を生成する可能性が高いと思われます。少なくとも、この観察結果は、対応する対角線が同じように素数の密度を持つと考える理由をほとんど与えません。もちろん、3以外の素数による割り算も考慮する必要があります。5による割り算も調べると、15で割った余りは、最初の多項式では1、11、14、10、14、11、1、14、5、4、11、11、4、5、14のパターンで繰り返され、2番目の多項式では5、0、3、14、3、0、5、3、9、8、0、0、8、9、3のパターンで繰り返されます。これは、2番目の数列の15個の値のうち3個だけが素数である可能性がある（3でも5でも割り切れない）のに対し、最初の数列の15個の値のうち12個が素数である可能性がある（3つだけが5で割り切れ、3で割り切れない）ことを意味します。

二次数列における素数に関する厳密に証明された結果は少ないものの、上記のような考察から、そのような数列における素数の漸近密度に関するもっともらしい推測が導き出され、それは次の節で説明する。

1923年のゴールドバッハ予想に関する論文で、ハーディとリトルウッドは一連の予想を述べ、そのうちの1つが正しければ、ウラム螺旋のいくつかの顕著な特徴を説明できるとしました。ハーディとリトルウッドが「予想F」と呼んだこの予想は、ベイトマン・ホーン予想の特殊な場合であり、 ax² ⁺ bx + cの形の素数の数に対する漸近公式を主張しています。ウラム螺旋の中心領域から水平線と垂直線に対して45°の角度をなす光線は、bが偶数の場合の4x² + bx + c の形の数に対応し 、 水平線と 垂直 ^線 は 、bが奇数の場合の同じ形の数に対応します。予想Fは、そのような光線に沿った素数の密度を推定するために使用できる公式を提供します。これは、異なる光線に沿った密度にかなりのばらつきがあることを示唆しています。特に、密度は多項式の判別式b ² − 16 cに非常に敏感です。

予想 F は、 a、b、cが整数でaが正であるようなax ² + bx + cの形の多項式に関するものです。係数に 1 より大きい共通因数がある場合、または判別式 Δ = b ² − 4 ac が平方数である場合、この多項式は因数分解され、x が0、1、2、... の値をとるときに合成数を生成します (ただし、因数の 1 つが 1 に等しいxの値 1 つまたは 2 つは例外です)。さらに、 a + bとcの両方が偶数である場合、この多項式は偶数のみを生成するため、値 2 を除いて合成数になります。ハーディとリトルウッドは、これらの状況を除いて、x が0、1、2、... の値をとるときにax ² + bx + cは無限回素数をとると主張しています。この主張は、以前のブニャコフスキーの予想の特殊なケースであり、未解決です。ハーディとリトルウッドはさらに、漸近的に、 ax² + bx + cの形をしたn未満の素数の数P ( n ) は次のように与えられると主張している^。

${\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}$

ここで、A はa、b、cに依存しますが、 nには依存しません。素数定理により、 Aを1 に設定したこの式は、ax ² + bx + cの形の数の集合と同じ密度を持つランダムな数の集合で期待されるn未満の素数の漸近的な数です。しかし、A は1 より大きい値または小さい値をとることができるため、予想によれば、一部の多項式は特に素数が多く、他の多項式は特に少ないことになります。非常に素数が多い多項式は 4 x ² − 2 x + 41 で、これはウラム螺旋で目に見える線を形成します。この多項式の定数Aは約 6.6 であり、予想によれば、この多項式が生成する数は、同程度の大きさのランダムな数よりも素数である可能性がほぼ 7 倍高いことを意味します。この特定の多項式は、x を2 xに置き換えるか、または同等に、x を偶数に制限することによって、オイラーの素数生成多項式x ² − x + 41と関連付けられます。定数Aはすべての素数にわたる積で与えられ、

${\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~}$、

その中で${\displaystyle \omega (p)}$は、 pを法とする二次多項式の零点の数であり、 したがって 0、1、または 2 のいずれかの値をとります。ハーディとリトルウッドは、積を 3 つの因子に分解します。

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$。

ここで、素数 2 に対応する因子 ε は、a + bが奇数の場合は 1、 a + bが偶数の場合は 2です。最初の積のインデックスp は、aとb の両方を割り切る有限個の奇素数にわたって実行されます。これらの素数に対して、${\displaystyle \omega (p)=0}$pはcを割り切ることができないため 、2番目の積指数は${\displaystyle \varpi }$aを割り切らない無限に多くの奇素数について実行します。これらの素数については、${\displaystyle \omega (p)}$判別式が 0、ゼロでない平方数、またはpを法とする平方数でないかどうかに応じて、 1、2、または 0 になります。これは、ルジャンドル記号を使用することで説明できます。${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)}$素数p がa を割り切るがb を割り切らない場合、法p の平方根は 1 つ存在する。したがって、そのような素数は積に寄与しない。

ヤコブソンとウィリアムズによって、現在知られている最高値であるA ≈ 11.3の二次多項式が発見された。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

クラウバーの1932年の論文では、行nに( n -1) ² +1からn2までの数字が含まれる三角形について説明している。ウラム螺旋と同様に、^{二次多項式は直線上に並ぶ数字を生成する。垂直線は}k2 - k + Mの形の数に対応する。素数が密集した垂直線と対角線^が図に明確に示されている。

ロバート・サックスは1994年にウラム螺旋の変形版を考案した。サックス螺旋では、非負整数はウラムが用いた正方形螺旋ではなくアルキメデス螺旋上にプロットされ、1回転ごとに1つの平方数が現れるように間隔が取られている。（ウラム螺旋では、1回転ごとに2つの平方数が現れる。）オイラーの素数生成多項式x² − x + 41 は、 x が0, 1, 2, ... の値をとる につれて、単一の曲線として現れる。^この曲線は、図の左半分で水平線に漸近的に近づく。（ウラム螺旋では、オイラーの多項式は2本の対角線を形成し、1本は図の上半分にあり、数列のxの偶数に対応し、もう1本は図の下半分にあり、数列のxの奇数に対応している。）

ウラム螺旋に合成数も加えると、さらに複雑な構造が浮かび上がります。1は1つの約数（1自身）しか持ちません。素数はそれぞれ2つの約数（1自身と1）を持ちます。合成数は少なくとも3つの異なる約数で割り切れます。整数を表す点の大きさで約数の数を示し、素数を赤、合成数を青で色分けすると、図のような形になります。

平面の他のタイル張りパターンに従う螺旋も、例えば六角形の螺旋のように、素数を多く含む線を生成する。

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  オイラーの多項式x² ⁻ x + 41 によって生成された素数が強調表示された クラウバー 三角形
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  サックススパイラル
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  素数と合成数の両方を示す、150×150サイズのウラム螺旋。
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  六角形の数の螺旋。素数は緑色、合成数は濃い青色で示されている。
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  正三角形上に7503個の素数が見える数字螺旋

• パターン認識
• 素数kタプル