射影幾何学

数学において、射影幾何学とは、射影変換に関して不変な幾何学的性質を研究する分野です。つまり、初等ユークリッド幾何学と比較して、射影幾何学は異なる設定（射影空間）と、厳選された基本的な幾何学的概念を持ちます。基本的な直観としては、射影空間は、与えられた次元において、ユークリッド空間よりも多くの点を持ち、余分な点（「無限遠点」と呼ばれる）をユークリッド点に変換する幾何学的変換、およびその逆の変換が許容されるということです。

射影幾何学にとって意味のある性質は、この新しい変換の概念によって尊重されます。この変換は、変換行列と平行移動（アフィン変換）で表現できるものよりも、その効果においてより根本的です。幾何学者にとって最初の問題は、新しい状況に適した幾何学の種類です。ユークリッド幾何学とは異なり、射影幾何学では角度の概念は適用されません。なぜなら、角度の尺度は、視点が変化する透視図に見られるように、射影変換に対して不変ではないからです。射影幾何学の源泉の一つは、確かに透視理論でした。初等幾何学とのもう一つの違いは、平行線が無限遠点で交わるという概念を射影幾何学の用語に翻訳すると、そのように言えることです。この概念もまた、透視図で鉄道の線路が地平線で交わるなど、直感的な根拠があります。2次元の射影幾何学の基本については、「射影平面」を参照してください。

射影幾何学の考え方自体は以前から存在していたものの、その発展は主に19世紀に起こった。これには複素射影空間の理論が含まれ、使用される座標（同次座標）は複素数である。より抽象的な数学の主要な分野（不変式論、イタリア代数幾何学学派、古典群の研究につながったフェリックス・クラインのエアランゲン計画など）のいくつかは、射影幾何学に触発されたものである。また、総合幾何学のように、それ自体を目的として研究する研究者も多くいた。射影幾何学の公理的研究から発展したもう一つの分野は有限幾何学である。

射影幾何学という分野自体が、現在では多くの研究分野に分かれており、その例として射影代数幾何学（射影多様体の研究）と射影微分幾何学（射影変換の微分不変量の研究）が挙げられる。

射影幾何学は、距離の概念をサポートしない、基本的な非計量的な幾何学の形式です。2 次元では、点と線の配置の研究から始まります。この疎な設定に実際に何らかの幾何学的関心があることは、デサルグらが透視図法の原理を探求した際に初めて確立されました。^{[ 1 ]}高次元空間では、（常に交わる）超平面と、双対性の原理を示す他の線形部分空間が考えられます。双対性の最も単純な例は射影平面にあり、「2 つの異なる点が 1 つの線を決定する」（つまり、それらを通る線）と「2 つの異なる線が 1 つの点を決定する」（つまり、それらの交点）という命題は、同じ構造を示します。射影幾何学は、定規とコンパスによる作図で一般的なコンパス作図を除いて、定規のみによる作図の幾何学と見なすこともできます。^{[ 2 ]}そのため、円も角度も測定も平行線も中間性（または「中間性」）の概念もありません。^{[ 3 ]}射影幾何学に適用される定理は、より単純な記述であることが認識されました。たとえば、さまざまな円錐曲線は、（複素）射影幾何学ではすべて同等であり、円に関するいくつかの定理は、これらの一般的な定理の特殊な場合と考えることができます。

19 世紀初頭、ジャン＝ヴィクトル・ポンセレ、ラザール・カルノーらの研究により、射影幾何学は独立した数学の分野として確立された。^{[ 3 ]}その厳密な基礎はカール・フォン・シュタウトによって研究され、 19 世紀後半にはイタリア人のジュゼッペ・ペアノ、マリオ・ピエリ、アレッサンドロ・パドア、ジーノ・ファノによって完成された。 ^{[ 4 ]}射影幾何学は、アフィン幾何学やユークリッド幾何学と同様に、フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムから発展させることもできる。射影幾何学は、射影群の変換の下での不変量に​​よって特徴付けられる。

したがって、この分野の非常に多くの定理について多くの研究を行った結果、射影幾何学の基礎が理解されるようになりました。接続構造と交差比は、射影変換の下での基本的な不変量です。射影幾何学は、アフィン平面（またはアフィン空間）に「無限遠」の直線（超平面）を追加し、その直線（または超平面）を「通常の」ものとして扱うことでモデル化できます。^{[ 5 ]}解析幾何学のスタイルで射影幾何学を行うための代数モデルは、同次座標によって与えられます。^{[ 6 ] [ 7 ]}一方、公理的研究により、非デサルグ平面の存在が明らかになり、同次座標系による推論ではアクセスできない構造によって接続の公理をモデル化できることを示す例が（2次元のみで）得られました。

基礎的な意味では、射影幾何学と順序幾何学はそれぞれ最小限の公理セットを含み、どちらもアフィン幾何学とユークリッド幾何学の基礎として使用できるため、初等的です。^{[ 8 ] [ 9 ]}射影幾何学は「順序付けられていない」ため^{[ 3 ] 、幾何学の独自の基礎となります。}

射影幾何学は、ユークリッド幾何学やアフィン幾何学よりも制約が少ない。本質的に非計量的な幾何学であり、つまり、その事実は計量構造に依存しない。射影変換の下では、入射構造と射影調和共役の関係が保存される。射影像は一次元の基礎となる。射影幾何学は、透視図法の中心的な原理の一つ、すなわち平行線は無限遠で交わり、したがってそのように描かれるという原理を形式化する。本質的に、射影幾何学は、各線の「方向」が追加の「点」として線内に包含され、同一平面上の線に対応する方向の「地平線」が「線」とみなされるユークリッド幾何学の拡張と考えることができる。したがって、2本の平行線は同じ方向を包含しているため、地平線上で交わる。

理想化された方向は無限遠点と呼ばれ、理想化された地平線は無限遠線と呼ばれます。そして、これらの線はすべて無限遠平面上にあります。しかし、無限遠は計量的な概念であるため、純粋な射影幾何学では、この点に関して特定の点、線、平面を区別することはありません。無限遠にあるものも、他のものと同様に扱われます。

ユークリッド幾何学は射影幾何学の中に含まれており、射影幾何学はより単純な基礎を持つため、ユークリッド幾何学の一般的な結果をより分かりやすい方法で導出できます。つまり、ユークリッド幾何学の別個の類似した定理を、射影幾何学の枠組みの中でまとめて扱うことができるのです。例えば、平行線と非平行線を別々のケースとして扱う必要はなく、任意の射影平面を理想平面として選び出し、同次座標を用いて「無限遠」に位置づければよいのです。

基本的な性質としては、デザルグの定理とパップスの六角形定理が挙げられる。3次元以上の射影空間では、デザルグの定理を証明できる構成法が存在する。しかし、2次元の場合は、別途仮定する必要がある。

デザルグの定理を他の公理と組み合わせることで、算術の基本演算を幾何学的に定義することが可能です。結果として得られる演算は、乗法の可換性にはパップスの六角形定理が必要となる点を除いて、体の公理を満たします。その結果、各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、 r ⋅ ∞ = ∞、−∞ = ∞、r + ∞ = ∞、r / 0 = ∞、r / ∞ = 0、∞ − r = r − ∞ = ∞となりますが、0 / 0、∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、0 ⋅ ∞および∞ ⋅ 0は未定義のままです。

射影幾何学には円錐曲線の完全な理論も含まれており、これはユークリッド幾何学でも広く展開されている主題です。双曲線と楕円は、双曲線が無限遠の直線を横切る方法によってのみ区別され、放物線は同じ直線に接していることによってのみ区別されると考えることができるという利点があります。円の族全体は、無限遠の直線上の 2 つの与えられた点を通る円錐曲線と考えることができますが、複素座標が必要になります。座標は「合成」ではないため、直線と直線上の 2 つの点を固定し、それらの点を通るすべての円錐曲線の線形システムを研究の基本対象として考えることで、座標を置き換えます。この方法は才能ある幾何学者にとって非常に魅力的であることが証明され、この主題は徹底的に研究されました。この方法の例として、HF ベイカーによる多巻の論文があります。

射影的な性質を持つ最初の幾何学的性質は、3 世紀にアレクサンドリアのパップスによって発見されました。^{[ 3 ]}フィリッポ・ブルネレスキ(1404–1472) は、1425 年頃に透視図法の幾何学の研究を開始しました^{[ 10 ]} (射影幾何学の発展の多くを促した美術作品についてのより詳細な議論については、「透視図法 (図) § 歴史」を参照してください)。ヨハネス・ケプラー(1571–1630) とジラール・デザルグ(1591–1661) は、それぞれ独立して「無限遠点」の概念を開発しました。^{[ 11 ]}デザルグは、消失点の使用を一般化して、消失点が無限遠にある場合も含むようにすることで、透視図法の別の方法を開発しました。彼は、平行線が真に平行であるユークリッド幾何学を、包括的な幾何学システムの特殊なケースにしました。デザルグの円錐曲線に関する研究は、16歳のブレーズ・パスカルの注目を集め、パスカルの定理の定式化に役立った。18世紀末から19世紀初頭にかけてのガスパール・モンジュの研究は、その後の射影幾何学の発展にとって重要であった。デザルグの研究は、1845年にミシェル・シャールが偶然手書きの写本を見つけるまで無視されていた。一方、ジャン＝ヴィクトル・ポンセレは1822年に射影幾何学の基礎となる論文を発表していた。ポンセレは、対象（中心投影の下で不変な対象）の射影特性を調べ、円に関する具体的な極と極関係に基づいて理論を構築することで、計量特性と射影特性の関係を確立した。その後すぐに発見された非ユークリッド幾何学は、最終的に、双曲空間のクラインモデルなど、射影幾何学に関連するモデルを持つことが実証された。

1855年、A.F.メビウスは複素平面上の一般化された円の置換（現在ではメビウス変換と呼ばれる）に関する論文を執筆した。これらの変換は複素射影直線の射影性を表す。空間内の直線の研究において、ユリウス・プリュッカーは記述に同次座標を用い、直線の集合をクライン二次曲面上で考察した。これは、射影幾何学が代数幾何学と呼ばれる新しい分野（射影的な考え方を取り入れた解析幾何学の派生分野）に貢献した初期の業績の一つ​​である。

射影幾何学は、双曲平面のモデルを提供することで、ロバチェフスキーとボヤイの双曲幾何学に関する推測の検証に役立ちました。^{[ 12 ]}例えば、ポアンカレ円盤モデルでは、単位円に垂直な一般化された円が「双曲線」（測地線）に対応し、このモデルの「平行移動」は、単位円盤をそれ自身に写像するメビウス変換によって記述されます。点間の距離は、 交差比（重要な射影不変量）に依存するため、平行移動に対して不変であることが知られているケイリー・クライン計量によって与えられます。平行移動は、計量空間理論における等長変換、形式的には線形分数変換、射影線形群（この場合はSU(1, 1)）の射影線形変換として、さまざまな形で記述されます。

ポンセレット、ヤコブ・シュタイナーらの研究は、解析幾何学を拡張することを目的としたものではなかった。彼らの手法は総合的であるべきであり、事実上、現在理解されている射影空間は公理的に導入されるはずだった。そのため、射影幾何学における初期の研究を、現在の厳密性の基準を満たすように再定式化することは、やや困難である。射影平面のみの場合でさえ、公理的アプローチは線形代数では記述できないモデルをもたらす可能性がある。

幾何学におけるこの時代は、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる一般代数曲線の研究によって取って代わられ、既存の手法が拡張され、その後、不変式論へと発展した。世紀末にかけて、イタリアの代数幾何学学派（エンリケス、セグレ、セヴェリ）は、伝統的な研究分野から脱却し、より高度な手法を必要とする領域へと進出した。

19世紀後半になると、射影幾何学の詳細な研究は次第に廃れていったが、関連文献は膨大に残っている。特にシューベルトによる列挙幾何学の分野では重要な業績があり、これは現在ではグラスマン多様体の代数トポロジーを表すものとして捉えられているチャーン類理論を先取りするものと考えられている。

射影幾何学は後にポール・ディラックによる量子力学の発明の鍵となった。基礎的なレベルでは、量子測定が可換でない可能性があるという発見はハイゼンベルクを動揺させ、思いとどまらせたが、非可換環上の射影平面に関する過去の研究はおそらくディラックの感受性を鈍らせた。より高度な研究では、ディラックは射影幾何学の広範な図を用いて方程式の直感的な意味を理解し、その後、完全に代数的な形式で研究成果をまとめた。^{[ 13 ]}

射影幾何学には多くの種類があり、それらは離散幾何学と連続幾何学に分類できます。離散幾何学は点の集合から構成され、その点の数は有限である場合も有限でない場合もあります。一方、連続幾何学は点が無限に存在し、点と点の間には隙間がありません。

次元0の射影幾何学は一点のみである。次元1の射影幾何学は、少なくとも3点を含む1本の直線で構成される。これらのいずれの場合も、算術演算の幾何学的構成は実行できない。次元2については、デザルグの定理が存在しないため、豊かな構造が存在する。

最小の2次元射影幾何学（点の数が最も少ないもの）はファノ平面であり、各線上に3点、合計7点と7本の線があり、以下の共線性を持つ。

同次座標 ではA = (0,0,1)、B = (0,1,1)、C = (0,1,0)、D = (1,0,1)、E = (1,0,0)、F = (1,1,1)、G = (1,1,0)、またはアフィン座標ではA = (0,0)、B = (0,1)、C = (∞)、D = (1,0)、E = (0)、F = (1,1)およびG = (1)となります。無限遠点として指定された点 (この例では C、E、G) のデサルグ平面上のアフィン座標は、他のいくつかの方法で定義できます。

標準表記では、有限射影幾何学はPG( a , b )と表記され、ここで次のようになります。

aは射影次元（または幾何学的次元）であり、

bは、直線上の点の数より1少ない値です（これを幾何学の次数と呼びます）。

したがって、7 つの点しかない例はPG(2, 2)と表記されます。

「射影幾何学」という用語は、一般化された基礎的な抽象幾何学を示す場合もあれば、同次座標を用いて解析される平坦空間の計量幾何学など、広く関心を集めている特定の幾何学を示す場合にも用いられる。この計量幾何学にはユークリッド幾何学が埋め込まれている（そのため、拡張ユークリッド平面と呼ばれる）。

射影幾何学を特徴づける根本的な性質は、射影平面上の任意の異なる2つの直線LとMがちょうど1点Pで交わるという楕円的交わりの性質である。解析幾何学における平行線の特殊なケースは、Pが存在する無限遠直線というより滑らかな形式に包含される。したがって、無限遠直線は理論上の他の直線と何ら変わりなく、特別なものでも区別されるものでもない。（後のエアランゲン・プログラムの精神に倣えば、変換群によって任意の直線を無限遠直線に移動できるという点を指摘することもできるだろう。）

楕円幾何学、ユークリッド幾何学、双曲幾何学の類似した性質は、以下のように対照的である。

直線lと直線上にない 点Pが与えられたとき、

楕円形

Pを通る直線でlと交わらないものは存在しない

ユークリッド

Pを通る直線でlと交わらない直線がちょうど 1 つ存在する。

双曲線

Pを通る直線でlと交わらないものは複数存在する

楕円幾何学の平行性という性質は、射影双対性の原理へと導く重要な概念であり、おそらくすべての射影幾何学に共通する最も重要な性質である。

1825 年、ジョセフ・ジェルゴンヌは、射影平面幾何学を特徴づける双対性の原理に注目しました。その幾何学の任意の定理または定義が与えられたとき、点を直線に、上を通過に、共線を一点に、交点を結合に、またはその逆で置き換えると、最初の定理の「双対」である別の有効な定理または定義が得られます。同様に、3 次元では、双対関係は点と平面の間にも成り立ち、任意の定理は点と平面を入れ替えることで変換でき、はに含まれ、を含みます。より一般的には、次元 N の射影空間では、次元Rの部分空間と次元N − R − 1の部分空間の間に双対性があります。N = 2の場合、これは最もよく知られている双対性の形式、つまり点と直線の間の双対性に特化します。双対性の原理は、ジャン＝ヴィクトル・ポンセレによっても独立に発見されました。

双対性を確立するには、問題となっている次元の公理の双対バージョンである定理を確立するだけでよい。したがって、3 次元空間の場合、(1*) すべての点が 3 つの異なる平面上にあること、(2*) 任意の 2 つの平面が一意の直線で交わること、および (3*) の双対バージョンである次のことを示す必要がある。平面 P と Q の交点が平面 R と S の交点と同一平面上にある場合、平面 P と R、Q と S のそれぞれの交点も同様である (平面 P と S が Q と R と異なると仮定)。

実際には、双対性の原理によって、 2つの幾何学的構成の間に双対的な対応関係を確立することができます。その中でも最も有名なのは、円錐曲線（2次元の場合）または二次曲面（3次元の場合）における2つの図形の極性または相互性です。よく知られた例としては、同心球における対称多面体の相互変換によって双対多面体が得られることが挙げられます。

もう一つの例は、既に述べたパスカルの定理の双対であるブリアンションの定理であり、その証明の一つは、パスカルの定理に双対性の原理を適用するだけで済む。以下に、これら二つの定理の比較記述を示す（どちらの場合も射影平面の枠組み内）。

• パスカル：六角形の6つの頂点すべてが円錐曲線上にある場合、その対辺の交点（射影平面には「線分」という概念がないため、対辺は完全な直線とみなされる）は3つの同一直線上にある。これらの点を結ぶ直線を、その六角形のパスカル線と呼ぶ。
• ブリアンション点：六角形の6辺すべてが円錐曲線に接している場合、対角線（つまり、対向する頂点を結ぶ線）は3本の直線で交わります。これらの直線の交点を、その六角形のブリアンション点と呼びます。

（円錐曲線が2本の直線に退化する場合、パスカルの定理はパップスの定理となるが、ブリアンション点が自明に2本の直線の交点となるため、興味深い双対定理は存在しない。）

任意の幾何学は、適切な公理系から導き出すことができる。射影幾何学は、「楕円平行」公理によって特徴づけられる。すなわち、任意の2つの平面は常に1本の直線で交わる、あるいは平面上では任意の2本の直線は常に1点で交わる。言い換えれば、射影幾何学には平行線や平行平面といったものは存在しない。

射影幾何学の公理の代替案は数多く提案されている（例えば、Coxeter 2003、Hilbert & Cohn-Vossen 1999、Greenberg 2008を参照）。

3つの非共線点が与えられた場合、それらを結ぶ線は3本ですが、4つの点（3つは共線ではない）の場合は、6本の線と、それらの交点によって決まる3つの追加の「対角点」が存在します。射影幾何学は、4つの点によって生じるこの余剰を、四元関係と、完全な四角形構成を維持する射影性によって捉えます。

直線上の調和的な4点組は、完全な四角形が存在し、その対角点のうち2点が4点組の1番目と3番目の位置にあり、残りの2つの位置が、3番目の対角点を通って2つの四角形の点を結ぶ直線上の点である場合に発生します。^{[ 18 ]}

ある平面における射影構成の空間的透視性は、別の平面における同様の構成を生み出し、これは完全な四角形の構成にも当てはまります。したがって、調和四重組は透視性によって保存されます。ある透視性が別の透視性に続く場合、構成もそれに続きます。2つの透視性の合成はもはや透視性ではなく、射影性になります。

透視投影の対応する点はすべて一点に収束するが、透視投影でない射影投影ではこのような収束は成り立たない。射影幾何学では、平面上の射影投影の対応する点によって形成される直線の交点が特に重要となる。このような交点の集合は射影円錐曲線と呼ばれ、ヤコブ・シュタイナーの研究にちなんでシュタイナー円錐曲線とも呼ばれる。

点Aと点Bを中心とする 2 つの視点によって射影が形成され、中間点pによってxとXが関連付けられると仮定します。

${\displaystyle x\ {\overset {A}{\doublebarwedge }}\ p\ {\overset {B}{\doublebarwedge }}\ X.}$

射影性は${\displaystyle x\ \barwedge \ X.}$射影性を考慮すると${\displaystyle \barwedge }$誘導円錐曲線は

${\displaystyle C(\barwedge )\ =\ \bigcup \{xX\cdot yY:x\barwedge X\ \ \land \ \ y\barwedge Y\}.}$

円錐曲線Cと、その上にない点Pが与えられたとき、 P を通る2 つの異なる割線がCと 4 点で交わります。これらの 4 点は、 Pが対角点となる四角形を決定します。他の 2 つの対角点を通る線はPの極と呼ばれ、Pはこの線の極です。^{[ 19 ]}あるいは、 Pの極線は、 PとCを通る可変割線上のPの射影調和共役の集合です。

• 機械視覚のための射影幾何学 — Joe Mundy と Andrew Zisserman によるチュートリアル (コピー)。
• コクセターの『実射影平面』に基づく注釈。
• 画像解析のための射影幾何学 — ロジャー・モールとビル・トリッグスによる無料チュートリアル：PDFとHTML。
• 射影幾何学。—トム・デイビスによる無料チュートリアル。
• 射影幾何学におけるグラスマン法 チェーザレ・ブラリ＝フォルティによる、外積代数を射影幾何学に応用することに関する3つのノートのまとめ
• C. ブラリ＝フォルティ著「H. グラスマンの方法に倣った微分幾何学入門」（書籍の英訳）
• E. クンマー著「直線光線系の一般理論」（英語訳）
• M. パッシュ著「光線系の焦点面と複体の特異点面について」（英訳）