数学の問題

数学の問題とは、数学的手法を用いて表現、分析、そして場合によっては解決できる問題のことである。これは、太陽系の惑星の軌道を計算するといった現実世界の問題である場合もあれば、ヒルベルト問題のようなより抽象的な問題である場合もある。また、ラッセルのパラドックスのように、数学そのものの性質に関わる問題である場合もある。

非公式な「実世界」数学問題とは、「アダムはリンゴを5個持っていて、ジョンに3個あげました。アダムにはリンゴがいくつ残っていますか？」といった、具体的な状況に関連した問題のことです。このような問題は、解くのに必要な数学の知識があっても、 「5 − 3」のような通常の数学問題よりも解くのが難しい場合が多いです。文章問題として知られるこれらの問題は、生徒が実世界の状況と数学の抽象的な言語を結びつけることを教えるために、数学教育で用いられます。  

一般的に、現実世界の問題を解決するために数学を用いる場合、最初のステップは問題の数学モデルを構築することです。これには問題の詳細からの抽象化が伴い、モデル作成者は元の問題を数学的な問題に変換する際に、本質的な側面を失わないように注意する必要があります。数学の世界で問題が解決された後、その解決策を元の問題の文脈に再び変換する必要があります。

抽象的な数学的問題は、数学のあらゆる分野で発生する。数学者は通常、それらをそれ自体を目的として研究するが、そうすることで、数学の領域を超えて応用できる結果が得られることもある。理論物理学は、歴史的に見て、そうした問題の豊かな源泉となってきた。

古典的な幾何学におけるコンパスと定規のみを用いた円積問題や角の三等分問題、および一般の五次方程式を代数的に解く問題など、いくつかの抽象的な問題は厳密には解けないことが証明されている。また、チューリングマシンの停止問題など、いわゆる決定不能問題も解けないことが証明されている。

比較的最近解決された、よく知られた難解な抽象問題には、四色定理、フェルマーの最終定理、ポアンカレ予想などがある。

コンピュータは、数学者の動機を理解する必要なく、その役割を果たすことができる。^{[ 1 ]}形式的な定義とコンピュータで検証可能な推論は、数学科学にとって絶対的に中心となるものである。

数学教育者が評価に問題解決を用いる場合、アラン・H・シェーンフェルドが指摘したような問題が生じる。

非常に異なる問題が使われている場合、どのようにして年ごとのテストの点数を比較できるのでしょうか？（もし毎年似たような問題が使われると、教師も生徒もその問題が何であるかを覚え、生徒はそれを練習するようになります。問題は練習問題になり、テストはもはや問題解決能力を評価するものではなくなります。）^{[ 2 ]}

同じ問題は、約2世紀前にシルヴェストル・ラクロワも直面していた。

…学生同士がやり取りする可能性のある質問は多様化する必要がある。試験に不合格になったとしても、後日合格する可能性がある。したがって、質問の分布、トピックの多様性、または解答は、受験者同士を正確に比較する機会を失うリスクがある。^{[ 3 ]}

こうした問題を演習問題へと矮小化することは、歴史上の数学の特徴である。例えば、 19世紀のケンブリッジ大学数学トライポスの準備について、アンドリュー・ワーウィックは次のように書いている。

当時の標準的な問題の多くは、もともと18世紀の最も偉大な数学者たちの能力を試すものであった。^{[ 4 ]}

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• 数学ゲーム

• ニュービー、イラナ、ニュービー、グレッグ（2008年7月1日）。「ルネ・デカルト著『理性を正しく導き、科学における真理を探求する方法論』」。プロジェクト・グーテンベルク。 2019年2月13日取得。翻訳元
  • デカルト、ルネ(1637)。Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les scienses、プラス la dioptrique、les météores et la géométrie qui Sont des essais de cette メソッド(フランス語)。 Gallica - BnFデジタル ライブラリ。

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