乗算

乗算（多くの場合、十字記号 ×、中線ドット演算子⋅、並置、またはコンピュータ上ではアスタリスク *で表されます）は、加算、減算、除算とともに算術の4 つの基本的な 数学演算の 1 つです。乗算演算の結果は積と呼ばれます。

整数の乗算は、繰り返し加算と考えることができます。つまり、2 つの数の乗算は、一方の数 (被乗数)をもう一方の数 (乗数)と同じ数だけ加算することと同じです。両方の数は因数として参照できます。

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.}$

たとえば、4 を 3 倍すると、よく「3 かける 4」と書かれ、話されますが、これは 4 を 3 回足し合わせることで計算できます。 ${\displaystyle 3\times 4}$

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12.}$

ここで、3 (乗数) と 4 (被乗数)は因数であり、12 は積です。

掛け算の主な性質の 1 つは交換法則です。この場合、4 を 3 回加算すると、3 を 4 回加算するのと同じ結果になります。

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12.}$

したがって、乗数と被乗数の指定は乗算の結果に影響を与えません。^[1]

この基本定義を体系的に一般化することで、整数 (負の数を含む)、有理数 (分数)、実数の乗算が定義されます。

掛け算は、長方形に配置された物体を数えること（整数の場合）や、ある長さの辺を持つ長方形の面積を求めることとして視覚化することもできます。長方形の面積は、どの辺を最初に測定するかによって決まりません。これは交換法則の結果です。

2 つの測定値 (または物理量)の積は、新しいタイプの測定値であり、通常は派生 単位が付きます。たとえば、長方形の 2 辺の長さ (メートルまたはフィート単位) を掛けると、その面積 (平方メートルまたは平方フィート単位) が得られます。このような積は、次元解析の対象です。

掛け算の逆の演算は割り算です。たとえば、4 を 3 で掛けると 12 になるので、12 を 3 で割ると 4 になります。実際、3 を掛けて 3 で割ると元の数になります。0 以外の数をそれ自体で割ると 1 になります。

いくつかの数学的概念は、乗算の基本的な考え方を拡張したものです。数列の積、ベクトル乗算、複素数、行列はすべて、この考え方が見られる例です。これらのより高度な構成は、行列や一部の形式のベクトル乗算で非可換になることや、複素数の 符号が変わるなど、独自の方法で基本的な特性に影響を与える傾向があります。

× ⋅
掛け算記号
ユニコード ​	U+00D7 × 乗算記号( × ) U+22C5 ⋅ドット演算子( ⋅ )
異なる
異なる	U+00B7 · 中点U+002E .終止符

算術では、掛け算は項の間に乗算記号（×または）を使って書かれることが多い（つまり、中置記法）。^[2]例えば、 ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle 2\times 3=6,}$（「2 かける 3 は6です」）

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

乗算には他の数学表記法もあります。

• 乗算記号 × と共通変数xとの混同を減らすために、乗算はドット記号でも表されます。^[3]通常は中間のドット（まれにピリオド）です。${\displaystyle 5\cdot 2}$

中点表記またはドット演算子は、Unicode ではU+22C5 ⋅ DOT OPERATORとしてエンコードされ、ピリオドを小数点として使用する米国およびその他の国では現在標準となっています。ドット演算子文字がアクセスできない場合は、句読点 (·) が使用されます。小数点としてコンマを使用する他の国では、乗算にはピリオドまたは中点が使用されます。^{[引用が必要]}

歴史的に、イギリスとアイルランドでは、小数点が罫線の中で消えるのを防ぐために真ん中の点が使われることがあり、ピリオド/句点は掛け算に使われていました。しかし、 1968年に技術省が小数点としてピリオドを使うことを決定し、^[4]国際単位系（SI）標準が広く採用されて以来、この用法は現在ではランセットのような伝統的な雑誌でしか見られません。^[5]

• 代数学では、変数の乗算は、しばしば並置表記（たとえば、を倍、を 5 倍）で表され、暗黙の乗算とも呼ばれます。^{[6]この表記法は、}括弧で囲まれた数量にも使用できます（たとえば、を 、または5 倍の 2）。この暗黙の乗算の使用は、連結された変数が別の変数の名前と偶然一致する場合、括弧の前の変数名が関数名と混同される場合、または演算の順序を正しく決定できない場合に、曖昧さを引き起こす可能性があります。^{[7] [8]}${\displaystyle xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 5x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 5(2)}$${\displaystyle (5)2}$${\displaystyle (5)(2)}$
• ベクトルの乗算では、クロス記号とドット記号が区別されます。クロス記号は一般に、 2 つのベクトルの外積をとって、結果としてベクトルを生成することを表します。一方、ドット記号は、2 つのベクトルのドット積をとって、結果としてスカラーを生成することを表します。

コンピュータプログラミングでは、アスタリスク（5*2）は今でも最も一般的な表記法です。これは、歴史的にほとんどのコンピュータが乗算記号（ や など）のない小さな文字セット（ ASCIIやEBCDICなど）に制限されていたのに対し、アスタリスクはすべてのキーボードに表示されていたためです。^[要出典]この用法は、 FORTRANプログラミング言語に由来しています。^[9]⋅×

掛け算する数は、一般に「因数」（因数分解 のように）と呼ばれます。掛け算する数は「被乗数」で、掛け算される数は「乗数」です。通常、乗数が最初に置かれ、被乗数が2番目に置かれます。^[1]ただし、最初の因数が被乗数で2番目が乗数の場合もあります。^[10] また、掛け算の結果は因数の順序に依存しないため、「被乗数」と「乗数」の区別は、非常に基本的なレベルと、長乗算などの一部の掛け算アルゴリズムでのみ有用です。そのため、一部の資料では、「被乗数」という用語は「因数」の同義語と見なされています。^[11] 代数学では、変数または式の乗数である数（たとえば、の3 ）は係数と呼ばれます。 ${\displaystyle 3xy^{2}}$

掛け算の結果は積 と呼ばれます。 1 つの因数が整数の場合、積は他の因数の倍数、または他の因数の積の倍数になります。したがって、 はの倍数であり、 も同様です。整数の積は各因数の倍数です。たとえば、15 は 3 と 5 の積であり、3 の倍数であると同時に 5 の倍数でもあります。 ${\displaystyle 2\times \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$

2 つの数値の積または 2 つの数値間の乗算は、一般的な特殊なケース (自然数、整数、有理数、実数、複素数、四元数) に対して定義できます。

2 つの自然数の積は次のように定義されます。 ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

整数は、ゼロ、ゼロ以外の自然数、またはゼロ以外の自然数のマイナスのいずれかになります。ゼロと別の整数の積は常にゼロになります。2 つのゼロ以外の整数の積は、それらの正の量の積と、次の規則から導かれる符号の組み合わせによって決まります。

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}}$$(この規則は、加算に対する乗算の​​分配法則 の結果であり、追加の規則ではありません。)

言葉で言うと：

• 正の数を正の数で掛けると正の数になる（自然数の積）。
• 正の数に負の数を掛けると負の数になる。
• 負の数に正の数を掛けると負の数になる。
• 負の数に負の数を掛けると正の数になります。

2 つの分数は、分子と分母を掛け合わせることで掛け算できます。

$${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},}$$

これは の場合に定義されます。${\displaystyle n,n'\neq 0}$

実数を形式的に定義する方法はいくつかあります。実数の構成を参照してください。乗算の定義は、これらすべての定義の一部です。

これらの定義の基本的な側面は、すべての実数は有理数によって任意の精度で近似できることです。これを表現する標準的な方法は、すべての実数が有理数の集合の最小の上限であるということです。特に、すべての正の実数は、その無限小数表現の切り捨ての最小の上限です。たとえば、は${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.}$

実数の基本的な性質は、有理数近似が算術演算、特に乗算と互換性があることです。つまり、aとb が正の実数で、かつ である場合、特に、2 つの正の実数の積は、それらの 10 進表現のシーケンスの項ごとの積の最小の上限です。 ${\displaystyle a=\sup _{x\in A}x}$${\displaystyle b=\sup _{y\in B}y,}$${\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.}$

符号を変更すると最小の上限が最大の下限に変換されるため、1 つまたは 2 つの負の数を含む乗算を処理する最も簡単な方法は、上記の § 2 つの整数の積で説明した符号の規則を使用することです。4つの可能な符号構成を考慮する必要がないように、コーシー数列による実数の構成が好まれることがよくあります。

2 つの複素数は、分配法則と という事実によって次のように乗算できます。 ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

複素乗算の幾何学的な意味は、複素数を極座標で書き直すことで理解できます。

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

さらに、

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

そこから得られる

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

幾何学的な意味は、大きさが乗算され、引数が加算されることです。

2 つの四元数の積については、四元数の記事で説明されています。この場合、と は一般に異なることに注意してください。 ${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle b\cdot a}$

鉛筆と紙を使って数字を掛け算する一般的な方法の多くは、小さな数字 (通常は 0 から 9 までの任意の 2 つの数字) の積を記憶または参照した掛け算表を必要とします。ただし、農民の掛け算アルゴリズムという方法には、掛け算表は必要ありません。次の例は、「長い掛け算」(「標準アルゴリズム」、「小学校の掛け算」) を示しています。

      23958233
× 5830
———————————————
      00000000 （ = 23,958,233 × 0）
     71874699 ( = 23,958,233 × 30)
   191665864 ( = 23,958,233 × 800)
+ 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390 )

ドイツなどの一部の国では、上記の乗算は同様に表されますが、元の積は水平に保たれ、乗数の最初の桁から計算が始まります。^[12]

23958233 · 5830
———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
———————————————
   139676498390

手で小数点以下 2 桁以上の数値を掛け算するのは面倒で間違いが起こりやすい作業です。対数を足すことは掛け算と同じなので、このような計算を簡略化するために常用対数が発明されました。計算尺を使用すると、約 3 桁の精度で数値を素早く掛け算できます。20 世紀初頭から、マーチャントなどの機械式計算機が10 桁までの数値の掛け算を自動化しました。現代の電子計算機や計算機により、手作業での掛け算の必要性が大幅に減りました。

掛け算の方法は、古代エジプト、ギリシャ、インド、^[要出典]、中国文明の文献に記録されています。

紀元前18,000年から20,000年頃のイシャンゴの骨は、中央アフリカの後期旧石器時代に掛け算の知識があったことを示唆している可能性があるが、これは推測の域を出ない。^{[13] [検証が必要]}

リンド数学パピルスに記録されているエジプトの整数と分数の掛け算の方法は、連続した加算と倍数によるものでした。たとえば、13と21の積を求めるには、21を3回倍にする必要があり、2 ×21 = 42、4 ×21 = 2×42 = 84、8 × 21 = 2×84 = 168となります。倍数シーケンスにある適切な項を加算することで、完全な積を求めることができます。^[14]

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273。

バビロニア人は、現代の十進法に類似した六十進法の 位置付け記数法を使用していました。したがって、バビロニアの乗算は、現代の十進法の乗算と非常に似ています。60 × 60の異なる積を覚えるのは比較的困難だったため、バビロニアの数学者は乗算表を使用しました。これらの表は、特定の主要数nの最初の 20 の倍数のリスト( n、2 n、...、20 n ) と、それに続く 10 nの倍数(30 n、 40 n、50 n ) で構成されていました。したがって、60 進法の積 (たとえば 53 n )を計算するには、表から計算された50 nと 3 n を加算するだけで済みました。 ^{[引用が必要]}

紀元前300年以前の数学書『周壁算経』や『九章算術』では、掛け算の計算が言葉で書かれていたが、初期の中国の数学者は、位取りの加算、減算、乗算、除算を含む棒計算を採用していた。中国では、戦国時代の終わりまでに、すでに10進法の掛け算表が使用されていた。^[15]

ヒンドゥー・アラビア数字体系に基づく現代の乗算法は、ブラフマグプタによって初めて説明されました。ブラフマグプタは、加算、減算、乗算、除算の規則を示しました。当時プリンストン大学の数学教授であったヘンリー・バーチャード・ファイン氏は、次のように書いています。

インド人は位取り十進法そのものを発明しただけでなく、そのシステムで基本的な計算を行うほとんどのプロセスを発明した。彼らは足し算と引き算を今日とまったく同じように行っていた。掛け算はさまざまな方法で行っていたが、その中には我々のやり方もあった。しかし割り算は面倒なやり方だった。^[16]

これらの位取り十進法のアルゴリズムは、 9世紀初頭にアル・フワーリズミーによってアラブ諸国に導入され、 13世紀にフィボナッチによって西洋世界に普及しました。 ^[17]

グリッド方式の掛け算、またはボックス方式は、イングランドとウェールズ、および米国の一部の地域^{[どの地域]}の小学校で、複数桁の掛け算の仕組みを理解できるように教えるために使用されています。34 と 13 を掛け算する例としては、次のように数字をグリッドに並べます。

そしてエントリを追加します。

2 つのn桁の数字を乗算する古典的な方法では、 n回の²桁の乗算が必要です。大きな数を乗算するときに計算時間を大幅に短縮する乗算アルゴリズムが設計されています。離散フーリエ変換に基づく方法は、計算の複雑さをO ( n log n log log n )に削減します。2016 年には、係数log log n は、まだ一定ではないものの、はるかにゆっくりと増加する関数に置き換えられました。^{[18] 2019 年 3 月、David Harvey と Joris van der Hoeven は、複雑さが[19]}の整数乗算アルゴリズムを提示した論文を提出しました。このアルゴリズムも高速フーリエ変換に基づいており、漸近的に最適であると推測されています。^{[20]このアルゴリズムは、非常に大きな数 (} 2 ^{1729 12}ビットを超える数) を乗算する場合にのみ高速になるため、実際には役に立ちません。 ^[21]${\displaystyle O(n\log n).}$

同じ種類の量だけを意味のある形で足したり引いたりすることができますが、異なる種類の量は問題なく掛け算や割り算ができます。例えば、ビー玉が3つずつ入った袋4つは次のように考えることができます。^[1]

[4袋] × [袋あたりビー玉3個] = ビー玉12個。

2 つの測定値を掛け合わせると、その積は測定値の種類に応じた型になります。一般理論は次元解析によって与えられます。この解析は物理学で日常的に適用されますが、金融やその他の応用分野にも応用されています。

物理学における一般的な例としては、速度と時間を掛けると距離が得られるという事実があります。例:

時速50キロメートル×3時間=150キロメートル。

この場合、時間単位は相殺され、製品にはキロメートル単位のみが残ります。

単位を含む乗算の他の例としては、次のものがあります。

2.5メートル×4.5メートル=11.25平方メートル

11メートル/秒×9秒=99メートル

1軒あたり4.5人 × 20軒 = 90人

因数列の積は積の記号で表すことができる。これはギリシャ文字のΠ（パイ）に由来する（和の記号がギリシャ文字のΣ（シグマ）に由来するのとよく似ている）。 ^{[22] [23]}この表記法の意味は次のように与えられる。 ${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \sum }$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),}$

その結果

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.}$

このような表記では、変数 i は、下付き文字で示される下限値1から上付き文字で示される上限値4まで変化する、乗算インデックスと呼ばれる可変整数を表します。積は、積演算子に続く式で下限値と上限値 (境界を含む) の間の整数に乗算インデックスを代入して得られるすべての因数を掛け合わせることで得られます。

より一般的には、この表記は次のように定義される。

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

ここで、mとn は整数または整数に評価される式です。 m = nの場合、積の値は単一の因数x _mの値と同じになります。m > nの場合、因数の式に関係なく、 積は値が 1 の空の積になります。

定義上、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

すべての因数が同一である場合、 n個の因数の積は累乗に等しい。

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

乗算の 結合性と可換性は、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)}$そして

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}}$

aが負でない整数であるか、すべてが正の実数である場合、そして ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

すべてが負でない整数である場合、またはx が正の実数である場合。 ${\displaystyle a_{i}}$

無限個の項の積を考えることもできます。これらは無限積と呼ばれます。表記的には、これは上記のn を無限大記号∞ に置き換えることです。このような無限シーケンスの積は、 n が無制限に増加する 場合の最初のn項の積の極限として定義されます。つまり、

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

同様に、m を負の無限大に置き換えて定義します。

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

ただし、両方の制限が存在する場合。^[要出典]

掛け算を繰り返すと、その結果得られる演算は指数化と呼ばれます。たとえば、2の因数3つの積（2×2×2）は「2の3乗」であり、2 ³（2に上付き文字3）で表されます。この例では、2が底で、3が指数です。^[24]一般に、指数（または上付き文字）は、式の中で底が何回現れるかを示します。つまり、式

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

は、基数aのn 個のコピーを掛け合わせることを示します。この表記法は、乗算がべき乗結合法であることがわかっている場合はいつでも使用できます。

実数と複素数（自然数、整数、分数など）の場合、乗算には特定の特性があります。

交換法則

2つの数を掛け合わせる順序は重要ではない: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

結合法則

乗算または加算のみを含む式は、演算の順序に関して不変である：^{[25] [26]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

分配法則

乗算と加算に関して成立する。この恒等式は代数式を簡略化する上で最も重要である: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

アイデンティティ要素

乗法単位元は1である。1を掛けたものは何でもそれ自身になる。1のこの性質は単位元の性質として知られている。^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

0のプロパティ

任意の数を0倍すると0になる。これは乗算のゼロ特性として知られている。 ^[25]

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

否定

任意の数を-1倍すると、その数の加法逆数に等しくなります。

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$、 どこ${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1 掛ける −1 は 1 です:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

逆要素

0を除くすべての数xには逆数が存在し、となる。^[27]${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

秩序の維持

正の数による乗算では順序が維持されます。

a > 0の場合、b > cであれば、ab > acです。

負の数を掛けると順序が逆になります。

a < 0の場合、b > cであれば、ab < acです。

複素数は加算と乗算の両方と互換性のある順序を持っていない。^[28]

乗算演算を含む他の数学体系は、これらの特性をすべて備えているわけではない。例えば、乗算は一般に行列や四元数に対して可換ではない。^[25]

ジュゼッペ・ペアノは著書『算術原理、新手法解説』の中で、自然数の公理に基づいて算術の公理を提唱しました。ペアノ算術には乗算の公理が 2 つあります。

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

ここでS ( y ) はyの次の自然数、つまりy の次の自然数を表します。結合法則などのさまざまな性質は、これらと帰納法を含むペアノ算術の他の公理から証明できます。たとえば、 1で表されるS (0) は乗法単位元です。

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

整数の公理は、典型的には自然数の順序付き対の同値類として定義される。このモデルは、xとyが整数として扱われるときに、(x,y)をx−yと同値として扱うことに基づいている。したがって、 ( 0,1 )と( 1,2 )は両方とも−1と同値である。このように定義された整数の乗法公理は、

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

−1 × −1 = 1という規則は、

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

乗算は同様に有理数に拡張され、その後実数に拡張されます。^[要出典]

非負整数の積は、基数またはペアノ公理を用いた集合論で定義できます。これを任意の整数の乗算、さらに任意の有理数の乗算に拡張する方法については以下を参照してください。実数の積は有理数の積で定義されます。実数の構成を参照してください。^[29]

乗算の演算の下で、群の構造を定義する公理を満たす集合は多数あります。これらの公理は、閉包、結合性、単位元と逆元の包含です。

簡単な例として、非ゼロの有理数の集合が挙げられます。ここでは、加法のもとでの群では恒等式が通常 0 であるのに対し、有理数では 1 が恒等式です。有理数の場合、乗算のもとでは逆数がないため、ゼロを除外する必要があることに注意してください。つまり、ゼロを乗じて 1 になる有理数は存在しません。この例ではアーベル群がありますが、常にそうであるとは限りません。

これを確認するには、与えられた体上の与えられた次元の可逆正方行列の集合を考えます。ここでは、閉包性、結合性、単位行列（単位行列）と逆行列の包含を簡単に確認できます。ただし、行列の乗算は可換ではないため、この群は非可換群であることがわかります。

注目すべきもう 1 つの事実は、乗算の対象となる整数は、ゼロを除外してもグループを形成しないということです。これは、1 と -1 以外のすべての要素に逆数が存在しないことから簡単にわかります。

群論における乗算は、典型的にはドットか並列（要素間の演算記号の省略）で表記される。したがって、要素aと要素bの乗算は、 a bまたはabと表記される。集合と演算の指示によって群を参照する場合は、ドットが使用される。たとえば、最初の例は で表すことができる。^[30]${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$

数字は、数えたり（リンゴ 3 個）、順序付けたり（3 番目のリンゴ）、測ったり（高さ 3.5 フィート）することができます。数学の歴史は、指で数えることから量子力学のモデル化へと進歩しており、掛け算はより複雑で抽象的な種類の数字や、数字ではないもの（行列など）や数字に似ていないもの（四元数など）に一般化されています。

整数

${\displaystyle N\times M}$は、 NとMが正の整数であるとき、MのN個のコピーの合計である。これは、幅N、高さMの配列内のものの個数を表す。負の数への一般化は次のように行うことができる。

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$そして

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

有理数と実数に同じ符号規則が適用されます。

有理数

分数への一般化は、分子と分母をそれぞれ掛け合わせることによって行われます。これは長方形の高さと幅の面積を与え、有理数がたまたま整数である場合の配列内のものの個数と同じです。^[25]${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$

実数

実数とその積は有理数の列で定義できます。

複素数

複素数とを実数との順序付きペアとして考えると、積はとなります。これは、虚数部とがゼロの場合の実数の場合と同じです。${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

同様に、を と表記すると、^[25]${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$

あるいは三角関数の形で、 ならば、^[25]${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

さらなる一般化

上記の群論における乗法、および行列乗法などが含まれる乗法群を参照してください。乗法の非常に一般的で抽象的な概念は、環における「乗法的に表記された」（2 番目の）二項演算です。上記のいずれの数体系でもない環の例としては、多項式環があります（多項式は加算および乗算できますが、多項式は通常の意味では数ではありません）。

分割

多くの場合、除算 は逆数 による乗算と同じになります。ある種の「数」の乗算には、逆数のない対応する除算がある場合があります。整数領域では、 xに逆数「 」がない場合がありますが、定義される場合があります。除算環では逆数がありますが、非可換環では と同じである必要はないため、あいまいになる場合があります。^[要出典]${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$

• Boyer, Carl B. ( Merzbach, Uta C.により改訂) (1991).数学の歴史. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• cut-the-knotでのさまざまな数値システムでの乗算と算術演算
• 現代中国のそろばんによる掛け算のテクニック