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代数トポロジーは、抽象代数学の手法を用いて位相空間を研究する数学の一分野である。基本的な目標は、位相空間を同相写像まで分類する代数的不変量を見つけることであるが、通常はホモトピー同値まで分類することが多い。
代数トポロジーは主に代数を用いて位相的な問題を研究するが、トポロジーを用いて代数的な問題を解くことも可能である。例えば、代数トポロジーを用いれば、自由群の任意の部分群が再び自由群となることを簡便に証明できる。
代数トポロジーで研究される主な分野を以下に示します。
数学では、ホモトピー群は代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために用いられる。最初の最も単純なホモトピー群は基本群であり、空間内のループに関する情報を記録する。直感的に言えば、ホモトピー群は位相空間の基本的な形状、つまり穴に関する情報を記録する。[ 1 ]
代数トポロジーと抽象代数学において、ホモロジー（ギリシャ語のὁμός homos 「同一の」に由来）は、位相空間や群などの与えられた数学的対象にアーベル群または加群の列を関連付ける一般的な手順である。[ 1 ] [ 2 ]
ホモロジー理論と代数トポロジーにおいて、コホモロジーは、コチェイン複体から定義されるアーベル群の列を表す一般的な用語である。つまり、コホモロジーは、コチェイン、コサイクル、およびコバウンダリーの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、ホモロジーよりも洗練された代数構造を持つ位相空間に代数的不変量を割り当てる方法と見なすことができる。コホモロジーは、ホモロジーの構成の代数的双対化から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは、ホモロジー理論の鎖に「量」を割り当てるはずである。[ 1 ]
多様体とは、各点の近傍でユークリッド空間に似た位相空間のことです。例としては、平面、球面、トーラスなどがあり、これらはすべて3次元空間で実現できますが、クラインの壺や実射影平面など、3次元空間には埋め込むことはできませんが、4次元空間には埋め込むことができます。代数トポロジーにおける研究成果は、通常、多様体のグローバルな非微分可能な側面に焦点を当てています。例えば、ポアンカレ双対性などが挙げられます。
結び目理論は、数学的な結び目を研究する学問である。靴ひもやロープなど日常生活で見られる結び目に着想を得ているが、数学者の結び目は、両端が結び付けられているため解くことができないという点で異なる。厳密な数学用語で言えば、結び目は、3次元ユークリッド空間における円の埋め込みである。2 つの数学的結び目は、一方を変形によって他方に変換できる場合に同等である。それ自体に対する（環境同位体として知られる）変換。これらの変換は、結び目のある紐を切断したり、紐をそれ自体に通したりすることなく、紐を操作することに対応する。
単体複体は、点、線分、三角形、およびそれらのn次元対応物を「貼り合わせる」ことによって構築される、ある種の位相空間です(図を参照)。単体複体は、現代の単体ホモトピー理論に現れる単体集合というより抽象的な概念と混同してはなりません。単体複体の純粋に組み合わせ論的な対応物は、抽象単体複体です。[ 1 ]
CW複体は、ホモトピー理論のニーズを満たすためにJHCホワイトヘッドによって導入された位相空間の一種です。この空間クラスは単体複体よりも広範で、より優れた圏論的性質を持ちながらも、計算を可能にする組み合わせ論的な性質を保持しています（多くの場合、はるかに小さな複体で計算できます）。
この分野の古い名称は組合せトポロジーであり、空間 X がより単純な空間からどのように構築されるかに重点を置いていることを意味していました[ 3 ] (このような構築のための現代の標準ツールはCW 複体です)。1920 年代と 1930 年代には、位相空間から代数群への対応を見つけることによって位相空間を調査することに重点が置かれるようになり、その結果、名称が代数トポロジーに変更されました。[ 4 ]組合せトポロジーという名称は、空間の分解に基づくアルゴリズム的アプローチを強調するために今でも時々使用されます。[ 5 ]
代数的アプローチでは、空間の同相関係（またはより一般的にはホモトピー）を尊重する空間と群の間の対応関係が見出される。これにより、位相空間に関する命題を群に関する命題に書き換えることができ、群は扱いやすい構造を多く持ち、これらの命題の証明を容易にすることが多い。これを行う主な方法は、基本群、またはより一般的にはホモトピー理論、およびホモロジー群とコホモロジー群による2つである。基本群は位相空間の構造に関する基本的な情報を提供するが、多くの場合非可換であり、扱いが難しい場合がある。有限単体複体の基本群は有限表示を持つ。[ 1 ]
一方、ホモロジー群とコホモロジー群はアーベル群であり、多くの場合、有限生成群である。有限生成アーベル群は完全に分類されており、特に扱いやすい。
一般に、代数トポロジーの構成はすべて関手的です。圏、関手、自然変換の概念はここから生まれました。基本群、ホモロジー群、コホモロジー群は、同相な2つのトポロジー空間が同じ関連群を持つという意味で、基礎となるトポロジー空間の不変量であるだけでなく、それらの関連射も対応しています。空間の連続写像は関連群上の群準同型を誘導し、これらの準同型は写像の非存在（あるいは、より深くは存在）を示すために使用できます。
様々なタイプのコホモロジーを研究した最初の数学者の一人がジョルジュ・ド・ラームである。滑らかな多様体の微分構造は、ド・ラーム・コホモロジー、チェフ・コホモロジー、あるいは層コホモロジーを用いて、対象となる多様体上で定義された微分方程式の可解性を調べることができる。ド・ラームは、これらのアプローチはすべて相互に関連しており、閉じた向き付けられた多様体の場合、単体ホモロジーによって得られるベッティ数は、ド・ラーム・コホモロジーによって得られるベッティ数と同じであることを示した。この研究は1950年代に、サミュエル・アイレンバーグとノーマン・スティーンロッドによって一般化され、さらに発展した。彼らは、ホモロジーとコホモロジーを、特定の公理（例えば、空間の弱い同値性がホモロジー群の同型性に繋がる）に従う自然変換を備えたファンクターとして定義し、既存のすべての（コ）ホモロジー理論がこれらの公理を満たすことを確認し、そしてそのような公理化が理論を一意に特徴づけることを証明した。
代数トポロジーの古典的な応用例としては、以下のようなものがある。
