フラットモジュール

代数学において、平坦加群には自由加群、射影加群、および主イデアル整域上のねじれのない加群が含まれる。形式的には、環R上の加群Mは、 MとR上のテンソル積をとると完全列が保存される場合に平坦である。加群は、列とのテンソル積をとると完全列が得られるのが元の列が完全である場合に限り、忠実に平坦である。

平坦性は、 Jean-Pierre Serre ( 1956 )の論文「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」で導入されました。 

環R上の左加群Mは、次の条件が満たされる場合に平坦である。すべての単射線形写像に対して${\displaystyle \varphi :K\to L}$右Rモジュールのマップ

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

は単射でもある。${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$このマップは${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

この定義では、注入を制限するだけで十分です。${\displaystyle \varphi }$有限生成イデアルのRへの包含について。

言い換えれば、R加群Mは、 Mとのテンソル積が完全関手である場合に平坦である。つまり、R加群の任意の短完全列に対して、${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$シーケンス${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$も完全である。（テンソル積は右完全関手であるため、これは同等の定義である。）

これらの定義は、 Rが非可換環であり、M が左R加群である場合にも適用されます。この場合、K、L、J は右R加群でなければならず、テンソル積は一般にR加群ではなく、アーベル群のみとなります。

特徴付け

平坦性は、次の等式条件によって特徴付けられることもあります。これは 、 MにおけるRの線形関係がRにおける線形関係から生じることを意味します。

左R加群Mが平坦であるのは、すべての線形関係に対して、

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

と${\displaystyle r_{i}\in R}$そして${\displaystyle x_{i}\in M}$要素が存在する${\displaystyle y_{j}\in M}$そして ${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$^{[ 1 ]}​

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$のために${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

そして

${\textstyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad }$のために${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

これはモジュールのn個の要素を定義し、線形マップから定義することと同等です。${\displaystyle R^{n}}$このモジュールは、標準ベースをマッピングします。${\displaystyle R^{n}}$n個の要素に。これにより、前述の特徴付けを準同型写像を用いて次のように書き直すことができます。

R 加群Mが平坦であるのは、次の条件が成り立つ場合に限る。${\displaystyle f:F\to M,}$どこ${\displaystyle F}$は有限生成自由R加群であり、すべての有限生成R部分加群に対して${\displaystyle K}$の${\displaystyle \ker f,}$地図${\displaystyle f}$マップgを介して因子をフリーRモジュールに渡す${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle g(K)=0:}$

平坦性は、自由加群、射影加群、ねじれなし加群など、他の様々な加群特性と関連している。特に、すべての平坦加群はねじれなし加群であり、すべての射影加群は平坦加群であり、すべての自由加群は射影加群である。

有限生成加群の中には、平坦でありながら射影的ではないものも存在する。しかし、一般的に考慮される環においては、有限生成平坦加群はすべて射影的である。さらに、有限生成加群が平坦であるのは、それが局所的に自由である場合、すなわち素イデアルにおけるすべての局所化が自由加群である場合に限る。

これは、以下の図に部分的にまとめられています。

環準同型${\displaystyle R\to S}$S が準同型によって誘導されるモジュール構造の平坦Rモジュールである場合、 は平坦である。例えば、任意の環 R に対して、多項式環R [ t ]はR上で平坦である。

任意の乗法部分集合に対して${\displaystyle S}$可換環の${\displaystyle R}$ローカライゼーション​${\displaystyle S^{-1}R}$は平坦なR代数です(例外的な場合にのみ射影的になります)。たとえば、${\displaystyle \mathbb {Q} }$平坦で射影的ではない${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

もし${\displaystyle I}$はネーター可換環のイデアルである${\displaystyle R,}$完成​${\displaystyle {\ワイドハット {R}}}$の${\displaystyle R}$に関して${\displaystyle I}$は平坦である。^{[ 6 ]}忠実に平坦であるのは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle I}$は、ヤコブソン根号に含まれる。${\displaystyle A.}$（ザリスキー環も参照。）^{[ 7 ]}

このセクションでは、R は可換環を表します。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$はRの素イデアルであり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は、通常どおり、で表されます。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$インデックスとして。つまり、${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$そして、MがR加群である場合、${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

MがR加群である場合、以下の3つの条件は同値である。

• ${\displaystyle M}$平らな${\displaystyle R}$-モジュール;
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$平らな${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$すべての素イデアルのモジュール${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$平らな${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$すべての極大イデアルのモジュール${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

この性質は可換代数と代数幾何学において基本的であり、平坦性の研究を局所環の場合に限定する。平坦性は局所的な性質であると表現されることが多い。

モジュールが忠実に平坦であるとは、ある数列とのテンソル積を取ったときに、元の数列が完全数列である場合に限り、完全数列が得られることを意味する。この概念は必ずしも可換でない環上のモジュールに対して定義されているが、主に可換代数に対して用いられる。したがって、ここでは可換代数の場合のみを考察するが、いくつかの結果は非可換環上のモジュールの場合にも一般化できる。

このセクションでは、${\displaystyle f\colon R\to S}$は可換環の環準同型であり、${\displaystyle S}$の構造${\displaystyle R}$代数と${\displaystyle R}$-モジュール。${\displaystyle S}$は${\displaystyle R}$-モジュールフラット（または忠実にフラット）とは、一般的に次のように言われる。${\displaystyle S}$平ら（または忠実に平ら）${\displaystyle R,}$そしてそれは${\displaystyle f}$平らである（または忠実に平らである）。

もし${\displaystyle S}$平らな${\displaystyle R,}$以下の条件は同等である。

• ${\displaystyle S}$忠実に平坦です。
• 各極大イデアルについて${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$の${\displaystyle R}$1つは${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• もし${\displaystyle M}$ゼロではない${\displaystyle R}$-モジュール、次に${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• すべての素イデアルに対して${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$の${\displaystyle R,}$第一の理想がある${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$の${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}})。}$つまり、地図は${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$誘発される${\displaystyle f}$スペクトルは全射である。
• ${\displaystyle f,}$は単射であり、${\displaystyle R}$は、​${\displaystyle S;}$つまり、${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$すべての${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$[ ^{a ]​}

2番目の条件は、局所環の平坦な局所準同型が忠実に平坦であることを意味する。最後の条件から、${\displaystyle I=IS\cap R}$すべての理想のために${\displaystyle I}$の${\displaystyle R}$（取る${\displaystyle M=R/I}$特に、${\displaystyle S}$ネーター環である場合、${\displaystyle R}$ネーター的でもある。

最後から2番目の条件は、以下のように強化された形で述べることができる。${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$は沈下型であり、これはザリスキー位相が${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$は、の商位相である。${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$（これは、スキームの忠実に平坦な準コンパクト射がこの性質を持つという事実の特殊なケースです。^{[ 10 ]}）。平坦射 § 平坦射の性質も参照してください。

平坦性は、テンソル積の左導出ファンクターであるTorファンクターを用いて表現することもできます。${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$平坦であるのは、

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq 1}$よし${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle X}$). ^{[ b ]}

実際、最初の Tor 項が消滅すること、つまりMが平坦であるのは、

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

いかなる場合でも${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle N}$あるいは、さらに限定的に言えば、${\displaystyle N=R/I}$そして${\displaystyle I\subset R}$は任意の有限生成イデアルである。

Torファンクターの長完全シーケンスを用いることで、短完全シーケンスに関する事実を容易に証明することができる。

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle C}$が平らであれば、${\displaystyle B}$また、もし${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$が平らであれば、${\displaystyle A}$。 もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$平らで、${\displaystyle C}$一般的に平坦である必要はありません。ただし、${\displaystyle A}$純粋である${\displaystyle B}$そして${\displaystyle B}$平らな場合、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle C}$平らです。

モジュールのフラット解像度${\displaystyle M}$は、次の形式の決議です。

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

どこで${\displaystyle F_{i}}$これらはすべて平坦モジュールです。任意の自由分解または射影分解は必然的に平坦分解です。平坦分解はTorファンクターを計算するために使用できます。

有限平面解像度の長さは、次の条件を満たす最初の添え字nです。${\displaystyle F_{n}}$はゼロではなく、${\displaystyle F_{i}=0}$のために${\displaystyle i>n}$モジュールの場合${\displaystyle M}$有限平面解像度を許容し、すべての有限平面解像度の中で最小の長さは${\displaystyle M}$これは平面寸法と呼ばれ^{[ 14 ]}、${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$。 もし${\displaystyle M}$有限の平面解像度を許容しない場合、慣例として平面次元は無限であるとされる。例として、モジュールを考えてみよう。${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$この状況では、シーケンスの正確さが${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$中央の矢印は同型写像であることを示しており、したがって${\displaystyle M}$それ自体は平らである。^{[ c ]}

加群理論のいくつかの分野では、平坦分解は、各写像が右側の写像の核の平坦な前被覆であるという追加要件を満たさなければなりません。射影分解の場合、この条件はほとんど見えません。射影前被覆は、射影加群からの全射準同型にすぎないからです。これらの考え方は、アウスランダーの近似に関する研究から着想を得ています。これらの考え方は、各写像が右側の写像の核の射影被覆であることが要求される、より一般的な最小射影分解の概念からも馴染みがあります。しかし、一般に射影被覆が存在するとは限らないため、最小射影分解は整数環のような環上では限定的にしか役に立ちません。

加群の射影被覆は必ずしも存在するとは限らないが、一般環では、すべての加群が平坦被覆を持つ、つまり、すべての加群Mは平坦加群Fの全射像であり、平坦加群からMへのすべての写像はFを介して因数分解され、M上のFの任意の自己準同型は自己同型であると推測された。この平坦被覆予想は、Enochs ( 1981 、p. 196)で最初に明示的に述べられた。この予想は、L. Bican、R. El Bashir、E. Enochs によって同時に正に解決され、証明されたことが判明した。^{[ 15 ]}これに先立ち、P. Eklof、J. Trlifaj、J. Xu による重要な貢献があった。 

すべての環上のすべての加群に対して平坦カバーが存在するため、多くの場合、最小平坦分解は最小射影分解の代わりになります。平坦分解と射影分解の乖離の尺度は相対ホモロジー代数と呼ばれ、 Mac Lane ( 1963 )などの古典的な著作や、 EnochsとJenda ( 2000 )などの平坦分解に焦点を当てた最近の著作で扱われています。  

フラット加群は構成的数学において重要性を増しており、射影加群の有用性は低下している。例えば、すべての自由加群が射影的であることは選択公理の完全性と同等であるため、射影加群に関する定理は、構成的に証明されたとしても、必ずしも自由加群に適用できるとは限らない。対照的に、自由加群がフラットであることを証明するのに選択は必要ないため、フラット加群に関する定理は依然として適用できる。^{[ 16 ]}

• 一般的な平坦性
• 平坦な射
• フォン・ノイマン正則環–すべてのモジュールが平面である環。
• 通常フラットリング