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幾何学において、無限遠点または理想点とは、各直線の「端」にある理想化された極限点のことである。
アフィン平面（ユークリッド平面を含む）の場合、平面上の平行線束ごとに1つの理想点が存在する。これらの点を隣接させると射影平面が生成され、どの点が追加されたかを「忘れる」とすれば、どの点も区別できない。これは任意の体上の幾何学、より一般的には任意の可除環上の幾何学にも当てはまる。[ 1 ]
実際の場合、無限遠点は直線を完成させて位相的に閉じた曲線にします。高次元では、すべての無限遠点は、それらが属する射影空間全体の次元より1次元低い射影部分空間を形成します。無限遠点は複素直線（複素平面と考えることができます）にも追加でき、それによって複素射影直線C P 1と呼ばれる閉じた曲面になります。これは、各点に複素数がマッピングされる場合、リーマン球面とも呼ばれます。
双曲空間の場合、各直線には2つの異なる理想点が存在する。ここで、理想点の集合は二次曲面の形をとる。
高次元のアフィン空間またはユークリッド空間において、無限遠点とは、射影完備化を得るために空間に追加される点のことである。無限遠点の集合は、空間の次元に応じて、無限遠直線、無限遠平面、または無限遠超平面と呼ばれ、いずれの場合も次元が1つ少ない射影空間となる。[ 2 ]
体上の射影空間が滑らかな代数多様体であるように、無限遠点の集合も同様です。同様に、基礎となる体が実体または複素体である場合、無限遠点の集合は多様体となります。
双曲幾何学では、無限遠の点は通常、理想点と呼ばれます。[ 4 ]ユークリッド幾何学や楕円幾何学とは異なり、各直線には無限遠に 2 つの点があります。直線lとl上にない点Pが与えられた場合、右極限と左極限の平行線は漸近的に異なる無限遠の点に収束します。
射影平面では点と線の対称性が生じます。2 つの点が線を決定するのと同様に、2 つの線が点を決定します。平行線の存在により、これらの平行線の交点を表す無限遠点が確立されます。この公理的対称性は、平行投影が中心投影として生じ、中心 C が無限遠点、または比喩的な点となるという、グラフィカルな透視図法の研究から生まれました。 [ 5 ]点と線の公理的対称性は双対性と呼ばれます。
射影空間内の他の点と無限遠点は同等とみなされるが、射影座標による点の表現においては区別がなされる。有限点は最終座標に1が用いられるのに対し、無限遠点は0が用いられる。無限遠点を表現するには、有限点の空間に必要な座標に加えて、さらに1つの座標が必要となる。
この構成は位相空間に一般化できます。 与えられた空間に対しては異なるコンパクト化が存在する可能性がありますが、任意の位相空間はアレクサンドロフ拡張を許容します。これは、元の空間がコンパクトでない場合、一点コンパクト化とも呼ばれます。 射影直線 (任意の体上) は、対応する体のアレクサンドロフ拡張です。 したがって、円は実数直線の一点コンパクト化であり、球は平面の一点コンパクト化です。n > 1の射影空間P n は、 §アフィン幾何学で述べた理由により、対応するアフィン空間の一点コンパクト化ではありません。また、双曲空間の理想点による完備化も一点コンパクト化ではありません。