無限

無限とは、限りがなく、終わりがなく、どんな自然数よりも大きいものです。無限大は、しばしば無限大記号 で表されます。 ${\displaystyle \infty}$

古代ギリシャの時代から、無限の哲学的性質は哲学者の間で多くの議論の対象となってきた。17世紀には、無限記号^[1]と無限小微積分が導入され、数学者は無限級数や、一部の数学者（ロピタルやベルヌーイを含む）^{[2]が無限に小さい量とみなしたものを扱い始めたが、無限は終わりのないプロセスと関連付けられ続けた。数学者が}微積分の基礎に苦心していたとき、無限を数や大きさとして考えることができるかどうか、また、もしそうであるならば、どのように考えることができるかは不明のままであった。^[1] 19世紀末、ゲオルク・カントールは無限集合と無限数を研究することで無限の数学的研究を拡大し、それらが様々なサイズになり得ることを示しました。^{[1] [3]} 例えば、直線をその上の全ての点の集合として捉えた場合、その無限数（つまり直線の濃度）は整数の数よりも大きくなります。^[4]この用法では、無限は数学的概念であり、無限の数学的対象は他の数学的対象と同様に研究、操作、使用することができます。

数学的な無限の概念は、特に無限に多くの異なるサイズの無限集合を導入することによって、古い哲学的概念を洗練し拡張する。現代数学のほとんどを開発できるツェルメロ-フランケル集合論の公理の中に、無限集合の存在を保証する無限公理がある。 ^[1]数学的な無限の概念と無限集合の操作は、一見何の関係もないように見える組合せ論などの分野でも、数学で広く使用されている。例えば、フェルマーの最終定理のワイルズの証明は、初等算術で述べられている長年の問題を解決するために、暗黙のうちにグロタンディーク宇宙、つまり非常に大きな無限集合の存在に依存している^[5]。

物理学と宇宙論において、宇宙が空間的に無限であるかどうかは未解決の問題です。

古代文化では、無限の性質についてさまざまな考えがありました。古代インド人やギリシャ人は、現代数学のように厳密な形式で無限を定義せず、代わりに哲学的な概念として無限にアプローチしました。

ギリシャにおける無限の概念の最も古い記録は、ソクラテス以前のギリシャ哲学者アナクシマンドロス（紀元前610年頃 - 紀元前546年頃）のものであると考えられる。彼は「無限」、「不定」を意味し、おそらく「無限」と翻訳できる「アペイロン」という言葉を使用した。 ^{[1] [6]}

アリストテレス（紀元前350年）は、潜在的な無限と実際の無限を区別した。彼は、実際の無限はさまざまなパラドックスを生じさせる可能性があるため、不可能だとみなしていた。^[7]この見解に沿って、ヘレニズム時代のギリシャ人は「無限への恐怖」を抱いていたと主張されてきた。 ^{[8] [9]}これは、例えば、ユークリッド（紀元前300年頃）が素数が無限にあるとは言わず、「素数は割り当てられた素数の集合よりも多い」と述べた理由を説明する。^{[10]また、}素数の無限性を証明したユークリッドは「無限への恐怖を克服した最初の人物」であったとも主張されてきた。 ^{[11]ユークリッドの}平行線公理に関しても同様の論争があり、次のように翻訳されることも ある。

2本の直線が交差する直線が、同じ側に2直角未満の内角を作る場合、その2本の直線は無限に延長され、2直角未満になる側で交わる。^[12]

しかし、他の翻訳者は「2本の直線が無限に伸びると…」という翻訳を好み、^[13]ユークリッドが無限の概念に慣れていたという含意を避けています。最後に、無限についての考察は「無限への恐怖」を引き起こすどころか、初期ギリシャ哲学の根底にあり、アリストテレスの「潜在的な無限」はこの時代における一般的な傾向からの逸脱であると主張してきました。^[14]

エレアのゼノン（紀元前 495年頃 -紀元前 430年頃）は無限に関するいかなる見解も提唱しなかった。しかし、彼のパラドックス^{[15] 、特に「アキレスと亀」は、一般の概念の不十分さを明らかにした点で重要な貢献をした。そのパラドックスは}バートランド・ラッセルによって「計り知れないほど微妙で深遠」と評された^{[16] 。}

アキレスはカメと競争し、カメに先行権を与えます。

• ステップ 1: カメが前進する間に、アキレスはカメのスタート地点まで走ります。
• ステップ 2: アキレスはステップ 1 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。
• ステップ 3: アキレスはステップ 2 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。
• ステップ 4: アキレスはステップ 3 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。

等。

どうやら、アキレスが何歩進んでも亀は彼より先を進んでいるので、アキレスが亀を追い抜くことは決してないようです。

ゼノンは無限について論じようとしたのではない。運動を幻想とみなすエレア派の一員として、アキレスが走れると考えるのは間違いだと考えた。その後の思想家たちはこの解決策を受け入れられないと感じ、2000年以上もの間、この議論の弱点を見つけようと奮闘した。

最終的に、1821年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーは、 0 < x < 1に対して、満足のいく極限の定義と証明を提供した。^[17] $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

アキレスが10メートル/秒で走っていると仮定し、亀が0.1メートル/秒で歩いており、亀が100メートル先を走っているとする。追跡時間はコーシーのパターンに一致し、a = 10秒、x = 0.01である。アキレスは亀を追い越す。

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.}$

ジャイナ教の数学書『スーリヤ・プラジュナプティ』（紀元前4～3世紀頃）では、すべての数を可算数、無数数、無限数の3つの集合に分類している。それぞれはさらに3つの順序に細分化されている。^[18]

• 列挙可能: 最低、中、最高
• 数え切れないほど：ほぼ数え切れないほど、本当に数え切れないほど、そして数え切れないほど数え切れないほど
• 無限: ほぼ無限、本当に無限、限りなく無限

17世紀、ヨーロッパの数学者は無限数と無限式を体系的に使い始めました。1655年、ジョン・ウォリスは著書『円錐の断面について』^[19]で初めてそのような数の表記法を使用し、領域を幅のオーダーの無限小の帯に分割することで面積計算に利用しました。 ^[20]しかし、1656年の著書『無限の算術』 ^[21]では、無限級数、無限積、無限連分数を、いくつかの項または因数を書き留めて「&c.」を付加することで示しています。たとえば、「1、6、12、18、24、&c.」です。^[22]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

1699 年、アイザック ニュートンは、著書『De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas』で無限の項を含む方程式について書きました。^[23]

ヘルマン・ワイルは1930年に数学哲学の演説を次のように始めた。^[24]

数学は無限の科学です。

無限大記号（​​レムニスケートとも呼ばれる）は、無限の概念を表す数学記号である。この記号は、UnicodeではU+221E ∞ INFINITY（∞）^[25]、LaTeXでは^[26]としてエンコードされている。${\displaystyle \infty }$ \infty

これは1655年にジョン・ウォリスによって導入され、^{[27] [28]}導入以来、数学以外の分野でも近代神秘主義^[29]や文学象徴学^[30]に使用されてきました。

微積分の共同発明者の一人であるゴットフリート・ライプニッツは、無限数と数学におけるその利用について幅広く考察した。ライプニッツにとって、無限小と無限量はどちらも理想的な存在であり、知覚可能な量と同じ性質ではないが、連続性の法則に従って同じ特性を持っているとされた。^{[31] [2]}

実解析では、「無限大」と呼ばれる記号 は、無制限の極限 を表すために使用されます。^[32]表記は、が無制限に増加することを意味し 、 が無制限に減少することを意味します 。たとえば、任意の に対して で あれば、^[33]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(t)\geq 0}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$からまでの有限領域を囲まないことを意味する${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$下の面積が無限大であることを意味します。${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$は、下の総面積が有限であることを意味し、${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a.}$

無限は、次のように無限級数を記述するためにも使用できます。

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$無限級数の和が何らかの実数値に収束することを意味する${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$無限級数の和は、部分和が際限なく増加するという意味で、適切に無限大に発散することを意味する。 ^[34]

極限を定義することに加えて、無限大は拡張された実数系の値としても使用できます。 と で示される点は、実数の位相空間に追加することができ、実数の2 点コンパクト化を生成します。これに代数的特性を追加すると、拡張された実数が得られます。^[35]と を同じものとして扱うこともでき、実数の1 点コンパクト化、つまり実射影直線につながります。^[36]射影幾何学では、平面幾何学の無限大直線、 3 次元空間の無限大平面、および一般次元の無限大超平面も参照され、それぞれが無限大点で構成されます。^[37]${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

複素解析では、 「無限大」と呼ばれる記号 は、符号なしの無限極限を表します。この式は、の 大きさが割り当てられた値を超えて大きくなることを意味します 。ラベルの付いた点は、複素平面の1 点コンパクト化を与える位相空間として複素平面に追加できます。これが行われると、結果として得られる空間は 1 次元複素多様体、またはリーマン面であり、拡張複素平面 またはリーマン球面と呼ばれます。^[38]拡張された実数に対して上記で示したものと同様の算術演算も定義できますが、符号の区別はありません (このため、無限大をそれ自身に追加できないという唯一の例外があります)。一方、この種の無限大では、ゼロ除算、つまり任意の非ゼロ複素数による除算が可能になります。この文脈では、有理型関数を、極で の値を取るリーマン球面への写像として考えると便利なことがよくあります。複素数値関数の定義域は、無限大点も含むように拡張できます。そのような関数の重要な例の 1 つは、メビウス変換の群です(メビウス変換 § 概要を参照)。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty }$

アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる無限小計算の最初の定式化では、無限小量が使用されていました。20世紀後半には、この処理が、滑らかな無限小解析や非標準解析などのさまざまな論理システムを通じて厳密な基盤の上に置かれることが示されました。後者では、無限小は可逆であり、その逆は無限数です。この意味での無限数は超実数体の一部であり、カントル超限数の場合のように、それらの間に同値性はありません。たとえば、H がこの意味で無限数である場合、H + H = 2H と H + 1 は異なる無限数です。非標準計算へのこのアプローチは、Keisler (1986) で完全に展開されています。

「無限」の別の形は、ゲオルク・カントールが初めて開発した超限数の体系である集合論の順序無限と基数無限である。この体系では、最初の超限基数はアレフ零（ℵ ₀ ）であり、これは自然数の集合の基数である。この量的無限の現代数学的概念は、19世紀後半にカントール、ゴットロープ・フレーゲ、リヒャルト・デデキントらの研究から、集合や集合の概念を用いて発展した。^[1]

デデキントのアプローチは、基本的に、集合の大きさを比較する基準として1 対 1 対応の考え方を採用し、全体は部分と同じ大きさにはなり得ないというガリレオの見解 (ユークリッドに由来) を否定することであった。 (ただし、ガリレオのパラドックスを参照。ガリレオは、正の整数は正の平方整数の部分集合と比較できないと結論付けている。なぜなら、両方とも無限集合だからである。) 無限集合は、その適切な部分の少なくとも 1 つと同じ大きさを持つ集合として簡単に定義できる。この無限の概念は、デデキントの無限と呼ばれる。右の図は例を示している。線を点の無限集合と見なすと、下の青い線の左半分は、上の青い線に 1 対 1 でマッピングでき (緑の対応)、次に下の青い線全体にマッピングできる (赤の対応)。したがって、下の青い線全体とその左半分は同じ濃度、つまり「大きさ」を持つ。^[要出典]

カントールは、順序数と基数という2種類の無限数を定義しました。順序数は、整然とした集合、つまり、無限数がすでに数えられた後の点も含め、任意の停止点まで数え続けることを特徴とします。正の整数からの写像である有限列と（通常の）無限列を一般化すると、順序数から超限列への写像が得られます。基数は集合の大きさ、つまり集合に含まれる要素の数を定義し、特定のサイズの最初の順序数をそのサイズの基数を表すために選択することで標準化できます。最小の順序無限大は正の整数の順序数であり、整数の基数を持つ集合は可算無限大です。集合が大きすぎて正の整数と1対1に対応できない場合、それは不可算と呼ばれます。カントールの見解が広まり、現代数学は実際の無限を一貫した首尾一貫した理論の一部として受け入れています。^{[39] [40] [ページが必要]} 超実数などの特定の拡張数体系では、通常の（有限）数と異なるサイズの無限数が組み込まれています。^{[出典が必要]}

カントールの最も重要な結果の一つは、連続体の濃度は自然数の濃度よりも大きいということである。つまり、実数Rのほうが自然数Nより多いということである。つまり、カントールは であることを示した。^[41]${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle {\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

連続体仮説は、実数の濃度と自然数の濃度の間には濃度が存在しない、つまり、 であると述べています。${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

この仮説は、選択公理を仮定したとしても、広く受け入れられているツェルメロ-フランケル集合論の範囲内で証明または反証することはできない。^[42]

基数演算は、実数直線上の点の数がその直線の任意の線分の点の数に等しいことを示すだけでなく、平面上の点の数、さらには任意の有限次元空間内の点の数にも等しいことを示すために使用できます。^{[引用が必要]}

これらの結果のうち最初のものは 、例えば、区間（− ⁠π/2⁠、⁠π/2⁠ ) およびR。

2番目の結果は1878年にカントルによって証明されましたが、1890年にジュゼッペ・ペアノが空間充填曲線を導入したときに初めて直感的に明らかになりました。空間充填曲線とは、正方形、立方体、超立方体、または有限次元空間全体を埋めるのに十分なほどねじれた曲線です。これらの曲線は、正方形の1辺上の点と正方形内の点との間の1対1の対応を定義するために使用できます。^[43]

19 世紀末まで、無限は、制限なく継続できる過程という文脈以外では、幾何学ではほとんど議論されませんでした。たとえば、直線は現在では線分と呼ばれていますが、好きなだけ延長できるという条件付きですが、無限に延長することは論外です。同様に、直線は通常、無限の点から構成されるとは考えられておらず、点を配置できる場所と考えられていました。位置の選択肢が無限にあるとしても、直線上に配置できる点は有限個だけです。この証拠として、「ある特性を満たす点の軌跡」(単数形) という表現がありますが、現代の数学者は一般に「その特性を持つ 点の集合」(複数形) と言います。

実際の無限を含む数学的概念のまれな例外の 1 つに、射影幾何学があります。射影幾何学では、平行線が「無限遠で」交差する遠近法効果をモデル化するために、ユークリッド空間に無限遠点が追加されます。数学的には、無限遠点には、いくつかの特殊なケースを考慮しなくて済むという利点があります。たとえば、射影平面では、2 つの異なる線が1 つの点で交差しますが、無限遠点がなければ、平行線の交点は存在しません。したがって、平行線と非平行線は、古典幾何学では別々に研究する必要がありますが、射影幾何学では区別する必要はありません。

集合論が数学の基礎として使われる以前は、点と線は別個の実体として見られ、点は線上に位置していました。集合論が数学で広く使われるようになって、この見方は劇的に変わりました。線は現在ではその線上の点の集合として考えられ、点は線上にあるというのではなく線に属すると言われます(ただし、後者の表現は今でも使われています)。

特に、現代数学では、直線は無限集合です。

古典幾何学で現れるベクトル空間は、常に有限次元、一般には 2 次元または 3 次元を持ちます。ただし、これはベクトル空間の抽象的な定義によって暗示されるものではなく、無限次元のベクトル空間も考えられます。これは関数解析の場合に典型的であり、関数空間は一般に無限次元のベクトル空間です。

位相幾何学では、いくつかの構成によって無限次元の位相空間を生成できます。特に、反復ループ空間がこれに該当します。

フラクタルオブジェクトの構造は、拡大によって繰り返されます。フラクタルは、構造を失わずに「滑らか」になることなく、無制限に拡大できます。フラクタルは、無限の周囲を持ち、無限または有限の面積を持つことができます。無限の周囲と有限の面積を持つフラクタル曲線の 1 つに、コッホ スノーフレークがあります。^[要出典]

レオポルド・クロネッカーは、1870年代から1880年代にかけて、無限の概念と、同僚の数学者がそれをどのように使用していたかについて懐疑的でした。この懐疑主義は、構成主義と直観主義の一般的な哲学と数学の流派における数学哲学の極端な形である有限主義と呼ばれる数学の哲学で発展しました。^[44]

物理学では、実数の近似値は連続測定に使用され、自然数は離散測定（つまり計数）に使用されます。無限平面波などの無限のものの概念は存在しますが、それを生成する実験的手段はありません。^[45]

宇宙は無限であるという最初の提案は、1576年にトーマス・ディッゲスによって発表されました。^[46] 8年後の1584年、イタリアの哲学者で天文学者のジョルダーノ・ブルーノは『無限の宇宙と世界について』の中で無限の宇宙を提唱しました。「無数の太陽が存在し、無数の地球がこれらの太陽の周りを回っています。7つの惑星が太陽の周りを回っているのと似ています。これらの世界には生物が住んでいます。」^[47]

宇宙学者は長い間、私たちの物理的な宇宙に無限が存在するかどうかを発見しようと努めてきました。無限の数の星があるのでしょうか？宇宙の体積は無限でしょうか？空間は「永遠に続く」のでしょうか？これは宇宙論の未解決の問題です。無限であるという問題は、境界があるという問題とは論理的に別です。たとえば、地球の2次元表面は有限ですが、端はありません。地球の曲率に関して直線で移動することで、最終的には出発した正確な場所に戻ります。宇宙は、少なくとも原理的には、同様の位相を持っている可能性があります。そうであれば、宇宙を直線で十分長い間移動した後、最終的には出発点に戻る可能性があります。^[48]

宇宙の曲率は宇宙背景放射のスペクトルの多重極モーメントを通して測定できる。現在までにWMAP宇宙船によって記録された放射パターンの分析は、宇宙が平坦なトポロジーを持っていることを示唆している。これは無限の物理的宇宙と一致するだろう。^{[49] [50] [51]}

しかし、曲率が平坦であっても、宇宙は有限である可能性がある。これを理解する簡単な方法は、画面の一方の端から出たアイテムがもう一方の端に再び現れるビデオゲームなどの2次元の例を考えることである。このようなゲームのトポロジーはトロイダルで、幾何学は平坦である。3次元空間にも、境界のある平坦な可能性が数多く存在する。^[52]

無限の概念は多元宇宙仮説にも及び、ミチオ・カクなどの天体物理学者によって説明されると、宇宙の数と種類は無限であると仮定される。^[53]また、周期モデルは、ビッグバンの数が無限であると仮定し、その結果、無限の周期で各ビッグバンイベントの後に無限の種類の宇宙が生じるとしている。^[54]

論理学において、無限後退論とは「ある論点が（形式A）そのような論点が存在しない、または（形式B）そのような論点が存在するとしても、その論点が果たすべき役割（例えば、正当化）を欠くことになる場合に、その論点が無限論点を生成するので欠陥があることを示すことを目的とする、哲学的な種類の論点である。」^[55]

IEEE浮動小数点規格（IEEE 754）では、正と負の無限大値（および不定値）が規定されている。これらは、算術オーバーフロー、ゼロ除算、およびその他の例外的な演算の結果として定義される。^[56]

Java ^[57]やJ ^[58]などの一部のプログラミング言語では、プログラマーが言語定数として正と負の無限大値に明示的にアクセスできるようになっています。これらは、他のすべての値より大きいか小さいかを比較するため、最大要素と最小要素として使用できます。これらは、ソート、検索、またはウィンドウ処理を含むアルゴリズムの監視値として使用されます。^[要出典]

最大要素と最小要素を持たないが関係演算子のオーバーロードを許可する言語では、プログラマが最大要素と最小要素を作成することが可能です。プログラムの初期状態からそのような値に明示的にアクセスできないが、浮動小数点データ型を実装する言語では、特定の操作の結果として、無限大値にアクセスして使用できる場合があります。^{[引用が必要]}

プログラミングにおいて、無限ループとは、終了条件が満たされず、無期限に実行される ループのことです。

遠近法の芸術作品では消失点の概念が用いられ、これは数学的な無限遠点にほぼ相当し、観察者から無限の距離にある。これにより芸術家は空間、距離、形をリアルに表現した絵画を創作することができる。^[59]芸術家MCエッシャーは、このような方法や他の方法で作品に無限の概念を取り入れていることで特に知られている。^[60]

無限の盤上でプレイされるチェスのバリエーションは無限チェスと呼ばれます。^{[61] [62]}

認知科学者 ジョージ・レイコフは、数学と科学における無限の概念を比喩として考えています。この視点は、無限の基本的な比喩（BMI）に基づいており、これは常に増加するシーケンス<1、2、3、...>として定義されます。^[63]

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ウィキブックスには「無限は数ではない」というテーマの本があります。

ウィキメディア・コモンズには、 Infinityに関連するメディアがあります。

WikiquoteにInfinityに関連する引用句があります。

• 「無限」。インターネット哲学百科事典。
• BBCのIn Our TimeにおけるInfinity
• 無限集合の数学の速習講座、Wayback Machineに 2010-02-27 にアーカイブ、ピーター・サバー著。St. John's Review、XLIV、2 (1998) 1–59 より。以下のInfinite Reflectionsの独立した付録。カントールの無限集合の数学の簡潔な入門書。
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• アレフの謎：数学、カバラ、そして無限の探求
• 無限の辞書（物理学、数学、哲学における無限に関する記事の編集）