数学定数

2の平方根（ √2 、またはピタゴラス定数とも呼ばれる）は、自身を掛け合わせると2になる唯一の正の実数である。同じ性質を持つ負の数と区別するために、より正確には2の主平方根と呼ばれる。

幾何学的に、 2の平方根は、一辺の長さが1単位の正方形の対角線の長さに等しくなります。これはピタゴラスの定理から導かれます。2は無理数であり、おそらく最初に無理数として認識された数であり、代数的数でもあります。小数点以下50桁に切り捨てた数値は次のとおりです。

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694... ( OEISのシーケンスA002193 )。

あるいは、電子計算機やコンピュータが普及する以前は、2の平方根の近似値として99/70（≈ 1.41429）がよく使われていました。分母は70だけですが、正しい値との差は1/10,000（約7.2 × 10 ⁻⁵）未満です。

その単純連分数は周期的であり、次式で表されます。

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

定数π（パイ）は、ユークリッド幾何学において円周と直径の比として自然に定義されます。数学の他の多くの分野でも見られます。例えば、ガウス積分、複素数の1の根、確率におけるコーシー分布などです。しかし、その遍在性は純粋数学に限られません。物理学の多くの公式にも現れ、いくつかの物理定数はπまたはその逆数を因数分解することで最も自然に定義されます。例えば、水素原子の基底状態の波動関数は

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},}$

どこ${\displaystyle a_{0}}$はボーア半径です。

πは無理数、超越数、代数周期である。

πの数値はおよそ次の通りです。

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ( OEISのシーケンスA000796 )。

22/7と355/113という分数は非常に良い近似値を与える。

円周率πの桁数をどんどん多く暗記し、計算していくことは、世界記録への挑戦である。

オイラー数eは、指数関数的成長定数としても知られ、数学の多くの分野に登場します。その定義の一つとして、次の式の値があります。

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

定数eは指数関数と本質的に関連している${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$。

スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイは、複利においてeが生じることを発見しました。口座が1ドルから始まり、年利率Rで利息が付く場合、1年あたりの複利計算期間が無限大に近づくにつれて（連続複利と呼ばれる状況）、年末の金額はe ^Rドルに近づきます。

定数eは確率論にも応用されており、指数関数的成長とは直接関係のない形で現れます。例えば、n分の1の確率で当たるスロットマシンをn回プレイするとします。この場合、 nが大きい場合（例えば100万）、何も当たらない確率はnが無限大に近づくにつれて1/ eに近づきます。

eのもう 1 つの応用例は、ヤコブ・ベルヌーイとフランスの数学者ピエール・レイモン・ド・モンモールによって部分的に発見されたもので、帽子チェック問題としても知られる順列の問題です。^{[ 2 ]}ここでは、n人のゲストがパーティーに招待され、各ゲストはドアで執事に帽子を預け、執事はそれをラベルの付いた箱に入れます。執事はゲストの名前を知らないため、ランダムに選ばれた箱に入れなければなりません。ド・モンモールの問題は、帽子がどれも正しい箱に入れられない確率はどれくらいかということです。答えは

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

これは、nが無限大に近づくにつれて、1/ eに近づきます。

eは無理数であり、超越数である。

eの数値はおよそ次の通りです。

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... ( OEISのシーケンスA001113 )。

虚数単位または虚数単位（ iで表される）は、実数系を複素数系に拡張する数学的概念です。虚数単位の基本的な性質は、i ² = −1です。「虚数」という用語は、負の平方数を持つ（実）数が存在しないことから付けられました。

実際、−1 にはiと− iという 2 つの複素平方根があり、他のすべての実数にも (1 つの二重平方根を持つゼロを除いて) 2 つの複素平方根があります。

記号iが曖昧または問題のある状況では、jまたはギリシャ文字のイオタ( ι ) が使用されることがあります。これは特に電気工学や制御システム工学において顕著であり、 iは一般的に電流を表すために用いられるため、虚数単位はしばしばjで表されます。

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

黄金比φを含むn番目のフィボナッチ数の明示的な公式

黄金比とも呼ばれる数φは、幾何学、特に五角形の対称性を持つ図形によく現れます。実際、正五角形の対角線の長さは、その辺の長さのφ倍です。正二十面体の頂点は、互いに直交する3 つの黄金長方形の頂点です。また、再帰による成長に関連するフィボナッチ数列にも関係しています。^{[ 3 ]}ケプラーは、これが連続するフィボナッチ数の比の極限であることを証明しました。^{[ 4 ]}黄金比は、あらゆる無理数の中で最も収束の遅い連分数を持っています。 ^{[ 5 ]}そのため、ラグランジュの近似定理の最悪のケースの 1 つであり、無理数へのディオファントス近似のフルヴィッツの不等式の極値ケースです。これが、葉序（植物の成長）において黄金比に近い角度がしばしば現れる理由かもしれない。 ^{[ 6 ]}ほぼ次の値に等しい。

1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576... ( OEISのシーケンスA001622 )。

あるいは、より正確には${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

オイラー定数、またはオイラー・マスケローニ定数は、調和級数と自然対数の間の極限差として定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

これは数学、特にメルテンスの第3定理や除数関数の増大率などの数論的文脈で頻繁に現れます。ガンマ関数とその導関数、そしてゼータ関数と関係があり、これを含む多くの異なる積分や級数が存在します。${\displaystyle \gamma }$。

オイラー・マスケローニ定数は広く普及しているにもかかわらず、その性質の多くは未解明のままである。その中には、有理数か無理数か、代数的か超越数かといった主要な未解決問題も含まれる。実際、${\displaystyle \gamma }$は数学定数として説明され、「影付きで${\displaystyle \pi }$そして${\displaystyle e}$重要性において。」^{[ 7 ]}

数値${\displaystyle \gamma }$おおよそ次のようになります。

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992... ( OEISのシーケンスA001620 )。

アペリー定数は、自然数の立方数の逆数の和として定義される。$${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}\cdots }$$これはリーマンゼータ関数の特別な値です。$\displaystyle \zeta (s)$で${\displaystyle s=3}$この定数の正確な値を他の既知の定数や初等関数を用いて求める探求は、オイラーが有名なバーゼル問題を解いたときに始まった。${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$これまでのところ、そのような値は見つかっておらず、存在しないと推測されている。^{[ 8 ]}しかし、多くの表現が存在する。$\displaystyle \zeta (3)$無限級数の観点から。

アペリー定数は、量子電磁力学を用いて計算される電子の磁気回転比の2次および3次の項など、多くの物理問題に自然に現れる。^{[ 9 ]}

$\displaystyle \zeta (3)$は無理数であることが知られており、1979年にフランスの数学者ロジェ・アペリーによって証明された。しかし、それが代数的数なのか超越数なのかは分かっていない。

アペリー定数の数値はおおよそ次のとおりです。

1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44​​999 07649 86292 34049... ( OEISのシーケンスA002117 )。

カタラン定数は、奇数の平方数の逆数の交代和によって定義される。

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots }$

これはディリクレベータ関数の特別な値です。${\displaystyle \beta (s)}$で${\displaystyle s=2}$カタラン定数は組み合わせ論や数論で頻繁に現れるほか、渦巻銀河の質量分布の計算など数学以外の分野でも現れる。^{[ 10 ]}

この定数の算術的性質に関する疑問も未解決のままである。${\displaystyle G}$「おそらく最も基本的な定数であり、その非合理性と超越性は（強く疑われているものの）証明されていない」^{[ 11 ]}と呼ばれているカタラン定数には、多くの積分表現と級数表現が存在する。

この名前は、フランスとベルギーの数学者シャルル・ウジェーヌ・カタランにちなんで付けられた。

数値${\displaystyle G}$おおよそ次のようになります。

0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167... ( OEISのシーケンスA006752 )。

連続写像の反復は、動的システムのモデルの最も単純な例として機能する。^{[ 12 ]}数学物理学者ミッチェル・ファイゲンバウムにちなんで名付けられた2つのファイゲンバウム定数は、このような反復プロセスに現れる。これらは、 2次最大点を持つロジスティック写像^{[ 7 ]}とその分岐図の数学的不変量である。具体的には、定数αは、1つの分岐の幅とその2つのサブ分岐の幅の比であり、定数δは、各分岐間隔と、各周期倍分岐間の次の分岐間隔との極限比である。

ロジスティック写像は多項式写像であり、非常に単純な非線形力学方程式から混沌とした挙動が生じる典型的な例としてよく引用される。この写像は、オーストラリアの生物学者ロバート・メイによる1976年の画期的な論文^{[ 13 ]}で、ピエール・フランソワ・ヴェルフルストが最初に作成したロジスティック方程式に類似した離散時間人口モデルとして普及した。差分方程式は、繁殖と飢餓の2つの効果を捉えることを目的としている。

分岐理論におけるファイゲンバウム定数は、幾何学におけるπや微積分におけるeに類似している。どちらも無理数または超越数であるとは知られていない。しかし、それらの普遍性の証明は存在する。^{[ 14 ]}

δとαのそれぞれの近似数値は以下のとおりです。

4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576... ( OEISのシーケンスA006890 )。

2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714... ( OEISのシーケンスA006891 )。

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

リウヴィル定数は、超越数の簡単な例である。

2の平方根、リウヴィル定数、チャンパーノウン定数などの定数：

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10​​{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

これらは重要な数学的不変量ではありませんが、それぞれ無理数^{[ 16 ]}、超越数^{[ 17 ]} 、および通常の数(10 進数) ^{[ 18 ]}という特別な数の集合の単純な代表として興味深いものです。無理数の発見は通常、メタポントゥムのピタゴラス派のヒッパソスに帰せられており、彼は恐らく幾何学的に 2 の平方根の無理性を証明しました。フランスの数学者ジョゼフ・リウヴィルにちなんで名付けられたリウヴィル定数は、超越数が証明された最初の数でした。^{[ 19 ]}

コンピュータ科学のアルゴリズム情報理論の分野において、チャイティン定数は、ランダムに選択されたチューリングマシンが停止する確率を表す実数であり、アルゼンチン系アメリカ人の数学者でコンピュータ科学者のグレゴリー・チャイティンによって考案されたものです。チャイティン定数は計算可能ではありませんが、超越性と正規性を持つことが証明されています。チャイティン定数は普遍的なものではなく、チューリングマシンに使用される数値符号化方式に大きく依存しますが、その興味深い性質は符号化方式に依存しません。

定数の数値を表すには、その小数表現（または最初の数桁）を示すのが一般的です。しかし、この表現には2つの問題が生じる可能性があります。まず、有理数はすべて有限または循環の小数展開を持ちますが、無理数はそのような表現を持たないため、この方法で完全に記述することはできません。また、数の小数展開は必ずしも一意ではありません。例えば、0.999...と1の2つの表現は、同じ数を表すという意味で同等です^{[ 20 ] [ 21 ] 。}

定数の十進展開の桁数を計算することは、何世紀にもわたって一般的な作業でした。たとえば、 16 世紀のドイツの数学者ルドルフ・ファン・クーレンは、円周率の最初の 35 桁を計算することに人生の大部分を費やしました。^{[ 22 ]}コンピュータやスーパーコンピュータを使用して、π、e、および 2 の平方根を含むいくつかの数学定数は、1000 億桁を超えるまで計算されています。高速アルゴリズムが開発されており、アペリー定数のように、予想外に高速なものもあります。

${\displaystyle G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 層}}}$

クヌースの上向き矢印記法を用いて定義されたグラハム数

定数の中には、通常の定数とは大きく異なるものがあり、それらを適切に表現するために新しい表記法が考案されている。グラハム数は、クヌースの上向き矢印表記法が用いられる例である。^{[ 23 ] [ 24 ]}

統計分析を含むさまざまな研究を行うために、それらを連分数で表現することは興味深いかもしれません。多くの数学定数は解析形式を持ち、つまり、計算しやすい既知の操作を使用して構成できます。ただし、すべての定数が既知の解析形式を持つわけではありません。グロスマン定数^{[ 25 ]}とフォイアス定数^{[ 26 ]}はその例です。

定数を文字で表すことは、表記を簡潔にするための一般的な手段である。17世紀のルネ・デカルトと18世紀のレオンハルト・オイラーによって提唱された一般的な慣習は、ラテンアルファベットの最初の小文字を使用することである。${\displaystyle a,b,c,\dots }$またはギリシャ文字${\displaystyle \alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots }$一般的に定数を扱う場合。

しかし、より重要な定数については、記号がより複雑になり、追加の文字、アスタリスク、数字、レムニスケートが含まれる場合や、ヘブライ語、キリル文字、ゴート語などの異なるアルファベットが使用される場合がある。^{[ 24 ]}

エルデシュ・ボルウェイン定数${\displaystyle E_{B}}$エンブリー・トレフェセン定数$\displaystyle \beta ^{*}}$双子素数に対するブルンの定数${\displaystyle B_{2}}$チャンパーノウン定数${\displaystyle C_{b}}$基数アレフ ゼロ$\displaystyle \aleph _{0}}$

定数を表すさまざまな表記法の例

定数を表す記号が単語全体である場合もある。例えば、アメリカの数学者エドワード・カスナーの9歳の甥が、グーゴルとグーゴルプレックスという名前を考案した。^{[ 24 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}}$

その他の名称は、定数の意味（普遍放物線定数、双子素数定数など）に関連しているか、特定の人物（シェルピンスキー定数、ジョセフソン定数など）に関連しているかのいずれかである。