二次方程式の解の公式

初等代数学において、二次方程式の解の公式は、二次方程式の解を表す閉じた形式の式である。平方完成など、二次方程式を解く他の方法でも、同じ解が得られる。

一般的な二次方程式の形式が与えられている。${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$⁠、と⁠${\displaystyle x}$未知数と係数を表す${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、そして⁠${\displaystyle c}$既知の実数または複素数を表す${\displaystyle a\neq 0}$⁠、 の値⁠${\displaystyle x}$方程式を満たす根または零点と呼ばれるものは、二次方程式の解の公式を使用して求めることができます。

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$$

プラスマイナス記号「⁠${\displaystyle \pm }$「」は、この方程式が2つの根を持つことを示しています。 ^{[ 1 ]}別々に書くと、次のようになります。

$${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

数量​${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$は二次方程式の判別式として知られています^{。 [ 2 ]}係数が の場合、${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、そして⁠${\displaystyle c}$実数である場合、${\displaystyle \Delta >0}$⁠、この方程式には2つの異なる実根があります。${\displaystyle \Delta =0}$⁠、この方程式は1つの重複実根を持ち、そして⁠${\displaystyle \Delta <0}$⁠、この方程式には実根はなく、互いに複素共役である2つの異なる複素根があります。

幾何学的には、根は⁠${\displaystyle x}$二次関数のグラフが${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$放物線は、​​${\displaystyle x}$⁠ -軸: グラフの⁠${\displaystyle x}$⁠ -切片。 ^{[ 3 ]}二次方程式の公式は、放物線の対称軸を特定するためにも使用できます。 ^{[ 4 ]}

二次方程式の解の公式を導出する標準的な方法は、平方完成法を一般的な二次方程式に適用することです。${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$⁠ . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}アイデアは、方程式を次の形式に変換することです。${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$⁠いくつかの表現について⁠${\displaystyle k}$そして​​${\displaystyle s}$係数を用いて表し、両辺の平方根を取り、次に分離します。${\displaystyle x}$⁠ .

まず、方程式を二次係数で割ります。${\displaystyle a}$⁠、これは許可されています。なぜなら⁠${\displaystyle a}$はゼロではありません。その後、定数項を引きます。${\displaystyle c/a}$右側に分離するには：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$$

左辺は次の形式になります。${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx}$⁠、定数を加えることで「平方完成」できます。${\displaystyle \textstyle k^{2}}$二項式の二乗を求める${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}}$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$この例では、以下を追加します。${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$両辺に⁠を代入して、左辺を因数分解できるようにします（図を参照）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$$

左辺が平方数になったので、両辺の平方根を簡単に求めることができます。

$${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

最後に、${\displaystyle b/2a}$両側から隔離する${\displaystyle x}$二次方程式の解の公式を生成します。

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

二次方程式の解の公式は、例えば次のような様々な別の表現を用いて同等に記述することができる。

$${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$$

これは、まず二次方程式を で割ることによって導き出すことができます。${\displaystyle 2a}$⁠、結果として⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0}$そして、新しい係数を標準の二次方程式の公式に代入します。この変形では、中間的に計算された量を再利用できるため、${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$⁠、それによって計算量をわずかに減らすことができます。

二次方程式を解くための一般的な方法やアルゴリズムは、記号係数を持つ方程式に適用でき、二次方程式の解の公式と同等の閉形式の式を導出するために使用できます。代替方法は平方完成よりも簡単な場合があり、数学の他の分野への興味深い洞察をもたらす可能性があります。

二次方程式の解の公式は、実数の理想的な演算を用いる場合は完全に正しいが、近似演算を用いる場合、例えば、固定桁数の小数点まで計算する手書きの計算や、コンピュータで利用可能な浮動小数点バイナリ演算などを用いる場合は、数値表現の限界により、実装に細心の注意を払わない限り、結果が著しく不正確になる可能性がある。具体的な問題点としては、和を計算する際に発生する致命的な桁落ちなどが挙げられる。${\displaystyle \textstyle -b\pm {\sqrt {\Delta }}}$もし​​${\displaystyle \textstyle b\approx \pm {\sqrt {\Delta }}}$判別式の計算における壊滅的な計算${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$それ自体が次のような場合${\displaystyle \textstyle b^{2}\approx 4ac}$⁠ ; 式の退化の場合⁠${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、または⁠${\displaystyle c}$⁠はゼロまたは無限大として表現され、根号が正確に表現できる場合でも、非常に大きい数または小さい数を乗算または除算するとオーバーフローまたはアンダーフローが発生する可能性があります。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}

ほぼ等しい2つの数値を減算すると、壊滅的な打ち消しが発生します。それぞれの数値は独立して一定の桁数の精度で表現できますが、それぞれの数値の先頭の同じ桁が打ち消し合い、結果として相対精度が低い差が生じます。${\displaystyle \textstyle b\approx {\sqrt {\Delta }}}$⁠、評価⁠${\displaystyle \textstyle -b+{\sqrt {\Delta }}}$は壊滅的なキャンセルを引き起こし、評価も同様である。${\displaystyle \textstyle -b-{\sqrt {\Delta }}}$⁠のとき⁠${\displaystyle \textstyle b\approx -{\sqrt {\Delta }}}$標準的な二次方程式の解の公式を使用する場合、2 つの根のうちの 1 つを計算する際には必ず加算が行われ、中間計算の精度が維持されますが、もう 1 つの根を計算する際には減算が行われ、精度が損なわれます。したがって、単純に標準的な二次方程式の解の公式に従うと、予想よりも相対精度が低い結果が得られることがよくあります。残念ながら、入門代数学の教科書では、この問題は通常取り上げられていませんが、この問題は入門化学などの他の学校科目で生徒が不正確な結果を得る原因となります。^{[ 18 ]}

例えば、方程式を解こうとする場合${\displaystyle \textstyle x^{2}-1634x+2=0}$ポケット電卓を使って、二次方程式の解を求めると、${\displaystyle \textstyle x=817\pm {\sqrt {667\,487}}}$⁠は次のように概算される可能性がある： ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{1}&=817+816.998\,776\,0&&=1.633\,998\,776\times 10^{3},\\x_{2}&=817-816.998\,776\,0&&=1.224\times 10^{-3}.\end{alignedat}}}$$

計算機は各ステップで小数点以下10桁の精度を使用していたにもかかわらず、ほぼ等しい2つの数値の差を計算すると、次の結果が得られました。${\displaystyle x_{2}}$正解の数字は4桁のみ。

正確な結果を復元する一つの方法は、次の恒等式を使用することです。${\displaystyle x_{1}x_{2}=c/a}$この例では${\displaystyle x_{2}}$は次のように計算できます。${\displaystyle x_{2}=2/x_{1}={}}$⁠ ⁠${\displaystyle 1.223\,991\,125\times 10^{-3}\!}$⁠、これは10桁まで正確です。もう1つのほぼ同等の方法は、平方根を分母に持つ二次方程式の公式を使用して、根の1つを計算することです（上記の§ 分母の平方根を参照）。

二次方程式の解を求める実用的なコンピュータ実装では、一般的に、各根に対してどの公式を使用するかは、の符号に応じて選択されます。${\displaystyle b}$⁠ . ^{[ 20 ]}

これらの方法は、計算における浮動小数点指数のオーバーフローまたはアンダーフローを防ぐものではありません。${\displaystyle \textstyle b^{2}}$または​​${\displaystyle 4ac}$⁠、これにより数値的に表現可能な根が正確に計算されない可能性があります。より堅牢ですが計算コストの高い戦略は、置換から始めることです。${\displaystyle \textstyle x=-u\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}}$⁠、二次方程式を

$${\displaystyle u^{2}-2{\frac {|b|}{2{\sqrt {|a|}}{\sqrt {|c|}}}}u+\operatorname {sgn}(c)=0,}$$

どこで${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は符号関数です。${\displaystyle \textstyle d=\vert b\vert {\big /}2{\sqrt {\vert a\vert }}{\sqrt {\vert c\vert }}}$⁠、この方程式は次の形式です。${\displaystyle \textstyle u^{2}-2du\pm 1=0}$⁠、その解決策の一つは⁠${\displaystyle \textstyle u_{1}=d+{\sqrt {d^{2}\mp 1}}}$⁠そしてもう一つの解決策は⁠${\displaystyle \textstyle u_{2}=\pm 1/u_{1}}$元の方程式の根は次のようになります。${\displaystyle \textstyle x_{1}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{1}}$そして​​${\displaystyle \textstyle x_{2}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{2}}$⁠ . ^{[ 21 ] [ 22 ]}

さらに複雑なことに、平方根を2のべき乗として近似することで、コストと平方根の余分な丸めを回避しつつ、表現可能な根の指数オーバーフローを回避することができます。^{[ 17 ]}

二次方程式を解く最も初期の方法は幾何学的であった。バビロニアの楔形文字粘土板には、二次方程式を解くことに帰着する問題が含まれている。^{[ 23 ]}中王国時代（紀元前2050年～紀元前1650年）に遡るエジプトのベルリン・パピルスには、2項二次方程式の解が含まれている。^{[ 24 ]}

ギリシャの数学者ユークリッド（紀元前300年頃）は、影響力のある数学論文である『原論』第2巻で、幾何学的方法を用いて二次方程式を解いた^{[ 25 ]}。二次方程式の規則は、紀元前200年頃の中国の『九章算術』にも登場する^{[ 26 ] [ 27 ]} 。ギリシャの数学者ディオファントス（紀元250年頃）は、著書『算術』の中で、ユークリッドの幾何代数よりも代数的な方法で二次方程式を解いた^{[ 25 ]}。彼の解法は、両方の根が正であっても、1つの根しか与えない^{[ 28 ] 。}

インドの数学者ブラフマグプタは、当時の文体で書かれた著書『ブラフマスプタシッダーンタ』（紀元628年頃）の中で、二次方程式の1つの根を求める一般的な方法を記述している。 ^{[ 29 ] [ 30 ]}彼の二次方程式の解法は、${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx=c}$⁠は次のように記されていた。「絶対値に[係数]の2乗の4倍を掛け、中間項の[係数]の2乗を加える。その平方根から中間項の[係数]を引いたものを[係数]の2乗の2倍で割ったものが値である。」 ^{[ 31 ]} 現代の記法では、これは次のように書ける。${\displaystyle \textstyle x={\bigl (}{\sqrt {c\cdot 4a+b^{2}}}-b{\bigr )}{\big /}2a}$インドの数学者シュリダラ（8～9世紀）は、現在失われている代数学の著作の中で、二次方程式を解くための同様のアルゴリズムを考案し、バースカラ2世がそれを引用している。 ^{[ 32 ]}現代の二次方程式の解の公式は、インドではシュリダラチャリヤの公式、ブラジルではバースカラの公式と呼ばれることがある。 ^{[ 33 ]}

9世紀のペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは、二次方程式を代数的に解いた。^{[ 34 ]}すべての場合を網羅する二次方程式の公式は、1594年にシモン・ステヴィンによって初めて得られた。 ^{[ 35 ]} 1637年、ルネ・デカルトは、今日知られている形式の二次方程式の公式の特殊な場合を含む『幾何学』を出版した。 ^{[ 36 ]}

座標幾何学の観点から言えば、軸に沿った放物線とは、${\displaystyle (x,y)}$⁠ -座標は、次の形式の2次多項式のグラフです。${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$⁠、そこで⁠${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、そして⁠${\displaystyle c}$は実数値定数係数であり、${\displaystyle a\neq 0}$⁠ .

幾何学的には、二次方程式は点を定義します。${\displaystyle (x,0)}$グラフ上で放物線が交差する点${\displaystyle x}$⁠ -軸。さらに、それは2つの項に分けられます。

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

最初の項は対称軸、つまり線を表します。${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{2a}}}$⁠ . 第二項は、${\displaystyle \textstyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\big /}2a}$⁠ は、根が対称軸から離れている距離を示します。

放物線の頂点が にある場合${\displaystyle x}$⁠ -軸の場合、対応する方程式は対称軸上に単一の重複根を持ち、この距離項はゼロになります。代数的には、判別式は⁠${\displaystyle \textstyle b^{2}-4ac=0}$⁠ .

判別式が正の場合、頂点は⁠上にない${\displaystyle x}$軸に沿って、放物線は の方向に開きます。${\displaystyle x}$⁠軸を2回横切るので、対応する方程式は2つの実根を持ちます。判別式が負の場合、放物線は反対方向に開き、 ⁠軸を横切ることはありません。${\displaystyle x}$⁠軸であり、この方程式には実根がありません。この場合、2 つの複素数値の根は、実部が ⁠ である複素共役になります。${\displaystyle x}$対称軸の値。

定数が${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、および/または⁠${\displaystyle c}$⁠単位を持たない場合、数量は⁠${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$同じ単位を持つ必要があります。なぜなら、用語は${\displaystyle \textstyle ax^{2}}$そして​​${\displaystyle bx}$単位に合意している。同じ論理で、係数は${\displaystyle c}$⁠ は⁠と同じ単位を持つ必要があります${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$⁠、単位に関係なく⁠${\displaystyle x}$これは、物理量の二次式が正しく設定されていることを検証するための強力なツールとなり得る

• 代数学の基本定理
• ヴィエタの公式

• スミス、デイヴィッド・ユージン（1923）、『数学史』第2巻 、ボストン：ギン
• アーヴィング、ロン（2013）、『二次方程式の解を超えて』、MAA、ISBN 978-0-88385-783-0