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数値解析トピックのリスト です。
一般的な
- 検証済みの数値
- 反復法
- 収束速度— 収束シーケンスが限界に近づく速度
- 精度の順序— 微分方程式の数値解が正確な解に収束する速度
- 級数加速— 級数の収束速度を加速する方法
- エイトケンのデルタ二乗過程— 線形収束するシーケンスに最も有用
- 最小多項式外挿— ベクトルシーケンスの場合
- リチャードソン外挿
- シャンクス変換— エイトケンのデルタ二乗法に似ているが、部分和に適用される。
- ヴァン・ヴィンガルデン変換— 交代級数の収束を加速する
- アブラモウィッツとステグン— 多くの特殊関数の公式と表が掲載された本
- 数学関数のデジタルライブラリ— アブラモウィッツとステグンの著書の後継
- 次元の呪い
- 局所収束と大域収束 — 収束を得るために適切な初期推定値が必要かどうか
- スーパーコンバージェンス
- 離散化
- 差の商
- 複雑：
- 数学演算の計算複雑性
- 平滑化分析- 最悪のケースの入力に対するわずかなランダムな変動の下でのアルゴリズムの期待パフォーマンスを測定する
- 記号数値計算— 記号法と数値法の組み合わせ
- 文化的および歴史的側面:
- コンピュータによる微分方程式の数値解法の歴史
- 100 ドル、100 桁のチャレンジ問題— 2002 年にニック トレフェセンが提案した 10 の問題のリスト
- 格子QCDと数値解析に関する国際ワークショップ
- 1945年以降の数値解析のタイムライン
- メソッドの一般的なクラス:
- 選点法- 連続方程式を特定の点でのみ成立するように離散化する
- レベルセット法
- レベルセット（データ構造） — レベルセットを表すデータ構造
- sinc数値法— sinc関数、sinc( x ) = sin( x ) / xに基づく方法
- ABS方式
エラー
- 近似値
- 近似誤差
- 壊滅的なキャンセル
- 条件数
- 離散化エラー
- 浮動小数点数
- 区間演算- すべての数値を、その間に未知の数値が含まれることが保証された 2 つの浮動小数点数で表す
- 重要性の喪失
- 数値エラー
- 数値安定性
- エラーの伝播:
- 相対的な変化と差— xとyの相対的な差は| x − y | / max(| x |, | y |)です。
- 重要な数字
- スターベンツの補題
- 切り捨てエラー- 有限数のステップのみを実行することで発生するエラー
- 適切問題
- アフィン演算
基本関数と特殊関数
- 制限のないアルゴリズム
- 要約:
- カハン加算アルゴリズム
- ペアワイズ和- カハン和より少し劣るが、安価
- バイナリ分割
- 2合計
- 乗算：
- 乗算アルゴリズム- 一般的な議論、簡単な方法
- カラツバアルゴリズム— 単純な乗算よりも高速な最初のアルゴリズム
- トゥーム・クック乗算— カラツバ乗算の一般化
- シェーンハーゲ・シュトラッセンアルゴリズム- フーリエ変換に基づいており、漸近的に非常に高速
- フューラーのアルゴリズム— 漸近的にシェーンハーゲ シュトラッセンよりわずかに高速
- 除算アルゴリズム— 2つの数値の商と余りを計算する
- 長除算
- 分割の復元
- 非復元部門
- SRT部門
- ニュートン・ラプソン除算:ニュートン法を使用して D の逆数を求め、その逆数に N を掛けて最終的な商 Q を求めます。
- ゴールドシュミット部門
- 累乗:
- 逆乗アルゴリズム: 数値の逆乗 (逆数) を計算します。
- 多項式:
- ホーナー法
- エストリンのスキーム— 並列化の可能性を高めたホーナースキームの修正
- クレンショーアルゴリズム
- ドゥ・カステルジョのアルゴリズム
- 平方根とその他の根:
- 整数平方根
- 平方根を計算する方法
- n乗根アルゴリズム
- ヒポット— 関数 ( x 2 + y 2 ) 1/2
- アルファ最大プラスベータ最小アルゴリズム- hypot(x,y) を近似します
- 高速逆平方根- IEEE浮動小数点システムの詳細を使用して1 / √ xを計算します。
- 基本関数（指数関数、対数関数、三角関数）：
- 三角関数表— さまざまな作成方法
- CORDIC — アークタンジェントのテーブルを使用したシフトアンド加算アルゴリズム
- BKM アルゴリズム— 対数と複素数の表を使用したシフトと加算のアルゴリズム
- ガンマ関数:
- AGM法- 算術幾何平均を計算する。関連法は特殊関数を計算する。
- FEE法（高速E関数評価）—e xのべき級数のような級数の高速合計
- Gal の正確な表— 丸め誤差を減らすために不等間隔で関数値を表した表
- スピゴットアルゴリズム— 実数の個々の桁を計算できるアルゴリズム
- πの近似値:
- 劉慧のπアルゴリズム— πを任意の精度で計算できる最初のアルゴリズム
- ライプニッツのπ公式— 収束が非常に遅い交代級数
- ワリス積— π/2 にゆっくり収束する無限積
- ヴィエトの公式— より速く収束するより複雑な無限積
- ガウス・ルジャンドル法— 算術幾何平均に基づいてπに2乗収束する反復法
- ボルウェインのアルゴリズム— 1/πに4乗収束する反復法、およびその他のアルゴリズム
- チュドノフスキーアルゴリズム— 超幾何級数を計算する高速アルゴリズム
- ベイリー・ボーウェイン・プルーフの公式は、πの個々の16進数の桁を計算するために使用できます。
- ベラールの公式— ベイリー・ボーウェイン・プルーフの公式の高速版
- πを含む式の一覧
数値線形代数
数値線形代数— 線形代数問題に対する数値アルゴリズムの研究
基本概念
- 数値解析に現れる行列の種類:
- 行列乗算のアルゴリズム:
- シュトラッセンアルゴリズム
- コッパースミス・ウィノグラードアルゴリズム
- キャノンのアルゴリズム— 分散アルゴリズム。特に 2D グリッドに配置されたプロセッサに適しています。
- フライヴァルドのアルゴリズム— 乗算の結果をチェックするためのランダム化アルゴリズム
- 行列分解:
- 行列の分割- 与えられた行列を行列の和または差として表現する
線形方程式の解法
- ガウス消去法
- 行階段形式- 非ゼロ要素の下のすべての要素がゼロである行列
- Bareissアルゴリズム— 初期行列に整数要素がある場合にすべての要素が整数のままであることを保証する変種
- 三角行列アルゴリズム— 三角行列のガウス消去法の簡略化された形式
- LU分解- 行列を上三角行列と下三角行列の積として表す
- ブロックLU分解
- コレスキー分解— 正定値行列を持つシステムを解く
- 反復改良— 不正確な解決策をより正確なものに変える手順
- 疎行列の直接法:
- レビンソン再帰法— テプリッツ行列の場合
- SPIKE アルゴリズム— 狭帯域行列のハイブリッド並列ソルバー
- 巡回削減- 偶数または奇数の行または列を削除し、繰り返します
- 反復法:
- ヤコビ法
- ガウス・ザイデル法
- 逐次過緩和法（SOR）—ガウス・ザイデル法を加速する手法
- 対称逐次過剰緩和法(SSOR) — 対称行列に対する SOR の変形
- バックフィッティングアルゴリズム— ガウス・ザイデル法と同等の、一般化された加法モデルを適合させるために使用される反復手順
- 逐次過緩和法（SOR）—ガウス・ザイデル法を加速する手法
- 修正リチャードソン反復法
- 共役勾配法（CG）—行列が正定値であると仮定する
- 二共役勾配法（BiCG）
- 共役勾配安定化法（BiCGSTAB）—収束性に優れたBiCGの変種
- 共役残差法— CGに似ていますが、行列が対称であると仮定します。
- 一般化最小残差法（GMRES）—アーノルディ反復法に基づく
- チェビシェフ反復法- 内積は避けられるが、スペクトルの境界が必要
- ストーン法（SIP - 強力に暗黙的な手順） - 不完全なLU分解を使用する
- カツマルツ法
- プレコンディショナー
- 不完全コレスキー分解— コレスキー分解のスパース近似
- 不完全LU分解— LU分解のスパース近似
- 宇沢反復法— 鞍点問題用
- 不完全決定系と過剰決定系（解が全くないか、または複数の解を持つ系）:
- 零空間の数値計算- 不確定システムのすべての解を見つける
- ムーア・ペンローズ擬似逆行列— 最小の2-ノルム（劣決定系の場合）または最小の残差を持つ解を求める
- スパース近似- 最もスパースな解（つまり、可能な限り多くのゼロを持つ解）を見つける
固有値アルゴリズム
固有値アルゴリズム— 行列の固有値を求める数値アルゴリズム
- パワーイテレーション
- 逆反復
- レイリー商反復
- アーノルディ反復法— クリロフ部分空間に基づく
- ランチョスアルゴリズム- アーノルディ、正定値行列に特化
- ブロックランチョスアルゴリズム— 行列が有限体上にある場合
- QRアルゴリズム
- ヤコビ固有値アルゴリズム- 正確に対角化できる小さな部分行列を選択し、それを繰り返す
- ヤコビ回転— ほぼギブンズ回転の基本要素
- 複素エルミート行列に対するヤコビ法
- 分割統治法による固有値アルゴリズム
- 折り畳みスペクトル法
- LOBPCG — 局所最適ブロック前処理共役勾配法
- 固有値摂動— 行列の摂動下における固有値の安定性
その他の概念とアルゴリズム
- 直交化アルゴリズム:
- グラム・シュミット過程
- 世帯主の変革
- ハウスホルダー演算子— 一般の内積空間に対するハウスホルダー変換の類似物
- ギブンズローテーション
- クリロフ部分空間
- ブロック行列擬似逆行列
- 二重対角化
- Cuthill-McKeeアルゴリズム- 疎行列の行/列を並べ替えて狭帯域行列を生成する
- インプレース行列転置- 追加のストレージをあまり使用せずに行列の転置を計算する
- ピボット要素- アルゴリズムが集中する行列のエントリ
- 行列フリー法— 行列ベクトル積を評価することによってのみ行列にアクセスする方法
補間と近似
補間— 与えられたデータポイントを通過する関数を構築する
- 最近傍補間— 最も近い近傍の値を取得します
多項式補間
多項式補間— 多項式による補間
- 線形補間
- ルンゲ現象
- ヴァンデルモンド行列
- チェビシェフ多項式
- チェビシェフノード
- ルベーグ定数
- 補間のさまざまな形式:
- ニュートン多項式
- 相違点の分割
- ネヴィルのアルゴリズム- 補間関数を評価するためのもの。ニュートン形式に基づく
- ラグランジュ多項式
- バーンスタイン多項式— 特に近似値を求めるのに便利
- ブラフマグプタの補間公式— 7 世紀の二次補間公式
- ニュートン多項式
- 複数の次元への拡張:
- 双線形補間
- 三線補間
- バイキュービック補間
- 3次補間
- パドヴァ点—一意の多項式補間とルベーグ定数の最小増加を持つR 2の点の集合
- エルミート補間
- バーコフ補間
- アーベル・ゴンチャロフ補間
スプライン補間
スプライン補間— 区分多項式による補間
- スプライン（数学） — 補間として使用される区分多項式
- 完全スプライン- m次の導関数が±1であるm次の多項式スプライン
- 3次エルミートスプライン
- 求心性カトマル・ロムスプライン— 自己交差や尖端のない3次エルミートスプラインの特殊なケース
- 単調な三次補間
- エルミートスプライン
- ベジェ曲線
- ドゥ・カステルジョのアルゴリズム
- 複合ベジェ曲線
- より多くの次元への一般化:
- Bスプライン
- ボックススプライン— Bスプラインの多変量一般化
- 切り捨てられたべき乗関数
- De Boor のアルゴリズム— De Casteljau のアルゴリズムを一般化したもの
- 非一様有理 B スプライン(NURBS)
- Tスプライン— 制御点の列が終端となるNURBS面と考えることができる。
- コハネク・バルテルススプライン
- クーンズパッチ— 他の面を滑らかに結合するために使用される多様体パラメータ化の一種
- Mスプライン— 非負スプライン
- Iスプライン— Mスプラインに基づいて定義される単調なスプライン
- スムージングスプライン— ノイズの多いデータに滑らかに適合するスプライン
- ブロッサム（関数型） - 多項式またはスプラインに関連付けられた一意のアフィン対称マップ
- 参照:数値計算幾何学トピックのリスト
三角補間
三角関数補間— 三角多項式による補間
- 離散フーリエ変換- 等距離点における三角関数の補間として考えることができる
- 高速フーリエ変換（FFT） — 離散フーリエ変換を計算する高速な方法
- ブルースタインのFFTアルゴリズム
- ブルーンのFFTアルゴリズム
- クーリー・テューキーFFTアルゴリズム
- 分割基数 FFT アルゴリズム— 基数 2 と 4 を組み合わせた Cooley–Tukey の変形
- ゲルツェルアルゴリズム
- 素因数FFTアルゴリズム
- RaderのFFTアルゴリズム
- ビット反転順列— 多くの FFT で使用される 2 m 個のエントリを持つベクトルの特定の順列。
- バタフライダイアグラム
- 回転係数— データに掛けられる三角関数の定数係数
- 円分高速フーリエ変換- 有限体上のFFT用
- FFT を使用して有限インパルス応答フィルタによる離散畳み込みを計算する方法:
- シグマ近似
- ディリクレカーネル— 任意の関数をディリクレカーネルで畳み込むと、その三角関数補間式が得られる。
- ギブス現象
その他の補間
- 単純な有理近似
- 多項式および有理関数モデリング- 多項式補間と有理関数補間の比較
- ウェーブレット
- 逆距離重み付け
- ラジアル基底関数(RBF) — ƒ( x ) = φ (| x − x 0 |) の形式の関数
- 細分面— 区分線形補間を再帰的に細分化して構築される
- Slerp (球面線形補間) — 球面上の2点間の補間
- 一般化された四元数補間 - 2つ以上の四元数間の補間にslerpを一般化します
- 無理数基数離散重み付け変換
- ネヴァンリンナ・ピック補間— 境界を条件とする単位円板上の解析関数による補間
- ピック行列— この行列が半正定値であれば、ネヴァンリンナ・ピック補間は解を持つ。
- 多変量補間- 補間される関数は複数の変数に依存する
近似理論
- 近似の順序
- ルベーグの補題
- 曲線フィッティング
- 連続係数— 関数の滑らかさを測る
- 最小二乗法（関数近似） - L 2ノルムの誤差を最小化する
- ミニマックス近似アルゴリズム- 区間内の最大誤差を最小化する（L∞ノルム）
- 等振動定理— L∞ノルムにおける最良の近似を特徴付ける
- 非溶媒点集合- 与えられた関数空間からの関数は、そのような点集合上の値によって一意に決定される。
- ストーン・ワイエルシュトラスの定理- 連続関数は多項式または他の特定の関数空間によって一様に近似できる
- 多項式による近似:
- 線形近似
- ベルンシュタイン多項式— 関数を近似するのに便利な多項式の基数
- ベルンシュタイン定数— | x | を多項式で近似するときの誤差
- Remezアルゴリズム— L∞ノルムにおける最良の多項式近似を構築するためのアルゴリズム
- ベルンシュタインの不等式（数学的解析） — 単位円における多項式の導関数の最大値の境界
- メルゲリアンの定理— ストーン・ワイエルシュトラスの定理の多項式に対する一般化
- ミュンツ・サースの定理— いくつかの係数がゼロになる必要がある場合の多項式に対するストーン・ヴァイエルシュトラスの定理の変形
- ブランブル・ヒルベルトの補題—多次元における多項式近似のL p誤差の上限
- 離散チェビシェフ多項式— 離散測度に関して直交する多項式
- ファヴァールの定理- 適切な3項再帰関係を満たす多項式は直交多項式である
- フーリエ級数/三角多項式による近似:
- ジャクソンの不等式— 三角多項式による最良近似の上限
- バーンスタインの定理（近似理論） —ジャクソンの不等式の逆
- フェイエルの定理- フーリエ級数の部分和のチェザロ平均は連続周期関数に対して一様収束する
- エルデシュ・トゥラン不等式— フーリエ係数による確率とルベーグ測度間の境界距離
- ジャクソンの不等式— 三角多項式による最良近似の上限
- 異なる近似値:
- 移動最小二乗法
- パデ近似値
- パデ表— パデ近似値の表
- ハートッグス・ローゼンタール定理- 連続関数はルベーグ測度零点の集合上の有理関数によって一様に近似できる
- Szász–Mirakyan 演算子—半無限区間でのe − n x kによる近似
- サーシュ＝ミラジャン＝カントロヴィッチのオペレーター
- バスカコフ演算子— バーンスタイン多項式、サース・ミラキアン演算子、およびルパス演算子を一般化する
- ファヴァール演算子— ガウス分布の和による近似
- 代理モデル- 応用: 評価が難しい関数をより単純な関数に置き換える
- 構成関数理論— 近似度と滑らかさの関係を研究する分野
- 普遍微分方程式— 解が任意の連続関数を近似できる微分代数方程式
- フェケテ問題-ある種のエネルギーを最小化する球面上のN点を見つける
- カールマンの条件— 測度がそのモーメントによって一意に決定されることを保証する条件
- クラインの条件— 指数和が重み付き L 2空間で稠密であるという条件
- レサジー定理— 距離空間内の点と部分空間の列のメンバーとの距離について
- ヴィルティンガーの表現と射影の定理
- ジャーナル:
その他
- 外挿
- 線形予測分析- 線形外挿
- 一意解関数— 補間問題が一意に解ける関数
- 回帰分析
- 曲線フィッティング圧縮
- 補間（コンピュータグラフィックス）
非線形方程式の根を求める
- 線形方程式については#数値線形代数を参照
根探索アルゴリズム— 方程式f ( x ) = 0 を解くアルゴリズム
- 一般的な方法:
- 二分法- シンプルで堅牢、線形収束
- Lehmer-Schur アルゴリズム— 複素関数の変形
- 固定小数点反復
- ニュートン法- 現在の反復の周りの線形近似に基づく; 二次収束
- カントロヴィッチ定理- ニュートン法が収束する解の周りの領域を与える
- ニュートンフラクタル- ニュートン反復法でどの初期条件がどの根に収束するかを示します。
- 準ニュートン法— ヤコビアンの近似値を使用します。
- ブロイデン法- ヤコビ行列のランク1更新を使用する
- 対称ランク1 - 対称（ただし必ずしも正定値ではない）のヤコビ行列のランク1更新
- ダビドン・フレッチャー・パウエル公式— 行列が正定値のままであるヤコビ行列の更新
- Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shannoアルゴリズム— 行列が正定値のままであるヤコビ行列の2階更新
- メモリ制限型 BFGS法 — 大規模な問題に適した、BFGS 法の切り捨て型、行列フリーの変種
- ステフェンセン法- 微分法の代わりに差分法を使用する
- セカント法— 最後の2回の反復における線形補間に基づく
- 偽位置法- 二分法のアイデアを取り入れた割線法
- ミュラー法— 最後の3回の反復における二次補間に基づく
- シディの一般化セカント法— セカント法の高次変形
- 逆2次補間- ミュラー法に似ているが、逆補間を行う。
- ブレント法- 二分法、割線法、逆二次補間を組み合わせたもの
- リダーズ法- 線形関数と指数関数を2回の反復とその中間点に当てはめる
- ハレー法- f、f ' 、f '' を使用し、3次収束を達成する。
- ハウスホルダー法- 1次d導関数を使用してd + 1次を達成する。ニュートン法とハレー法を一般化する。
- 二分法- シンプルで堅牢、線形収束
- 多項式のメソッド:
- アバース法
- ベアストウ法
- デュラン・ケルナー法
- グラーフ法
- ジェンキンス・トラウブアルゴリズム— 高速で信頼性が高く、広く使用されている
- ラゲール法
- 分割円法
- 分析：
- 数値継続- 方程式の1つのパラメータが変化するにつれて根を追跡する
最適化
数学的最適化— 与えられた関数の最大値または最小値を見つけるアルゴリズム
基本概念
- アクティブセット
- 候補ソリューション
- 制約（数学）
- コーナーソリューション
- 実行可能領域- 制約を満たすが最適ではない可能性のあるすべてのソリューションが含まれます。
- 全体最適と局所最適
- 最大値と最小値
- スラック変数
- 継続的な最適化
- 離散最適化
線形計画法
線形計画法（整数計画法も扱う） — 目的関数と制約は線形である
- 線形計画法のアルゴリズム:
- シンプレックスアルゴリズム
- ブランドの規則— 単体法における循環を避ける規則
- クレー・ミンティ立方体- 摂動型（超）立方体。単体法はこのような領域では指数関数的な複雑性を持つ。
- 交差アルゴリズム— 単体アルゴリズムに似ている
- Big M メソッド— 「より小さい」と「より大きい」の両方の制約がある問題に対する単体アルゴリズムのバリエーション
- 内点法
- 列生成
- k ヒット セットの k 近似— 特定の LP 問題に対するアルゴリズム (重み付きヒット セットを見つけるため)
- シンプレックスアルゴリズム
- 線形相補性問題
- 分解:
- 基本解（線形計画法） - 実行可能領域の頂点における解
- フーリエ・モツキン消去法
- ヒルベルト基底（線形計画法） — 凸錐内の整数ベクトルの集合。この集合は錐内のすべての整数ベクトルを生成する。
- LP型の問題
- 線形不等式
- 頂点列挙問題- 実行可能な集合のすべての頂点をリストする
凸最適化
- 二次計画法
- 線形最小二乗法（数学）
- 合計最小二乗法
- フランク・ウルフアルゴリズム
- 逐次最小最適化- 大きなQP問題を可能な限り小さな一連のQP問題に分割します。
- 双線形計画法
- 基底追求-線形制約の下でベクトルの
L 1ノルムを最小化する
- 基底追求ノイズ除去（BPDN） — 基底追求の正規化バージョン
- インクラウドアルゴリズム— 基底追跡ノイズ除去を解決するアルゴリズム
- 基底追求ノイズ除去（BPDN） — 基底追求の正規化バージョン
- 線形行列不等式
- 円錐最適化
- 半正定値計画法
- 2次コーンプログラミング
- 二乗和最適化
- 二次計画法（上記参照）
- ブレグマン法— 厳密に凸な最適化問題に対する行アクション法
- 近似勾配法- 目的関数を微分不可能な部分の合計に分割する
- 劣勾配法— 微分不可能な目的関数を持つ問題に対する最急降下法の拡張
- 双凸最適化- 目的関数と制約セットが双凸になる一般化
非線形計画法
非線形計画法— 通常の枠組みにおける最も一般的な最適化問題
- 非線形計画法の特殊なケース:
- 上記の線形計画法と凸最適化を参照
- 幾何計画法— シグノミアルまたはポシノミアルを含む問題
- シグノミアル— 多項式に似ていますが、指数は整数である必要はありません。
- Posynomial — 正の係数を持つシグノミアル
- 二次制約二次計画法
- 線形分数計画法- 目的は線形関数の比であり、制約は線形である
- 分数計画法- 目的は非線形関数の比、制約は線形
- 非線形相補性問題（NCP）— x ≥ 0、f ( x ) ≥ 0、x T f ( x ) = 0となるxを求める
- 最小二乗法- 目的関数は二乗和である
- 非線形最小二乗法
- ガウス・ニュートン法
- BHHH アルゴリズム— 計量経済学におけるガウス・ニュートン法の変形
- 一般化ガウス・ニュートン法— 制約付き非線形最小二乗問題用
- レーベンバーグ・マルカートアルゴリズム
- 反復再加重最小二乗法（IRLS）—各反復で加重最小二乗法問題を解きます。
- 部分最小二乗法— 主成分分析に似た統計手法
- 非線形反復部分最小二乗法(NIPLS)
- 均衡制約を伴う数理計画法- 制約には変分不等式や相補性が含まれる
- 単変量最適化:
- 一般的なアルゴリズム:
- コンセプト:
- 勾配法— 勾配を探索方向として使用する方法
- 勾配降下法
- ランドウェーバー反復法— 主に不適切設定問題に使用される
- 逐次線形計画法（SLP） - 問題を線形計画法の問題に置き換え、それを解き、それを繰り返す
- 逐次二次計画法（SQP）—問題を二次計画法の問題に置き換え、それを解き、それを繰り返す
- 最適化におけるニュートン法
- 非線形方程式の解を求めるセクションのニュートンアルゴリズムも参照してください。
- 非線形共役勾配法
- 導関数を使わない方法
- 拡張ラグランジアン法- 制約付き問題を、目的関数に項を追加した制約なしの問題に置き換える
- 三元検索
- タブー検索
- ガイド付きローカル検索- 検索中にペナルティを蓄積する検索アルゴリズムの修正
- リアクティブ検索最適化（RSO）—アルゴリズムはパラメータを自動的に適応させます
- MMアルゴリズム- 主要化最小化、幅広い手法の枠組み
- 最小絶対偏差
- 最近傍探索
- 空間マッピング- 「粗い」（理想的または低忠実度）モデルと「細かい」（実際的または高忠実度）モデルを使用します
最適制御と無限次元最適化
- ポンチャギンの最小原理— ラグランジュ乗数の無限次元版
- コステート方程式— ポンチャギンの最小原理における「ラグランジュ乗数」の方程式
- ハミルトニアン（制御理論） - 最小原理によれば、この関数は最小化されるべきである。
- 問題の種類:
- 線形二次レギュレータ- システムダイナミクスは線形微分方程式であり、目的は二次方程式である
- 線形2次ガウス制御（LQG）—システムダイナミクスは加法ノイズを伴う線形SDEであり、目的は2次である
- 最適射影方程式- LQG制御問題の次元を削減する方法
- 代数リカッチ方程式— 多くの最適制御問題で現れる行列方程式
- バンバン制御— 2つの状態を突然切り替える制御
- コベクターマッピング原理
- 微分動的計画法- ダイナミクスとコスト関数の局所二次モデルを使用する
- DNSS ポイント— 複数の最適解を持つ特定の最適制御問題の初期状態
- ルジャンドル・クレプシュ条件— 最適制御問題を解くための2次条件
- 擬似スペクトル最適制御
- ベルマン擬スペクトル法— ベルマンの最適性原理に基づく
- チェビシェフ擬スペクトル法- チェビシェフ多項式（第1種）を使用する
- フラット擬似スペクトル法- ロス・ファールー擬似スペクトル法と微分フラットネス法を組み合わせたもの
- ガウス擬スペクトル法- ルジャンドル・ガウス点における共点配置を使用する
- ルジャンドル擬スペクトル法- ルジャンドル多項式を使用する
- 擬スペクトルノッティング法— 最適制御における擬スペクトル法の一般化
- ロス・ファールー擬スペクトル法— チェビシェフ、ルジャンドル、ノッティングを含む擬スペクトル法のクラス
- ロス・ファールーの補題— 離散化と双対演算を可換にする条件
- ロスのπ補題- 制御性と安定性のために制御解を計算する必要がある基本的な時間定数がある
- Sethi モデル— 最適制御問題モデリング広告
- 半無限計画法- 変数の数が無限で制約の数が有限、またはその逆
- 形状最適化、トポロジー最適化（領域集合の最適化）
- 位相微分— 形状の変化に関する微分
- 一般化半無限計画法- 変数の数は有限、制約の数は無限
不確実性とランダム性
- 不確実性に対処するためのアプローチ:
- ランダム最適化アルゴリズム:
- ランダム検索- 現在の反復の周りのボール内の点をランダムに選択します
- シミュレーテッドアニーリング
- 適応型シミュレーテッドアニーリング— 計算中にアルゴリズムパラメータが調整されるバリエーション。
- 大洪水アルゴリズム
- 平均場アニーリング— シミュレーテッドアニーリングの決定論的変種
- ベイズ最適化- 目的関数をランダム関数として扱い、その上に事前確率を配置する
- 進化アルゴリズム
- 差異的進化
- 進化的プログラミング
- 遺伝的アルゴリズム、遺伝的プログラミング
- MCACEA (Multiple Coordinated Agents Coevolution Evolutionary Algorithm) — 各エージェントに進化アルゴリズムを使用する
- 同時摂動確率近似（SPSA）
- ルース・ヤコラ
- 粒子群最適化
- 確率的トンネル
- ハーモニーサーチ— ミュージシャンの即興演奏のプロセスを模倣
- モンテカルロ法のセクションも参照
理論的側面
- 凸解析— t ∈ [0,1] に対してf ( tx + (1 − t ) y ) ≥ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y )となる関数f
- 二重性（最適化）
- 弱い双対性- 双対解は主解に上限を与える
- 強い二重性- 主解と二重解は同等である
- 影の価格
- デュアルコーンとポーラーコーン
- 二重性ギャップ— 主解と二重解の違い
- フェンチェルの双対定理— 凸共役の最小化問題と最大化問題を関連付ける
- 摂動関数— 主問題と双対問題に関連する関数
- スレーターの条件— 凸最適化問題において強い双対性が成立するための十分条件
- 全双対整数性— 整数線形計画法の双対性の概念
- ウルフ双対性— 目的関数と制約が微分可能な場合
- ファルカスの補題
- カルーシュ・キューン・タッカー条件（KKT）—解が最適となるための十分な条件
- フリッツ・ジョン条件— KKT条件の変種
- ラグランジュ乗数
- 半連続性
- 相補性理論— ⟨ u , v ⟩ = 0
の形式の制約を持つ問題の研究
- 混合補完性問題
- 混合線形相補性問題
- レムケのアルゴリズム— (混合)線形相補性問題を解く方法
- 混合補完性問題
- ダンスキンの定理— ミニマックス問題の解析に使用される
- 最大値定理- 最大値と最大化器は、ある条件下ではパラメータの関数として連続している
- 検索と最適化にはタダ飯はない
- 緩和（近似） - 制約を緩和することで、与えられた問題をより簡単な問題に近似すること
- 自己一致機能
- 削減コスト- 変数を少し増やすためのコスト
- 近似の難しさ- 近似解を得るための計算の複雑さ
アプリケーション
- 幾何学では:
- 統計では：
- 自動ラベル配置
- 圧縮センシング- 信号がスパースか圧縮可能かという知識から信号を再構築する
- 在庫問題を切り詰める
- 需要の最適化
- 目的地ディスパッチ- エレベーターのディスパッチを最適化する技術
- エネルギー最小化
- エントロピー最大化
- 高度に最適化された許容範囲
- ハイパーパラメータの最適化
- 在庫管理の問題
- 線形計画法のデコード
- 線形探索問題- 線に沿って移動しながら線上の点を見つける
- 低ランク近似- 最善の近似値を見つける。制約は、ある行列のランクが指定された数より小さいことである。
- メタ最適化— 最適化手法におけるパラメータの最適化
- 多分野にわたる設計最適化
- 最適な計算予算の割り当て- 最適な決定を見つけるための全体的なシミュレーション効率を最大化します
- 紙袋問題
- プロセス最適化
- 再帰的経済学- 個人は時間の経過とともに一連の 2 期間の最適化決定を行います。
- スティグラーダイエット
- スペース割り当ての問題
- ストレスのメジャー化
- 軌道最適化
- 輸送理論
- 翼形状の最適化
その他
- 組み合わせ最適化
- 動的プログラミング
- グローバル最適化:
- 多目的最適化- 複数の相反する目的がある
- 二水準最適化- ある問題が別の問題に埋め込まれている問題を研究する
- 最適なサブ構造
- ダイクストラの射影アルゴリズム- 2つの凸集合の交点を見つける
- アルゴリズムの概念:
- 最適化のためのテスト関数:
- ローゼンブロック関数— バナナ型の谷を持つ2次元関数
- ヒンメルブラウ関数— 2次元で4つの極小値を持ち、次のように定義される。
- ラストリジン関数— 多くの極小値を持つ 2 次元関数
- シェケル関数— 多峰性および多次元性
- 数理最適化学会
数値積分
数値積分— 積分の数値評価
- 長方形法- （区分的）定数近似に基づく一次法
- 台形法— （区分的）線形近似に基づく2次法
- シンプソンの法則— （区分的）二次近似に基づく4次法
- ブールの法則- 等距離の5点の値に基づく6次法
- ニュートン・コーツの公式- 上記の方法を一般化する
- ロンバーグ法- リチャードソン外挿法を台形則に適用
- ガウス積分法— 与えられた点の数で可能な最高次数
- チェビシェフ・ガウス積分法— [−1, 1]上の重み(1 − x 2 ) ±1/2の積分に対するガウス積分法の拡張
- ガウス・エルミート積分法— [−∞, ∞]上の重みexp(− x 2 )を持つ積分に対するガウス積分法の拡張
- ガウス・ヤコビ積分法— [−1, 1]上の重み(1 − x ) α (1 + x ) βを持つ積分に対するガウス積分法の拡張
- ガウス・ラゲール積分法— [0, ∞]上の重みexp(− x )を持つ積分に対するガウス積分法の拡張
- ガウス・クロンロッド積分公式— ガウス積分に基づくネストされた規則
- ガウス・クロンロッド則
- Tanh-sinh 積分法— 端点の特異点にうまく対応したガウス積分法の変形
- クレンショウ・カーティス積分法— チェビシェフ多項式による積分関数の展開に基づく
- 適応積分法- 積分対象に応じて積分区間を分割する部分区間を適応させる
- モンテカルロ積分— 被積分関数のランダムサンプルを取る
- #モンテカルロ法も参照
- 量子化状態システム法（QSS） — 状態量子化の考え方に基づく
- レベデフ積分法- 八面体対称の球面上のグリッドを使用する
- スパースグリッド
- クープマン近似
- 数値微分— 分数階積分の場合
- オイラー・マクローリンの公式
常微分方程式の数値解析法
常微分方程式の数値解法— 常微分方程式 (ODE) の数値解法
- オイラー法— 常微分方程式を解く最も基本的な方法
- 明示的方法と暗黙的方法- 暗黙的方法では各ステップで方程式を解く必要がある
- 後退オイラー法— オイラー法の暗黙的な変形
- 台形則- 2次陰解法
- ルンゲ・クッタ法— 初期値問題に対する2つの主要な方法の1つ
- 中点法— 2段階の2次法
- Heun 法— 2 段階の 2 次法、または 3 段階の 3 次法
- ボガッキ・シャンピン法— 4段階の3次法（FSAL）と4次法を組み込んだ方法
- キャッシュ・カープ法— 6段階の5次法と4次法を組み込んだ方法
- ドルマン・プリンス法— 7段階の5次法（FSAL）と4次法を組み込んだ方法
- ルンゲ・クッタ・フェルベルグ法— 6段階の5次法と4次法を組み込んだ方法
- ガウス・ルジャンドル法— ガウス積分法に基づく最適順序のA安定法のファミリー
- ブッチャーグループ— ルンゲ・クッタ法を解析するための根付き木を含む代数形式
- ルンゲ・クッタ法の一覧
- 線形多段階法— 初期値問題に対するもう一つの主要な手法
- 一般線形法— 線形多段階法とルンゲ・クッタ法を包含する一群の手法
- Bulirsch-Stoerアルゴリズム- 中点法とリチャードソン外挿法を組み合わせて任意の順序を実現する
- 指数積分器- 常微分方程式を、正確に解ける線形部分と非線形部分に分割することに基づく
- 古典物理学の常微分方程式を解くために設計された方法:
- ニューマークベータ法— 拡張平均値定理に基づく
- ベルレ積分— よく使われる2次法
- リープフロッグ統合— ヴェルレ統合の別名
- ビーマンのアルゴリズム— ヴェルレ法を拡張した2段階法
- ダイナミックリラクゼーション
- 幾何積分法— 方程式の幾何構造を保存する方法
- シンプレクティック積分法— シンプレクティック構造を保存するハミルトン方程式の解法
- エネルギードリフト- 保存されるべきエネルギーが数値誤差によって流れ去る現象
- 初期値問題 (IVP) の他の方法:
- 2点境界値問題（BVP）を解く方法：
- 微分代数方程式 (DAE)、つまり制約付きの ODE を解く方法:
- 制約アルゴリズム- 制約付きニュートン方程式を解く
- パンテリデスアルゴリズム— DEAのインデックスを減らす
- 確率微分方程式（SDE）を解く方法：
- オイラー・丸山法— SDE に対するオイラー法の一般化
- ミルシュタイン法— 強い順序を持つ方法
- ルンゲ・クッタ法 (SDE) — SDE に対するルンゲ・クッタ法の一般化
- 積分方程式を解く方法:
- ニストローム法- 積分を求積法に置き換える
- 分析：
- 打ち切り誤差（数値積分） - 局所的および全体的な打ち切り誤差、およびそれらの関係
- ウィンダミア夫人の扇（数学） — 局所的および大域的切断誤差に関する望遠鏡的同一性
- 打ち切り誤差（数値積分） - 局所的および全体的な打ち切り誤差、およびそれらの関係
- 硬い方程式— 大まかに言えば、不安定な方法では非常に短いステップサイズを必要とするが、安定した方法では必要ない常微分方程式である。
- L安定性- この方法はA安定であり、安定性関数は無限大でゼロになる
- 適応ステップサイズ- 有利と思われる場合にステップサイズを自動的に変更します
- Parareal - 時間的に並列な積分アルゴリズム
偏微分方程式の数値解析法
数値偏微分方程式— 偏微分方程式 (PDE) の数値解
有限差分法
有限差分法— 微分演算子を差分演算子で近似することに基づく
- 有限差分— 微分演算子の離散的類似物
- 差分係数— 微分に対する差分近似の係数表
- 離散ラプラス演算子— ラプラス演算子の差分近似
- 2次導関数の固有値と固有ベクトル- 離散ラプラス演算子の固有値を含む
- クロネッカーの離散ラプラシアン和— 多次元のラプラス演算子に使用される
- 離散ポアソン方程式— 離散ラプラス演算子を使用したポアソン方程式の離散類似物
- ステンシル（数値解析） - アルゴリズムの基本ステップによって影響を受けるグリッドポイントの幾何学的配置
- コンパクト ステンシル— 少数のグリッド ポイントのみを使用するステンシル。通常は、隣接するグリッド ポイントと対角グリッド ポイントのみを使用します。
- 非コンパクト ステンシル— コンパクトでないステンシル
- 5 点ステンシル— 長方形のグリッド上の 1 つの点とその 4 つの隣接点で構成される 2 次元ステンシル
- 熱方程式および関連する偏微分方程式の有限差分法:
- FTCSスキーム（前方時間中心空間）—一次明示的
- クランク・ニコルソン法— 2次暗黙法
- 波動方程式のような双曲型偏微分方程式に対する有限差分法:
- Lax-Friedrichs法- 一次明示的
- Lax-Wendroff法— 2次陽解法
- マコーマック法— 2次明示的
- アップウィンド方式
- 対流の風上差分スキーム— 対流拡散問題のための一次スキーム
- ラックス・ウェンドロフ定理— 保存則の双曲型システムの保存スキームは弱解に収束する
- 交互方向暗黙法（ADI） - x方向の流れを使用して更新し、次にy方向の流れを使用して更新します。
- 非標準差分スキーム
- 具体的な用途:
- オプション価格設定のための差分法
- 有限差分時間領域法— 電気力学のための有限差分法
有限要素法、勾配離散化法
有限要素法— 解の空間の離散化に基づく 勾配離散化法— 解とその勾配の両方の離散化に基づく
- 構造力学における有限要素法— 有限要素法への物理的アプローチ
- ガラーキン法— 残差が有限要素空間に直交する有限要素法
- 不連続ガラーキン法— 近似解が連続しないガラーキン法
- レイリー・リッツ法— 変分原理に基づく有限要素法
- スペクトル要素法— 高次有限要素法
- hp-FEM — 要素のサイズと順序の両方が自動的に調整されるバリエーション
- 有限要素の例:
- 直接剛性法— 構造解析でよく使用される有限要素法の特定の実装
- トレフツ法
- 有限要素の更新
- 拡張有限要素法- 問題に合わせた関数を近似空間に配置する
- 機能傾斜要素— 機能傾斜材料を記述するための要素
- スーパーエレメント— 有限要素の特定のグループを単一の要素として用いる
- 区間有限要素法 — 区間演算と有限要素法の組み合わせ
- 離散外積分— 微分幾何学の外積分の離散形式
- FEM を使用したモード解析— 固有振動を見つけるための固有値問題の解決
- セアの補題- 有限要素空間における解は、その空間における真の解のほぼ最良の近似である
- パッチテスト（有限要素） - 有限要素の品質の簡単なテスト
- MAFELAP (有限要素の数学と応用) — ブルネル大学で開催された国際会議
- NAFEMS — コンピュータ支援エンジニアリング分析の標準を設定および維持する非営利団体
- 多相トポロジー最適化— 混合物の最適な組成を決定するための有限要素に基づく手法
- 区間有限要素
- 応用要素法- ひび割れや構造崩壊のシミュレーション
- ウッド・アーマー法— コンクリートスラブの補強材の設計に使用される有限要素に基づく構造解析法
- Isogeometric analysis — integrates finite elements into conventional NURBS-based CAD design tools
- Loubignac iteration
- Stiffness matrix — finite-dimensional analogue of differential operator
- Combination with meshfree methods:
- Weakened weak form — form of a PDE that is weaker than the standard weak form
- G space — functional space used in formulating the weakened weak form
- Smoothed finite element method
- Variational multiscale method
- List of finite element software packages
Other methods
- Spectral method — based on the Fourier transformation
- Method of lines — reduces the PDE to a large system of ordinary differential equations
- Boundary element method (BEM) — based on transforming the PDE to an integral equation on the boundary of the domain
- Interval boundary element method — a version using interval arithmetics
- Analytic element method — similar to the boundary element method, but the integral equation is evaluated analytically
- Finite volume method — based on dividing the domain in many small domains; popular in computational fluid dynamics
- Godunov's scheme — first-order conservative scheme for fluid flow, based on piecewise constant approximation
- MUSCL scheme — second-order variant of Godunov's scheme
- AUSM — advection upstream splitting method
- Flux limiter — limits spatial derivatives (fluxes) in order to avoid spurious oscillations
- Riemann solver — a solver for Riemann problems (a conservation law with piecewise constant data)
- Properties of discretization schemes — finite volume methods can be conservative, bounded, etc.
- Discrete element method — a method in which the elements can move freely relative to each other
- Extended discrete element method — adds properties such as strain to each particle
- Movable cellular automaton — combination of cellular automata with discrete elements
- Meshfree methods — does not use a mesh, but uses a particle view of the field
- Discrete least squares meshless method — based on minimization of weighted summation of the squared residual
- Diffuse element method
- Finite pointset method — represent continuum by a point cloud
- Moving Particle Semi-implicit Method
- Method of fundamental solutions (MFS) — represents solution as linear combination of fundamental solutions
- Variants of MFS with source points on the physical boundary:
- Boundary knot method (BKM)
- Boundary particle method (BPM)
- Regularized meshless method (RMM)
- Singular boundary method (SBM)
- Methods designed for problems from electromagnetics:
- Finite-difference time-domain method — a finite-difference method
- Rigorous coupled-wave analysis — semi-analytical Fourier-space method based on Floquet's theorem
- Transmission-line matrix method (TLM) — based on analogy between electromagnetic field and mesh of transmission lines
- Uniform theory of diffraction — specifically designed for scattering problems
- Particle-in-cell — used especially in fluid dynamics
- Multiphase particle-in-cell method — considers solid particles as both numerical particles and fluid
- High-resolution scheme
- Shock capturing method
- Vorticity confinement — for vortex-dominated flows in fluid dynamics, similar to shock capturing
- Split-step method
- Fast marching method
- Orthogonal collocation
- Lattice Boltzmann methods — for the solution of the Navier-Stokes equations
- Roe solver — for the solution of the Euler equation
- Relaxation (iterative method) — a method for solving elliptic PDEs by converting them to evolution equations
- Broad classes of methods:
- Mimetic methods — methods that respect in some sense the structure of the original problem
- Multiphysics — models consisting of various submodels with different physics
- Immersed boundary method — for simulating elastic structures immersed within fluids
- Multisymplectic integrator — extension of symplectic integrators, which are for ODEs
- Stretched grid method — for problems solution that can be related to an elastic grid behavior.
Techniques for improving these methods
- Multigrid method — uses a hierarchy of nested meshes to speed up the methods
- Domain decomposition methods — divides the domain in a few subdomains and solves the PDE on these subdomains
- Additive Schwarz method
- Abstract additive Schwarz method — abstract version of additive Schwarz without reference to geometric information
- Balancing domain decomposition method (BDD) — preconditioner for symmetric positive definite matrices
- Balancing domain decomposition by constraints (BDDC) — further development of BDD
- Finite element tearing and interconnect (FETI)
- FETI-DP — further development of FETI
- Fictitious domain method — preconditioner constructed with a structured mesh on a fictitious domain of simple shape
- Mortar methods — meshes on subdomain do not mesh
- Neumann–Dirichlet method — combines Neumann problem on one subdomain with Dirichlet problem on other subdomain
- Neumann–Neumann methods — domain decomposition methods that use Neumann problems on the subdomains
- Poincaré–Steklov operator — maps tangential electric field onto the equivalent electric current
- Schur complement method — early and basic method on subdomains that do not overlap
- Schwarz alternating method — early and basic method on subdomains that overlap
- Coarse space — variant of the problem which uses a discretization with fewer degrees of freedom
- Adaptive mesh refinement — uses the computed solution to refine the mesh only where necessary
- Fast multipole method — hierarchical method for evaluating particle-particle interactions
- Perfectly matched layer — artificial absorbing layer for wave equations, used to implement absorbing boundary conditions
Grids and meshes
- Grid classification / Types of mesh:
- Polygon mesh — consists of polygons in 2D or 3D
- Triangle mesh — consists of triangles in 2D or 3D
- Triangulation (geometry) — subdivision of given region in triangles, or higher-dimensional analogue
- Nonobtuse mesh — mesh in which all angles are less than or equal to 90°
- Point-set triangulation — triangle mesh such that given set of point are all a vertex of a triangle
- Polygon triangulation — triangle mesh inside a polygon
- Delaunay triangulation — triangulation such that no vertex is inside the circumcentre of a triangle
- Constrained Delaunay triangulation — generalization of the Delaunay triangulation that forces certain required segments into the triangulation
- Pitteway triangulation — for any point, triangle containing it has nearest neighbour of the point as a vertex
- Minimum-weight triangulation — triangulation of minimum total edge length
- Kinetic triangulation — a triangulation that moves over time
- Triangulated irregular network
- Quasi-triangulation — subdivision into simplices, where vertices are not points but arbitrary sloped line segments
- Volume mesh — consists of three-dimensional shapes
- Regular grid — consists of congruent parallelograms, or higher-dimensional analogue
- Unstructured grid
- Geodesic grid — isotropic grid on a sphere
- Mesh generation
- Image-based meshing — automatic procedure of generating meshes from 3D image data
- Marching cubes — extracts a polygon mesh from a scalar field
- Parallel mesh generation
- Ruppert's algorithm — creates quality Delauney triangularization from piecewise linear data
- Subdivisions:
- Apollonian network — undirected graph formed by recursively subdividing a triangle
- Barycentric subdivision — standard way of dividing arbitrary convex polygons into triangles, or the higher-dimensional analogue
- Improving an existing mesh:
- Chew's second algorithm — improves Delauney triangularization by refining poor-quality triangles
- Laplacian smoothing — improves polynomial meshes by moving the vertices
- Jump-and-Walk algorithm — for finding triangle in a mesh containing a given point
- Spatial twist continuum — dual representation of a mesh consisting of hexahedra
- Pseudotriangle — simply connected region between any three mutually tangent convex sets
- Simplicial complex — all vertices, line segments, triangles, tetrahedra, ..., making up a mesh
Analysis
- Lax equivalence theorem — a consistent method is convergent if and only if it is stable
- Courant–Friedrichs–Lewy condition — stability condition for hyperbolic PDEs
- Von Neumann stability analysis — all Fourier components of the error should be stable
- Numerical diffusion — diffusion introduced by the numerical method, above to that which is naturally present
- Numerical dispersion
- Numerical resistivity — the same, with resistivity instead of diffusion
- Weak formulation — a functional-analytic reformulation of the PDE necessary for some methods
- Total variation diminishing — property of schemes that do not introduce spurious oscillations
- Godunov's theorem — linear monotone schemes can only be of first order
- Motz's problem — benchmark problem for singularity problems
- Variants of the Monte Carlo method:
- Direct simulation Monte Carlo
- Quasi-Monte Carlo method
- Markov chain Monte Carlo
- Metropolis–Hastings algorithm
- Multiple-try Metropolis — modification which allows larger step sizes
- Wang and Landau algorithm — extension of Metropolis Monte Carlo
- Equation of State Calculations by Fast Computing Machines — 1953 article proposing the Metropolis Monte Carlo algorithm
- Multicanonical ensemble — sampling technique that uses Metropolis–Hastings to compute integrals
- Gibbs sampling
- Coupling from the past
- Reversible-jump Markov chain Monte Carlo
- Metropolis–Hastings algorithm
- Dynamic Monte Carlo method
- Particle filter
- Reverse Monte Carlo
- Demon algorithm
- Pseudo-random number sampling
- Inverse transform sampling — general and straightforward method but computationally expensive
- Rejection sampling — sample from a simpler distribution but reject some of the samples
- Ziggurat algorithm — uses a pre-computed table covering the probability distribution with rectangular segments
- For sampling from a normal distribution:
- Convolution random number generator — generates a random variable as a sum of other random variables
- Indexed search
- Variance reduction techniques:
- Low-discrepancy sequence
- Event generator
- Parallel tempering
- Umbrella sampling — improves sampling in physical systems with significant energy barriers
- Hybrid Monte Carlo
- Ensemble Kalman filter — recursive filter suitable for problems with a large number of variables
- Transition path sampling
- Walk-on-spheres method — to generate exit-points of Brownian motion from bounded domains
- Applications:
- Ensemble forecasting — produce multiple numerical predictions from slightly initial conditions or parameters
- Bond fluctuation model — for simulating the conformation and dynamics of polymer systems
- Iterated filtering
- Metropolis light transport
- Monte Carlo localization — estimates the position and orientation of a robot
- Monte Carlo methods for electron transport
- Monte Carlo method for photon transport
- Monte Carlo methods in finance
- Monte Carlo molecular modeling
- Path integral molecular dynamics — incorporates Feynman path integrals
- Quantum Monte Carlo
- Diffusion Monte Carlo — uses a Green function to solve the Schrödinger equation
- Gaussian quantum Monte Carlo
- Path integral Monte Carlo
- Reptation Monte Carlo
- Variational Monte Carlo
- Methods for simulating the Ising model:
- Swendsen–Wang algorithm — entire sample is divided into equal-spin clusters
- Wolff algorithm — improvement of the Swendsen–Wang algorithm
- Metropolis–Hastings algorithm
- Auxiliary field Monte Carlo — computes averages of operators in many-body quantum mechanical problems
- Cross-entropy method — for multi-extremal optimization and importance sampling
- Also see the list of statistics topics
Applications
- Computational physics
- Computational electromagnetics
- Computational fluid dynamics (CFD)
- Numerical methods in fluid mechanics
- Large eddy simulation
- Smoothed-particle hydrodynamics
- Aeroacoustic analogy — used in numerical aeroacoustics to reduce sound sources to simple emitter types
- Stochastic Eulerian Lagrangian method — uses Eulerian description for fluids and Lagrangian for structures
- Explicit algebraic stress model
- 計算磁気流体力学（CMHD）—電気伝導性流体を研究する
- 気候モデル
- 数値天気予報
- 天体力学
- 量子ジャンプ法- オープン量子システムのシミュレーションに使用され、波動関数を操作します。
- 動的設計解析法（DDAM）—水中爆発が機器に与える影響を評価する
- 計算化学
- 計算社会学
- 計算統計
ソフトウェア
ソフトウェアの詳細なリストについては、数値解析ソフトウェアのリストを参照してください。
ジャーナル
研究者
- クリーヴ・モラー
- ジーン・H・ゴルブ
- ジェームズ・H・ウィルキンソン
- マーガレット・H・ライト
- ニコラス・J・ハイアム
- ニック・トレフェセン
- ピーター・ラックス
- リチャード・S・ヴァルガ
- ウルリッヒ・W・クリッシュ
- ウラジク・クレイノビッチ
参考文献
- ^スミス、 NJJ (2008)。「世俗的な曖昧さと意味の不確定性」。曖昧さと真実の度合い。pp. 277–316。doi :10.1093/acprof:oso/ 9780199233007.003.0007。ISBN 9780199233007。