再帰的評価 キャットマル・クラーク曲面は、以下の細分化スキームを使用して 再帰的に定義されます。 [ 1 ]
任意の多面体の メッシュ から始めます。このメッシュ内のすべての頂点を 元の点 と呼びます。
各面に対して、面のポイントを追加する。 各辺に、辺の点 を追加します。 各エッジポイントを、隣接する2つの面ポイント（A、F） とエッジの2つの端点（M、E） の平均値に設定する。A + F + M + E 4 {\displaystyle {\frac {A+F+M+E}{4}}} [ 2 ] エッジポイント（マゼンタ色の立方体） 各元の点 ( P ) について、Pに接する面の n 個の(最近作成された) 面点の平均 ( F )を求め、 Pに接する元の辺の n 個の辺の中点の平均( R )を求めます。ここで、各辺の中点は、その両端の頂点の平均です (上記の新しい 辺点 と混同しないでください)。 (頂点P の観点から見ると、 P に隣接する辺の数は隣接する面の数でもあるため、n となります)。 元の 各点を新しい頂点点に移動させる F + 2 R + （ n − 3 ） P n {\displaystyle {\frac {F+2R+(n-3)P}{n}}} n -3)、2、1を持つP 、R 、F の重心です。） 新しい頂点（緑色の円錐） 新しいメッシュでエッジと面を形成する 新しい面の各点 を、元の面を定義するすべての元のエッジの新しいエッジ点に接続します。 新しいエッジ、面ポイントあたり4つ 各新しい頂点を、 元の頂点に接続するすべての元のエッジの新しいエッジポイントに接続します。 移動した元の頂点の各頂点ポイントに3つの新しいエッジが追加される。 新しい面をエッジで囲まれたものとして定義するメッシュの最終面
物件 新しいメッシュは四角形 のみで構成され、一般的に平面 ではありません 。新しいメッシュは、古いメッシュよりも一般的に「滑らか」（つまり、「ギザギザ」や「尖り」が少ない）に見えます。繰り返し細分化することで、メッシュはますます丸みを帯びていきます。
一見恣意的に見える重心公式は、 数学的な導出 ではなく、結果として得られる曲面の美的外観 に基づいてキャットマルとクラークによって選択されたが、彼らはこの方法が双三次Bスプライン曲面に収束すること を厳密に示すために多大な努力を払っている。 [ 1 ]
この細分化プロセスによって得られる極限曲面は、G 1 {\displaystyle G^{1}} C 2 \displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} [ 3 ] n が 連続する導関数の数 を示す場合、C n \displaystyle {\mathcal {C}}^{n}} 連続性 ）。1回の反復後、表面上の特異点の数は一定のままです。
拡張機能
やや鋭い折り目 キャットマル・クラーク曲面は、鋭さの値によって決定される固定回数の反復に対して異なる細分化ルールを使用することで、半鋭い折り目をサポートするように拡張されました。[ 5 ] 1998年にトニー・デローズ らが導入したこのアプローチは、鋭い細分化ルールから滑らかな細分化ルールへの制御可能な移行を可能にします。
参考文献 1 2 3 Catmull, E. ; Clark, J. (1978). "任意のトポロジーメッシュ上の再帰的に生成された B スプライン曲面" (PDF) . Computer-Aided Design . 10 (6): 350. doi : 10.1016/0010-4485(78)90110-0 . S2CID 121149868 . ↑ 「Catmull–Clark 区画表面 - Rosetta Code」 . rosettacode.org . 2022-01-13 に取得。 ↑ Peters, J.; Reif, U. (1998). "任意のトポロジーの定常細分化アルゴリズムの解析". SIAM Journal on Numerical Analysis . 35 (3). SIAM: 1095– 1114. doi : 10.1137/S00361445983416 . ↑ Stam, J. (1998). "任意のパラメータ値におけるCatmull-Clark細分割曲面の厳密な評価" (PDF) . 第25回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 議事録 . pp. 395–404 . CiteSeerX 10.1.1.20.7798 . doi : 10.1145/280814.280945 . ISBN 978-0-89791-999-9 . S2CID 2771758 . ↑ DeRose, T.; Kass, M.; Truong, T. (1998). "キャラクターアニメーションにおける細分割曲面". 第 25回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 の議事録 。ACM SIGGRAPH。pp. 85–94。doi : 10.1145 /280814.280826 。 ↑ 「サブディビジョンサーフェスモディファイア」 。2020-01-15。 ↑ 「アーカイブされたコピー」 (PDF) 。 2016年11月23日に オリジナル (PDF)からアーカイブされました 。 2016年12月4日 に取得。 {{cite web}}: CS1 maint: タイトルとしてアーカイブされたコピー (リンク)↑ Manuel Kraemer (2014). "OpenSubdiv: GPU コンピューティングと描画の相互運用". Martin Watt; Erwin Coumans; George ElKoura; 他 編 『マルチ スレッド による視覚効果 』CRC Press、pp. 163–199。ISBN 978-1-4822-4356-7 。↑ エキスパートに会う：ピクサー・アニメーション・スタジオ、OpenSubdivプロジェクト 。YouTube 。 2021年12月11日にオリジナルから アーカイブされました 。 ↑ 「ピクサーのOpenSubdiv V2：詳細解説」 2013年9月18日。 ↑ AV Media gputechconf.com ↑ OpenSubdiv Blender デモ 。YouTube 。 2021年12月11日にオリジナルから アーカイブされました 。
さらに読む Derose, T.; Kass, M.; Truong, T. (1998). "キャラクターアニメーションにおける細分割曲面" (PDF) .第25回コンピュータグラフィックスおよびインタラクティブ技術に関する年次会議 - SIGGRAPH '98 議事録 . pp. 85 . CiteSeerX 10.1.1.679.1198 . doi : 10.1145/280814.280826 . ISBN 978-0897919999 . S2CID 1221330 . Loop, C.; Schaefer, S. (2008). "双三次パッチによるCatmull-Clark細分割曲面の近似" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 27 : 1– 11. CiteSeerX 10.1.1.153.2047 . doi : 10.1145/1330511.1330519 . S2CID 6068564 . Kovacs, D.; Mitchell, J.; Drone, S.; Zorin, D. (2010). "Real-Time Creased Approximate Subdivision Surfaces with Displacements" (PDF) . IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 16 (5): 742– 51. doi : 10.1109/TVCG.2010.31 . PMID 20616390 . S2CID 17138394 . Matthias Nießner、Charles Loop、Mark Meyer、Tony DeRose、「Catmull-Clark細分割曲面の特徴適応型GPUレンダリング」、ACM Transactions on Graphics 第31巻第1号、2012年1月、doi : 10.1145/2077341.2077347、デモ Nießner, Matthias; Loop, Charles; Greiner, Günther: Catmull-Clark 細分割曲面における半平滑な折り目の効率的な評価: Eurographics 2012 Annex: Short Papers (Eurographics 2012、カリアリ)。2012年、41-44ページ。 ウェイド・ブレイナード氏による「Call of Duty: Ghostsにおけるテッセレーション」は、 SIGGRAPH2014のチュートリアルとしても発表された。 D. Doo および M. Sabin:異常点近傍における再帰的分割曲面の挙動 、Computer-Aided Design、10 (6) 356 – 360 (1978)、( doi、pdf ) 
