相補性理論

相補性問題は、数学的最適化問題の一種です。これは、2つのベクトル変数の関数を、特定の要件（制約）の下で最適化（最小化または最大化）する問題です。その要件には、2つのベクトルの内積がゼロに等しくなければならない、つまり直交していることが含まれます。^{[ 1 ]}特に有限次元実ベクトル空間の場合、これは、すべての成分が非負であるベクトルXとY（すべてのiについてx _i ≥ 0およびy _i ≥ 0）がある場合を意味します。    ${\displaystyle i}$: 2 次元の場合は第1 象限、3 次元の場合は第 1 八分円) の場合、各成分のペアx _iとy _iについて、ペアの 1 つがゼロでなければならないため、相補性と呼ばれます。たとえば、X  =  (1,  0) とY  =  (0,  2) は相補的ですが、X  =  (1,  1) とY  =  (2,  0) は相補的ではありません。相補性問題は、変分不等式の特殊なケースです。

相補性問題が研究されたのは、線形計画法と二次計画法におけるカルーシュ・クーン・タッカー条件が、線形相補性問題（LCP）または混合相補性問題（MCP）を構成するためである。1963年、レムケとハウソンは、2人ゲームの場合、ナッシュ均衡点を計算することがLCPと同等であることを示した。1968年、コットルとダンツィヒは、線形計画法と二次計画法、および二行列ゲームを統合した。それ以来、相補性問題と変分不等式の研究は飛躍的に拡大した。

相補性理論の発展に貢献した数学および科学の分野には、最適化、平衡問題、変分不等式理論、不動点理論、位相次数理論、非線形解析などがある。

• 均衡制約付き数理計画法
• 相補性問題を表現するためのnl形式

• リチャード・W・コトル、ジョンシ・パン、リチャード・E・ストーン（1992）。『線形相補性問題』。アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-192350-1。
• ジョージ・アイザック（1992）。相補性問題。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-56251-1。
• ジョージ・アイザック（2000）。相補性理論における位相的方法。シュプリンガー。ISBN 978-0-7923-6274-6。
• Francisco Facchinei; Jong-Shi Pang (2003).有限次元変分不等式と相補性問題: 第1巻および第2巻. Springer. ISBN 978-0-387-95580-3。
• Murty, KG (1988).線形相補性、線形計画法と非線形計画法. シグマ応用数学シリーズ. 第 3巻. ベルリン: Heldermann Verlag. pp.  xlviii+629 pp. ISBN 3-88538-403-5. MR 0949214 . 2010年4月1日にオリジナルからアーカイブされました。 

• CPNET:相補性問題ネットワーク