メッシュフリー法

数値解析の分野において、メッシュフリー法とは、シミュレーション領域のノード間の接続、つまりメッシュを必要とせず、各ノードとそのすべての隣接ノードとの相互作用に基づく方法です。その結果、質量や運動エネルギーなどの元の広範なプロパティは、メッシュ要素に割り当てられなくなり、個々のノードに割り当てられます。メッシュフリー法では、余分な計算時間とプログラミングの労力がかかりますが、通常は難しいタイプの問題のシミュレーションが可能になります。メッシュがないため、ノードが速度場に従って移動できるラグランジュシミュレーションが可能になります。

有限差分法、有限体積法、有限要素法などの数値計算法は、もともとデータ ポイントのメッシュ上で定義されていました。このようなメッシュでは、各ポイントには定義済みの隣接ポイントが一定数あり、隣接ポイント間の接続性を使用して、導関数などの数学演算子を定義できます。これらの演算子は、オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式などのシミュレーションを行う方程式を構築するために使用されます。

しかし、シミュレーション対象の材料が動き回る可能性があるシミュレーション (数値流体力学など) や、材料の大きな変形が発生する可能性があるシミュレーション (プラスチック材料のシミュレーションなど) では、シミュレーションにエラーを導入せずにメッシュの接続性を維持することが困難になることがあります。シミュレーション中にメッシュが絡まったり縮退したりすると、メッシュに定義されている演算子が正しい値を与えなくなる可能性があります。シミュレーション中にメッシュが再作成されることがあります (再メッシュと呼ばれるプロセス) が、既存のデータ ポイントをすべて新しい異なるデータ ポイント セットにマッピングする必要があるため、これによってもエラーが発生する可能性があります。メッシュフリー メソッドは、これらの問題を解決することを目的としています。メッシュフリー メソッドは、次の場合にも役立ちます。

• 複雑な3Dオブジェクトのジオメトリから有用なメッシュを作成することが特に困難であったり、人間の支援が必要になるシミュレーション
• クラッキングシミュレーションなど、ノードが作成または破壊される可能性があるシミュレーション
• 曲げシミュレーションなど、問題の形状が固定メッシュからずれる可能性があるシミュレーション
• 非線形材料挙動、不連続性、特異性を含むシミュレーション

従来の差分シミュレーションでは、1次元シミュレーションの領域は、点におけるデータ値のメッシュとして表される関数であり、 ${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle u_{i}^{n}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

この領域上のいくつかの有限差分公式を使用して、シミュレーションされる方程式に発生する導関数を定義することができます。たとえば、

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

そして

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

次に、 とその空間導関数および時間導関数の定義を使用して、シミュレートする方程式を有限差分形式で記述し、多くの有限差分法の 1 つを使用して方程式をシミュレートできます。 ${\displaystyle u(x,t)}$

この単純な例では、ステップ (ここでは空間ステップと時間ステップ) はメッシュ全体にわたって一定で、 におけるデータ値の左側のメッシュ近傍と右側のメッシュ近傍は、それぞれとにおける値です。一般に有限差分では、メッシュに沿ったステップ変数を非常に簡単に考慮できますが、元のノードはすべて保持される必要があり、元の要素を変形することによってのみ独立して移動できます。すべてのノードのうち 2 つでも順序が変わったり、シミュレーションに 1 つのノードが追加されたり、シミュレーションから削除されたりすると、元のメッシュに欠陥が生じ、単純な有限差分近似は保持できなくなります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i+1}}$

最も古いメッシュフリー手法の1つである平滑化粒子流体力学（SPH）は、データポイントを質量と密度を持ち、時間の経過とともに動き回り、何らかの値を持つ物理的な粒子として扱うことでこの問題を解決します。次に、SPHは粒子間の値を次のように 定義します。${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

ここで、は粒子の質量、は粒子の密度、 は近くのデータポイントに作用するカーネル関数であり、滑らかさやその他の有用な特性を考慮して選択されます。線形性により、空間微分は次のように表すことができます。 ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

次に、 とその空間導関数の定義を使用して、シミュレートする方程式を常微分方程式として記述し、多くの数値手法の 1 つを使用して方程式をシミュレートします。物理的に言えば、これは粒子間の力を計算し、これらの力を時間とともに積分して粒子の動きを決定することを意味します。 ${\displaystyle u(x,t)}$

この状況での SPH の利点は、 とその導関数の式が粒子の隣接情報に依存しないことです。粒子を任意の順序で使用できるため、粒子が移動したり、場所を交換したりしても問題ありません。 ${\displaystyle u(x,t)}$

SPH の欠点の 1 つは、粒子の最近傍を決定するために追加のプログラミングが必要になることです。カーネル関数は、「スムージング長」の 2 倍以内の近傍粒子に対してのみ非ゼロの結果を返すため (通常はコンパクト サポート付きのカーネル関数を選択するため)、大規模なシミュレーションですべての粒子に対して上記の合計を計算するのは労力の無駄です。そのため、通常、SPH シミュレーターでは、この最近傍計算を高速化するために追加のコードが必要になります。 ${\displaystyle W}$

最も初期のメッシュフリー法の1つは、1977年に発表された平滑化粒子流体力学です。 ^[1] Liberskyら^[2]は、固体力学にSPHを適用した最初の人です。SPHの主な欠点は、境界付近の結果が不正確であることと、Swegleによって最初に調査された張力の不安定性です。^[3]

1990 年代に、ガラーキン法に基づく新しい種類のメッシュフリー法が登場しました。この最初の方法は拡散要素法^[4] (DEM) と呼ばれ、Nayroles らによって開発され、偏微分方程式のガラーキン解法でMLS近似を使用し、MLS 関数の近似導関数を使用しました。その後、 Belytschko は要素フリー ガラーキン (EFG) 法^[5]を開発しました。この法では、境界条件を強制するラグランジュ乗数付き MLS、弱形式での高次数値求積法、および精度を向上させる MLS 近似の完全導関数を使用しました。同じ頃、再生カーネル粒子法^[6] (RKPM) が登場しました。この近似は、SPH のカーネル推定を修正し、境界付近の精度、非一様離散化、および一般に高次の精度を実現することを目的としました。注目すべきことに、並行して開発された質点法^[7]もほぼ同じ時期に開発され、同様の機能を備えています。質点法は、映画「アナと雪の女王」の雪のような大変形固体力学をシミュレートするために映画業界で広く使用されています。^[8] RKPM法やその他のメッシュフリー法は、1990年代後半にChen、Liu、Liによって、さまざまなアプリケーションやさまざまな種類の問題向けに広範囲に開発されました。^[9] 1990年代以降、以下に挙げるものを含め、いくつかの他の変種が開発されました。

以下の数値法は、一般的に「メッシュフリー」法の一般的なクラスに含まれると考えられています。頭字語は括弧内に示されています。

• 平滑化粒子流体力学(SPH) (1977)
• 拡散要素法(DEM) (1992)
• 散逸粒子動力学（DPD）（1992）
• 要素フリーガラーキン法 (EFG / EFGM) (1994)
• 再現カーネル粒子法(RKPM) (1995)
• 有限点法(FPM) (1996)
• 有限点集合法(FPM) (1998)
• hp-クラウド
• 自然要素法（NEM）
• 物質点法（MPM）
• メッシュレスローカルペトロフガレルキン（MLPG）（1998）^[10]
• 一般化ひずみメッシュフリー（GSMF）定式化（2016）^[11]
• 移動粒子半暗黙的(MPS)
• 一般化差分法（GFDM）^{[12] [13]}
• 粒子内細胞（PIC）
• 移動粒子有限要素法 (MPFEM)
• 有限クラウド法 (FCM)
• 境界ノード法 (BNM)
• メッシュフリー移動クリギング補間法（MK）
• 境界雲法（BCM）
• 基本解法（MFS）
• 特殊解法（MPS）
• 有限球面法（MFS）
• 離散渦法 (DVM)
• 再現カーネル粒子法（RKPM）（1995）^[14]
• 一般化/勾配再生カーネル粒子法（2011）^[15]
• 有限質量法（FMM）（2000）^[16]
• 平滑化点補間法（S-PIM）（2005年）。^[17]
• メッシュフリー局所ラジアルポイント補間法（RPIM）。^[17]
• 局所ラジアル基底関数コロケーション法（LRBFCM）^[18]
• 粘性渦領域法(VVD)
• クラッキング粒子法（CPM）（2004）
• 離散最小二乗メッシュレス法(DLSM) (2006)
• 浸漬粒子法（IPM）（2006）
• 最適輸送メッシュフリー法（OTM）（2010）^[19]
• 反復置換法（RRM）（2012）^[20]
• ラジアル基底積分方程式法^[21]
• 最小二乗コロケーションメッシュレス法（2001）^[22]
• 指数基底関数法（EBF）（2010）^[23]

関連する方法:

• 移動最小二乗法（MLS） – 任意のノードセットに対する一般的な近似法を提供する
• 分割法（PoUM） - いくつかのメッシュフリー法で使用される一般的な近似定式化を提供する
• 連続ブレンディング法（有限要素法とメッシュレス法の強化と結合） – Huerta & Fernández-Méndez (2000) を参照
• 拡張FEM、一般化FEM（XFEM、GFEM） - メッシュレスの側面を組み合わせたFEM（有限要素法）の変種
• 平滑化有限要素法(S-FEM) (2007)
• 勾配平滑化法（GSM）（2008）
• 前進前線ノード生成（AFN）^[24]
• 局所最大エントロピー（LME） – Arroyo & Ortiz (2006) を参照
• 空間時間メッシュフリーコロケーション法 (STMCM) – Netuzhylov (2008)、Netuzhylov & Zilian (2009) を参照
• メッシュフリーインターフェース有限要素法（MIFEM）（2015） - 相転移および多相流問題の数値シミュレーションのためのハイブリッド有限要素メッシュフリー法^[25]

メッシュフリー法の主な進歩分野は、必須境界の強制、数値求積法、接触および大変形に関する問題に対処することです。^[26]共通弱形式では必須境界条件の強力な強制が必要ですが、メッシュフリー法には一般にクロネッカーのデルタ特性がありません。これにより、必須境界条件の強制は簡単ではなく、少なくともそれらを直接課すことができる有限要素法よりも困難になります。この困難を克服し、条件を強く課すための技術が開発されました。ラグランジュ乗数、ニッチェ法、ペナルティ法 など、必須境界条件を弱く課すいくつかの方法が開発されました。

求積法に関しては、一般的には節点積分が好まれます。これは単純で効率的であり、メッシュフリー法をメッシュフリーに保ちます（求積点と重みを生成するためにメッシュを必要とするガウス求積法を使用するのとは対照的です）。しかし、節点積分は、短波長モードに関連するひずみエネルギーの過小評価による数値的不安定性の影響を受けます。 ^[27]また、弱形式の積分不足により、不正確で収束しない結果が得られます。^[28]数値積分における大きな進歩の 1 つは、これらの問題のいずれも抱えない節点積分法を提供する安定化適合節点積分 (SCNI) の開発です。^[28]この方法は、1 次パッチ テストを満たすひずみ平滑化に基づいています。しかし、後に低エネルギー モードが SCNI にまだ存在することが判明し、追加の安定化方法が開発されました。この方法は、薄板や厚板、多孔質力学、対流が支配的な問題など、さまざまな問題に適用されています。^{[26]最近では、}ペトロフ・ガラーキン法に基づいて、任意順序のパッチテストに合格するためのフレームワークが開発されました。^[29]

メッシュフリー法の最近の進歩の 1 つは、モデリングとシミュレーションの自動化のための計算ツールの開発を目指しています。これは、G 空間理論に基づくいわゆる弱められた弱 (W2) 定式化によって可能になります。^{[30] [31]} W2 定式化は、三角形メッシュでうまく機能するさまざまな (均一な)「ソフト」モデルを定式化する可能性を提供します。三角形メッシュは自動的に生成できるため、再メッシュがはるかに簡単になり、モデリングとシミュレーションの自動化が可能になります。さらに、W2 モデルは、力駆動問題に対する上限ソリューションを生成するのに十分なほど (均一な方法で) ソフトにすることができます。剛性モデル (完全に互換性のある FEM モデルなど) と組み合わせると、両側からソリューションを便利に制限できます。これにより、三角形メッシュを生成できる限り、一般的に複雑な問題に対する誤差の推定が容易になります。一般的な W2 モデルは、平滑化ポイント補間法 (S-PIM) です。^[17] S-PIMは、ノードベース（NS-PIMまたはLC-PIMとして知られる）、^[32]エッジベース（ES-PIM）、^[33]セルベース（CS-PIM）にすることができる。^[34] NS-PIMは、いわゆるSCNI技術を使用して開発された。^[28]その後、NS-PIMは上限解と体積ロックフリーを生成できることが発見された。^[35] ES-PIMは精度に優れており、CS-PIMはNS-PIMとES-PIMの中間の挙動を示す。 さらに、W2定式化では、形状関数の作成に多項式およびラジアル基底関数を使用できる（G1空間内にある限り、不連続な変位関数に対応）ため、将来の開発の余地がさらに広がる。 W2定式化により、メッシュフリー技術と十分に開発されたFEM技術の組み合わせも開発され、優れた精度と必要な柔らかさで三角形メッシュを使用できるようになりました。典型的な定式化は、いわゆる平滑化有限要素法（またはS-FEM）です。^[36] S-FEMはS-PIMの線形バージョンですが、S-PIMのほとんどの特性を備えており、はるかに単純です。

メッシュフリー法はFEM法よりもはるかに高価であるという一般的な認識があります。しかし、最近の研究では、S-PIMやS-FEMなどのメッシュフリー法はFEM法よりもはるかに高速であることがわかりました。^{[17] [36]}

S-PIMとS-FEMは固体力学の問題に有効です。CFDの問題の場合、強力な定式化によって定式化を簡素化できます。勾配平滑化法（GSM）も最近CFDの問題用に開発され、勾配平滑化の考え方を強力な形式で実装しています。^{[37] [38]} GSMは[FVM]に似ていますが、勾配平滑化操作をネスト形式でのみ使用し、PDEの一般的な数値手法です。

節点積分は、有限要素を使用してメッシュフリー動作をエミュレートする手法として提案されています。^{[引用が必要]} ただし、節点積分要素を使用する際に克服しなければならない障害は、節点の量が連続しておらず、節点が複数の要素間で共有されることです。

• 連続体力学
• 平滑化有限要素法^[36]
• G空間^[39]
• 弱められた弱形^{[30] [31]}
• 境界要素法
• 浸漬境界法
• ステンシルコード
• 粒子法

• メッシュフリー法に関する USACM ブログ