可逆行列をエルミート演算子を乗じたユニタリ演算子として表現する
数学 において 、 実数 または 複素数正方 行列 の 極分解は 、形式の 因数分解 である 。 ここで、 は ユニタリ 行列、は 半正定値 エルミート行列 （ 実数 の場合は 直交行列 、 半 正定値 対称行列 ）であり、どちらも正方で同じサイズで ある。 [1]
あ
{\displaystyle A}
あ = あなた ポ
{\displaystyle A=UP}
あなた
{\displaystyle U}
ポ
{\displaystyle P}
あなた
{\displaystyle U}
ポ
{\displaystyle P}
実数 行列が - 次元 空間 の 線形変換 として解釈される場合 、極分解はそれを の 回転 または 反射 と、 直交軸
の集合に沿った空間の スケーリングに分離します。
ん × ん
{\displaystyle n\times n}
あ
{\displaystyle A}
ん
{\displaystyle n}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
あなた
{\displaystyle U}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ん
{\displaystyle n}
正方行列の極分解は 常に存在する。 が 可逆で あれば 、分解は一意であり、因子は 正定値 となる 。その場合、 は の 形式で一意に表すことができ 、ここで は ユニタリであり、 は 行列 の 一意の自己随伴 対数 である。 [2] この分解は、（行列） リー群の 基本群を 計算する際に有用である 。 [3]
あ
{\displaystyle A}
あ
{\displaystyle A}
ポ
{\displaystyle P}
あ
{\displaystyle A}
あ = あなた
e
バツ
{\displaystyle A=Ue^{X}}
あなた
{\displaystyle U}
バツ
{\displaystyle X}
ポ
{\displaystyle P}
極分解は と定義することもできます。 ここで は と同じ固有値を持ち、固有ベクトルが異なる対称正定値行列です 。
あ =
ポ ′
あなた
{\displaystyle A=P'U}
ポ ′
= あなた ポ
あなた
− 1
{\displaystyle P'=UPU^{-1}}
ポ
{\displaystyle P}
行列の極分解は、 複素数 の 極形式 の行列アナログとして考えることができます。ここ で、 は その 絶対値 （非負の 実数 ）であり、 は 単位ノルムの複素数（ 円群 の要素）です。
ず
{\displaystyle z}
ず = あなた r
{\displaystyle z=ur}
r
{\displaystyle r}
あなた
{\displaystyle u}
この定義は、 半ユニタリ 行列であること と半正定値エルミート行列であることを 要求することで、 長方形行列に拡張できる 。分解は常に存在し、 常に一意である。行列 が一意となるのは、フルランクを持つ場合のみである 。 [4]
あ = あなた ポ
{\displaystyle A=UP}
あ ∈
Ｃ
メートル × ん
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
あなた ∈
Ｃ
メートル × ん
{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
ポ ∈
Ｃ
ん × ん
{\displaystyle P\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
ポ
{\displaystyle P}
あなた
{\displaystyle U}
あ
{\displaystyle A}
幾何学的解釈 実正方 行列は、 列ベクトルを に変換する の 線形 変換 として 解釈できます 。次に、極分解 において 、因子は 実正規直交行列 です。次に、極分解は、 によって定義される線形変換を、 の 各固有ベクトルに沿った 空間の スケール 係数によるスケーリング ( の作用 ) と、それに続く の回転 ( の作用 ) によって表すものとして考えることができます。
メートル × メートル
{\displaystyle m\times m}
あ
{\displaystyle A}
R
メートル
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
x
{\displaystyle x}
あ x
{\displaystyle 斧}
あ = R ポ
{\displaystyle A=RP}
R
{\displaystyle R}
メートル × メートル
{\displaystyle m\times m}
あ
{\displaystyle A}
R
メートル
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
e
私
{\displaystyle e_{i}}
ポ
{\displaystyle P}
σ
私
{\displaystyle \sigma_{i}}
ポ
{\displaystyle P}
R
メートル
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
R
{\displaystyle R}
あるいは、分解は、 回転 ( ) とそれに続く特定の直交方向に沿ったスケーリング ( ) として定義される変換を表します 。スケール係数は同じですが、方向は異なります。
あ = ポ R
{\displaystyle A=PR}
あ
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
ポ
{\displaystyle P}
プロパティ の 複素共役 の極分解は、次のよう に与えられます。 および で あるため、 は A の 行列式 の対応する極分解を与える ことに注意してください 。特に、 が行列式 1 を持つ場合、 と は両方とも 行列式 1 を持ちます。
あ
{\displaystyle A}
あ ¯
=
あなた ¯
ポ ¯
。
{\displaystyle {\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.}
詳細 あ = 詳細 あなた 詳細 ポ =
e
私 θ
r
{\displaystyle \det A=\det U\det P=e^{i\theta }r}
詳細 あなた =
e
私 θ
{\displaystyle \det U=e^{i\theta }}
詳細 ポ = r =
|
詳細 あ
|
{\displaystyle \det P=r=\left|\det A\right|}
あ
{\displaystyle A}
あなた
{\displaystyle U}
ポ
{\displaystyle P}
正半正定値行列 P は、 A が 特異 であっても常に一意であり 、 と表記される 。 ここで は の 共役転置 を表す 。P の一意性により、この式が明確に定義されていることが保証される。一意性は、 が正半正定値エルミート行列であり、したがって一意の正半正定値エルミート 平方根 を持つという事実によって保証される 。 [5] A が逆行列である場合 、 P は 正定値であるため逆行列も可能であり、行列 U は次のように一意に決定される。
ポ =
（
あ
∗
あ
）
1
/
2
、
{\displaystyle P=\left(A^{*}A\right)^{1/2},}
あ
∗
{\displaystyle A^{*}}
あ
{\displaystyle A}
あ
∗
あ
{\displaystyle A^{*}A}
あなた = あ
ポ
− 1
。
{\displaystyle U=AP^{-1}.}
SVDとの関係 、の特異値分解 (SVD) では 、 となります。 ここで 、、、 は ユニタリ行列です ( 体が実数の場合は 直交します )。これにより、 が正定値で ユニタリであることが確認されます。したがって、SVD の存在は極分解の存在と同等です。
あ
{\displaystyle A}
あ = わ Σ
五
∗
{\displaystyle A=W\シグマ V^{*}}
ポ
= 五 Σ
五
∗
あなた
= わ
五
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}}
あなた
{\displaystyle U}
五
{\displaystyle V}
わ
{\displaystyle W}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
ポ
{\displaystyle P}
あなた
{\displaystyle U}
形式で 分解することもできます。 ここで は前と同じで、次 のように表されます 。これは左極分解と呼ばれ、前の分解は右極分解と呼ばれます。左極分解は逆極分解とも呼ばれます。
あ
{\displaystyle A}
あ =
ポ ′
あなた
{\displaystyle A=P'U}
あなた
{\displaystyle U}
ポ ′
{\displaystyle P'}
ポ ′
= あなた ポ
あなた
− 1
=
（
あ
あ
∗
）
1
/
2
= わ Σ
わ
∗
。
{\displaystyle P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{1/2}=W\Sigma W^{*}.}
正方可逆実行列の 極 分解は 、 が 正定値 行列 でが 直交行列で
ある 形式になります
。
あ
{\displaystyle A}
あ =
|
あ
|
R
{\displaystyle A=|A|R}
|
あ
|
=
（
あ
あ
T
）
1
/
2
{\displaystyle |A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{1/2}}
R =
|
あ
|
− 1
あ
{\displaystyle R=|A|^{-1}A}
正規行列との関係 極分解された 行列は、 と が 可換で ある場合に限り 正規行列 となります 。 つまり、それらは 同時に対角化可能 です。
あ
{\displaystyle A}
あ = あなた ポ
{\displaystyle A=UP}
あなた
{\displaystyle U}
ポ
{\displaystyle P}
あなた ポ = ポ あなた
{\displaystyle UP=PU}
構築と存在の証明 極分解の構築の背後にある中核となる考え方は、 特異値分解 を計算するために使用される考え方と似ています。
正規行列の導出 が正規 である 場合、 何らかのユニタリ行列 と何らかの 対角行列 に対して、これは対角行列 とユニタリ同値です 。これにより、極分解の導出が特に簡単になり、次のように書くことができます。
ここで、 は の要素の 位相 を含む対角行列であり 、つまり、 のときは 、 の ときはです 。
あ
{\displaystyle A}
あ = 五 Λ
五
∗
{\displaystyle A=V\Lambda V^{*}}
五
{\displaystyle V}
Λ
{\displaystyle \Lambda}
あ = 五
Φ
Λ
|
Λ
|
五
∗
=
（
五
Φ
Λ
五
∗
）
⏟
≡ あなた
（
五
|
Λ
|
五
∗
）
⏟
≡ ポ
、
{\displaystyle A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},}
Φ
Λ
{\displaystyle \Phi _{\Lambda }}
Λ
{\displaystyle \Lambda }
(
Φ
Λ
)
i
i
≡
Λ
i
i
/
|
Λ
i
i
|
{\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|}
Λ
i
i
≠
0
{\displaystyle \Lambda _{ii}\neq 0}
(
Φ
Λ
)
i
i
=
0
{\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}=0}
Λ
i
i
=
0
{\displaystyle \Lambda _{ii}=0}
したがって、 極分解は となり、 は の固有基底において対角 となり 、 の固有値はそれぞれ の位相と絶対値に等しくなります 。
A
=
U
P
{\displaystyle A=UP}
U
{\displaystyle U}
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
可逆行列の導出 特異値分解 から、行列が逆行列となるのは （同値として）が 成り立つ場合のみである ことが示せます 。さらに、これは の固有値が すべてゼロでない場合に限り当てはまります。 [6]
A
{\displaystyle A}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
A
A
∗
{\displaystyle AA^{*}}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
この場合、極分解は と書き
、 がユニタリであることを観察することで直接得られます。これを確認するには、 のスペクトル分解を利用して と 書きます 。
A
=
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
(
A
∗
A
)
1
/
2
,
{\displaystyle A=A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},}
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
=
A
V
D
−
1
/
2
V
∗
{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=AVD^{-1/2}V^{*}}
この式では、はユニタリである ため、 はユニタリ です。 もユニタリであることを示すには、 SVD を 使用して と書き 、 と
します。
この場合も は 構築によりユニタリになります。
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
A
V
D
−
1
/
2
{\displaystyle AVD^{-1/2}}
A
=
W
D
1
/
2
V
∗
{\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}
A
V
D
−
1
/
2
=
W
D
1
/
2
V
∗
V
D
−
1
/
2
=
W
,
{\displaystyle AVD^{-1/2}=WD^{1/2}V^{*}VD^{-1/2}=W,}
W
{\displaystyle W}
のユニタリー性を直接示すさらに別の方法は、 の SVD を階数 1 の行列で と 書き表すことです。 ここで の特異値は です。 つまり、 は、行列がユニタリーである場合、かつその特異値の絶対値がユニタリーである場合に限っ
て成り立ち ます
。
これは、 のユニタリー性を直接的に示します。
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}
A
{\displaystyle A}
A
=
∑
k
s
k
v
k
w
k
∗
{\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}
s
k
{\displaystyle s_{k}}
A
{\displaystyle A}
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
=
(
∑
j
λ
j
v
j
w
j
∗
)
(
∑
k
|
λ
k
|
−
1
w
k
w
k
∗
)
=
∑
k
λ
k
|
λ
k
|
v
k
w
k
∗
,
{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},}
A
(
A
∗
A
)
−
1
/
2
{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}
上記の構成から、 可逆行列の極分解におけるユニタリ行列が一意に定義されること がわかります。
一般的な導出 正方行列 の SVD は 、 ユニタリ行列を持つ と、 対角の半正定値行列です。 またはの ペアを追加で挿入するだけで、 の極分解の 2 つの形式が得られます 。 より一般的には、 が 何らかの矩形 行列である場合、その SVD は と書くことができます。 ここで、 と はそれぞれ次元 と の 等長行列です。 ここで 、 、および は やはり次元 の対角の半正定値正方行列です 。ここで、上の式で使用したのと同じ推論を適用して と書くことができます が、 は 一般にユニタリではありません。それでも、 は と同じ台と値域を持ち 、 および を満たします 。これにより、 の作用が のサポートに制限されている場合 、 は等長行列になります。つまり、 は 部分等長行列 であることを意味します 。
A
{\displaystyle A}
A
=
W
D
1
/
2
V
∗
{\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}
W
,
V
{\displaystyle W,V}
D
{\displaystyle D}
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
A
=
W
D
1
/
2
V
∗
=
(
W
D
1
/
2
W
∗
)
⏟
P
(
W
V
∗
)
⏟
U
=
(
W
V
∗
)
⏟
U
(
V
D
1
/
2
V
∗
)
⏟
P
′
.
{\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{1/2}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{1/2}V^{*}\right)} _{P'}.}
A
{\displaystyle A}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
A
=
W
D
1
/
2
V
∗
{\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
n
×
r
{\displaystyle n\times r}
m
×
r
{\displaystyle m\times r}
r
≡
rank
(
A
)
{\displaystyle r\equiv \operatorname {rank} (A)}
D
{\displaystyle D}
r
×
r
{\displaystyle r\times r}
A
=
P
U
=
U
P
′
{\displaystyle A=PU=UP'}
U
≡
W
V
∗
{\displaystyle U\equiv WV^{*}}
U
{\displaystyle U}
A
{\displaystyle A}
U
∗
U
=
V
V
∗
{\displaystyle U^{*}U=VV^{*}}
U
U
∗
=
W
W
∗
{\displaystyle UU^{*}=WW^{*}}
U
{\displaystyle U}
A
{\displaystyle A}
U
{\displaystyle U}
このより一般的なケースの明確な例として、次の行列の SVD を考えてみましょう。 すると、 が得られます 。これは等長変換ですが、ユニタリではありません。 一方、 の分解を考えると、 が得られます 。これは部分等長変換です (ただし、等長変換ではありません)。
A
≡
(
1
1
2
−
2
0
0
)
=
(
1
0
0
1
0
0
)
⏟
≡
W
(
2
0
0
8
)
⏟
D
(
1
2
1
2
1
2
−
1
2
)
⏟
V
†
.
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.}
W
V
†
=
1
2
(
1
1
1
−
1
0
0
)
{\displaystyle WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}}
A
≡
(
1
0
0
0
2
0
)
=
(
1
0
0
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
0
0
0
1
0
)
,
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}
W
V
†
=
(
1
0
0
0
1
0
)
,
{\displaystyle WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}
ヒルベルト空間上の有界作用素 複素 ヒルベルト空間間の 任意の有界線型演算子 A の 極 分解は 、部分等長変換 と非負演算子
の積としての標準的な因数分解です。
行列の極分解は次のように一般化されます。A が有界線型演算子である場合 、 A の唯一の因数分解は積 A = UP として存在します 。 ここ で 、 U は 部分 等長変換、 P は 非負の自己随伴演算子であり、 Uの初期空間は P の値域の閉包です 。
演算子 U は 、次の問題のため、ユニタリではなく部分等長演算子に弱められなければなりません。 Aが l 2 ( N ) 上の 片側シフト である場合、 | A | = { A * A } 1/2 = I です。したがって、 A = U | A | である場合、 U は A である必要があり 、これはユニタリではありません。
極分解の存在は ダグラスの補題 の結果である。
補題 — A 、 B が ヒルベルト空間 H 上の有界作用素であり、 A * A ≤ B * B であるとき、 A = CB となる 縮約 C が 存在する。さらに、 ker( B * ) ⊂ ker( C ) のとき C は 一意である 。
演算子 C は 、 H の すべての hに対して C ( Bh ) := Ah で定義され、 Ran ( B )の閉包への連続性によって拡張され 、 Hのすべての直交補集合上でゼロになります。 A * A ≤ B * B であれば ker( B ) ⊂ ker( A )
となる ため、補題が成り立ちます。
特に、 A * A = B * B ならば、 C は部分等長変換であり、 ker( B * ) ⊂ ker( C )ならば一意です 。一般に、任意の有界演算子 A に対して、
( A * A ) 1/2 は 通常の 関数計算によって与えられる A * A の一意の正の平方根です 。したがって、補題により、
ある部分等長変換 Uに対して、 ker( A * ) ⊂ ker( U ) ならば一意です。 P を( A * A ) 1/2 とする と、極分解 A = UPが得られます。同様の議論を使用して、 A = P'U ' を示すことができることに注意してください。 ここで、 P' は正で、 U ' は 部分等長変換です。
A
∗
A
=
(
A
∗
A
)
1
/
2
(
A
∗
A
)
1
/
2
,
{\displaystyle A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},}
A
=
U
(
A
∗
A
)
1
/
2
{\displaystyle A=U\left(A^{*}A\right)^{1/2}}
H が有限次元 の場合、 U はユニタリ演算子に拡張できますが、これは一般には当てはまりません (上記の例を参照)。代わりに、極分解は 特異値分解 の演算子バージョンを使用して示すことができます 。
連続関数計算 の性質により 、 | A | は A によって生成された C*-代数 内にあります。部分等長変換についても、同様ですが弱い記述が成り立ちます。つまり、 Uは A によって生成された フォン・ノイマン代数 内にあります 。 A が可逆である場合、極部分 Uも C*-代数 内にあります 。
無制限演算子 A が 複素ヒルベルト空間間の 閉じた稠密に定義された 非有界作用素 である場合、それは依然として (一意の) 極分解 を持ちます
。ここで、 | A | は A と同じ定義域を持つ (おそらく非有界の) 非負自己随伴作用素であり 、 U は範囲 ran(| A |)の直交補集合上で消える部分等長変換です 。
A
=
U
|
A
|
{\displaystyle A=U|A|}
証明には上記と同じ補題が使われ、これは一般に非有界演算子に当てはまります。dom( A * A ) = dom( B * B )かつ すべての h ∈ dom( A * A ) に対して A * Ah = B * Bhの場合、 A = UB となる部分等長写像 U が存在します 。U はran( B ) ⊥ ⊂ ker( U )の場合に一意です 。演算子 A が閉じていて稠密に定義されているため、演算子 A * Aは自己随伴（稠密な領域を持つ）であることが保証され、したがって ( A * A ) 1/2 を定義できます 。補題を適用すると極分解が得られます。
非有界演算子 A が フォンノイマン代数 Mに 属し 、 A = UP が その極分解である場合、 U は M に含まれ、 P のスペクトル射影 1 B ( P ) も [0, ∞) 内の 任意のボレル集合 B に対して M に含まれます。
四元数の極分解 正規直交基底四 元数 による 四元数 の極分解は、 右ベルソル と呼ばれる マイナス 1 の平方根 の 単位 2 次元球面に依存します 。 この球面上の任意の と角度 − π < a ≤ π を考えると、 ベルソル は の 単位 3 次元球面上にあります。a = 0 および a = π の 場合 、 どの r が選択されても、ベルソルは 1 または −1 になります。 四元数 qの ノルム t は 、原点から qまでの ユークリッド距離 です。四元数が単なる実数ではない場合は、 一意の 極分解が存在します 。
H
{\displaystyle \ \mathbb {H} \ }
1
,
i
^
,
j
^
,
k
^
{\displaystyle \ 1,{\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}\ }
r
^
∈
{
x
i
^
+
y
j
^
+
z
k
^
∈
H
∖
R
:
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
}
{\displaystyle \ {\widehat {r}}\in \lbrace \ x\ {\widehat {i}}+y\ {\widehat {j}}+z\ {\widehat {k}}\in \mathbb {H} \smallsetminus \mathbb {R} \ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ \rbrace \ }
r
^
{\displaystyle \ {\widehat {r}}\ }
e
a
r
^
=
cos
(
a
)
+
r
^
sin
(
a
)
{\displaystyle \ e^{a\ {\widehat {r}}}{=}\cos(a)+{\widehat {r}}\ \sin(a)\ }
H
.
{\displaystyle \ \mathbb {H} ~.}
q
=
t
exp
(
a
r
^
)
.
{\displaystyle \ q=t\ \exp \left(\ a\ {\widehat {r}}\ \right)~.}
ここで、 r 、 a 、 t はすべて一意に決定され、 r は右バーサー （ r 2 = –1 ）、 a は 0 < a < π 、 t > 0 を 満たし ます 。
代替平面分解 デカルト平面 では 、次のような代替平面 環 分解が生じる。
x ≠ 0 の場合 、 z = x (1 + ε( y / x )) は、 ε 2 = 0である 双対数 z = x + yε の極分解です 。つまり、 ε は 冪零 です。この極分解では、単位円が直線 x = 1 に置き換えられ 、極角が 傾き y / x に置き換えられ、左半平面の 半径 x は負になります。 x 2 ≠ y 2 の場合 、 単位双曲線 x 2 − y 2 = 1 と その共役 x 2 − y 2 = −1は、単位双曲線の (1, 0) を通る枝に基づいて極分解を形成するために使用できます 。この枝は 双曲角 a によってパラメータ化され、次のように書きます。
cosh
(
a
)
+
j
sinh
(
a
)
=
exp
(
a
j
)
=
e
a
j
{\displaystyle \cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}}
ここで j 2 = +1であり、 分割複素数 の 算術 [7]が使用される。 (−1, 0) を通る分岐は− e aj によってトレースされる 。 j を掛ける演算は直線 y = x を 横切る点を反映するため、共役双曲線は je aj または − je aj によってトレースされる分岐を持つ。したがって、象限の 1 つにある点は、次のいずれかの形式で極分解される。
r
e
a
j
,
−
r
e
a
j
,
r
j
e
a
j
,
−
r
j
e
a
j
,
r
>
0
{\displaystyle re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0}
集合 { 1, −1, j , − j }には 、クラインの 4 元群 と同型となる積があります 。明らかに、この場合の極分解にはその群の要素が含まれます。
行列極分解の数値的決定 極分解 A = UP の近似値を計算するには、通常、ユニタリ因子 U を近似する。 [8] [9]この反復は、 1 の平方根に対する ヘロン法 に基づいており、から始めて 、次の数列
を計算する。
U
0
=
A
{\displaystyle U_{0}=A}
U
k
+
1
=
1
2
(
U
k
+
(
U
k
∗
)
−
1
)
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }
反転とエルミート共役の組み合わせは、特異値分解においてユニタリ因子が同じままで、反復が特異値上のヘロン法に簡約されるように選択されます。
この基本的な反復を改良することで、プロセスを高速化できます。
参照
参考文献
^ ホール 2015 セクション 2.5 ^ ホール 2015 定理 2.17 ^ ホール 2015 セクション 13.3 ^ Higham, Nicholas J.; Schreiber, Robert S. (1990). 「任意行列の高速極分解」 SIAM J. Sci. Stat. Comput . 11 (4). フィラデルフィア、ペンシルバニア州、米国: Society for Industrial and Applied Mathematics: 648–655. CiteSeerX 10.1.1.111.9239 . doi :10.1137/0911038. ISSN 0196-5204. S2CID 14268409.
^ ホール 2015 補題 2.18 ^ の正値性により 、固有値はすべて実数であり、厳密に正であることが意味されることに注意してください。
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
^ Sobczyk, G.(1995)「双曲数平面」、 大学数学ジャーナル 26:268–80 ^ Higham, Nicholas J. (1986). 「極分解の計算とその応用」 SIAM J. Sci. Stat. Comput . 7 (4). フィラデルフィア、ペンシルバニア州、米国: Society for Industrial and Applied Mathematics: 1160–1174. CiteSeerX 10.1.1.137.7354 . doi :10.1137/0907079. ISSN 0196-5204.
^ Byers, Ralph; Hongguo Xu (2008). 「極分解のためのニュートン反復法の新しいスケーリングとその後方安定性」 SIAM J. Matrix Anal. Appl . 30 (2). フィラデルフィア、ペンシルバニア州、米国: Society for Industrial and Applied Mathematics: 822–843. CiteSeerX 10.1.1.378.6737 . doi :10.1137/070699895. ISSN 0895-4798.
コンウェイ、JB ：関数解析コース。 数学の大学院テキスト 。ニューヨーク：シュプリンガー、1990年 ダグラス、RG ：ヒルベルト空間上の演算子の主因数分解および値域包含 について。アメリカ数学会誌 17、413-415 （1966） ホール、ブライアン C. (2015)、 リー群、リー代数、および表現: 初等入門 、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、 ISBN 978-3319134666 。 ヘルガソン、シグルドゥル （1978）、 微分幾何学、リー群、対称空間 、アカデミックプレス、 ISBN 0-8218-2848-7
![{\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308bf2851cafe2e0fb510380dcf9874a74b3e6a5)
