固有値アルゴリズム

数値解析において、最も重要な問題の一つは、行列の固有値を求めるための効率的かつ安定したアルゴリズムを設計することである。これらの固有値アルゴリズムは、固有ベクトルも求めることができる。

固有値と固有ベクトル

実数または複素数の $n \times n$ 正方行列 $A$ が与えられたとき、固有値 $λ$ とそれに対応する一般化固有ベクトル $vは、関係$ ^[¹^]を満たすペアである。

\left(A-\lambda I\right)^{k}{\mathbf {v} }=0,

ここで、 $v$ はゼロでない $n \times 1$ 列ベクトル、 $I$ は $n \times n$ 単位行列、 $k$ は正の整数であり、 $Aが実数であっても$ $λ$ と $v$ は複素数でも構いません。k = 1 の場合 $、$ $ベクトル$ は単に固有ベクトルと呼ばれ、ペアは固有対と呼ばれます。この場合、 $A$ $v$ $=$ $λ$ $v$ となります。Aの $任意$ の固有値 $λ$ には、通常の^[^{注 1}^]固有ベクトルが関連付けられています。なぜなら、 $k が$ 一般化固有ベクトル $v$ $に対して($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $v$ $= 0$ となる最小の整数である場合、 $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $-1$ $v$ は通常の固有ベクトルとなるからです。値 $k は常に$ $n$ 以下とすることができます。特に、 $λ$ に関連付けられたすべての一般化固有ベクトル $v$ $に対して、 ($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $n$ $v$ $= 0 となります$ 。

$行列A$ の各固有値 $λ$ に対して、カーネル $ker($ $A$ $-$ $λI$ $)は$ $λ$ に関連付けられたすべての固有ベクトル(および 0) から構成され、 $λ$ の固有空間と呼ばれます。一方、ベクトル空間 $ker(($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $n$ $)$ はすべての一般化固有ベクトルから構成され、一般化固有空間と呼ばれます。λの幾何学的重複度は、その固有空間の次元です。λの代数的重複度は、その一般化固有空間の次元です。後者の用語は、次の式によって正当化され $ます$ $。$

p_{A}\left(z\right)=\det \left(zI-A\right)=\prod _{i=1}^{k}(z-\lambda _{i})^{\alpha _{i}},

ここで、 $det$ は行列式、 $λ i$ $はA$ のすべての異なる固有値、 $α i$ は対応する代数的重複度です。関数 $p A (z)は$ $A$ の特性多項式です。したがって、代数的重複度は、特性多項式の零点としての固有値の重複度です。任意の固有ベクトルは一般化固有ベクトルでもあるため、幾何学的重複度は代数的重複度以下です。代数的重複度の合計は、特性多項式の次数 $n$ になります。方程式 $p$ $A$ $($ $z$ $) = 0は、その根が$ $A$ の固有値と正確に一致するため、特性方程式と呼ばれます。ケイリー・ハミルトンの定理により、 $A$ 自体も同じ方程式 $p$ $A$ $($ $A$ $) = 0$ に従います。^[^{注 2}^]その結果、行列の列は ${\textstyle \prod _{i\neq j}(A-\lambda _{i}I)^{\alpha _{i}}}$ は 0 または固有値 $λ j$ の一般化固有ベクトルでなければならない。なぜなら、それらはによって消滅するからである。 $(A-\lambda _{j}I)^{\alpha _{j}}$ 実際、列空間は $λ j$ の一般化固有空間である。

異なる固有値を持つ一般化固有ベクトルの任意の集合は線形独立であるため、 $C n$ 全体の基底は一般化固有ベクトルから構成されるように選択できる。より具体的には、この基底 ${v i} n i =1 は$ 次のように選択および構成できる。

$v i$ と $v j が$ 同じ固有値を持つ場合、 $i$ と $j$ の間の各 $kについて$ $v k も$ 同じ固有値を持ち、
$v i$ が通常の固有ベクトルではなく、λ i がその固有値である場合、 $(A$ − $λ i I) v i = v i -1 となります ($ 特に、 $v 1 は$ 通常の固有ベクトルでなければなりません)。

これらの基底ベクトルを行列 $V = [v 1 v 2 \dots v n]$ の列ベクトルとして配置すると、 $Vを使用して$ $A を$ ジョルダン標準形に変換できます。

V^{-1}AV={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\beta _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\beta _{2}&\ldots &0\\0&0&\lambda _{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &\lambda _{n}\end{bmatrix}},

ここで、 $λ i$ は固有値であり、 $β i = 1は$ $(A - λ i +1) v i +1 = v i$ の場合、 $β i = 0 は$ それ以外の場合である。

より一般的に、 $W が$ 任意の可逆行列であり、 $λ$ が一般化固有ベクトル $vを持つ$ $A$ の固有値である場合、 $($ $W$ $-1$ $AW$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $W$ $-$ $k$ $v$ $= 0 と$ なります。したがって、 $λ$ は一般化固有ベクトル $W$ $-$ $k$ $vを持つ$ $W$ $-1$ $AW$ の固有値です。つまり、類似の行列は同じ固有値を持ちます。

正規行列、エルミート行列、および実対称行列

The adjoint $M *$ of a complex matrix $M$ is the transpose of the conjugate of $M$ : $M * = M T$ . A square matrix $A$ is called normal if it commutes with its adjoint: $A * A = AA *$ . It is called Hermitian if it is equal to its adjoint: $A * = A$ . All Hermitian matrices are normal. If $A$ has only real elements, then the adjoint is just the transpose, and $A$ is Hermitian if and only if it is symmetric. When applied to column vectors, the adjoint can be used to define the canonical inner product on $C n$ : $w \cdot v = w * v$ .^{[note 3]} Normal, Hermitian, and real-symmetric matrices have several useful properties:

Every generalized eigenvector of a normal matrix is an ordinary eigenvector.
Any normal matrix is similar to a diagonal matrix, since its Jordan normal form is diagonal.
Eigenvectors of distinct eigenvalues of a normal matrix are orthogonal.
The null space and the image (or column space) of a normal matrix are orthogonal to each other.
For any normal matrix $A$ , $C n$ has an orthonormal basis consisting of eigenvectors of $A$ . The corresponding matrix of eigenvectors is unitary.
The eigenvalues of a Hermitian matrix are real, since $(λ - λ) v = (A * - A) v = (A - A) v = 0$ for a non-zero eigenvector $v$ .
If $A$ is real, there is an orthonormal basis for $R n$ consisting of eigenvectors of $A$ if and only if $A$ is symmetric.

It is possible for a real or complex matrix to have all real eigenvalues without being Hermitian. For example, a real triangular matrix has its eigenvalues along its diagonal, but in general is not symmetric.

Condition number

数値計算の問題はすべて、入力 $xに対する関数$ $f$ の評価として考えることができます。問題の条件数 $κ$ $($ $f$ $,$ $x$ $)$ は、関数の出力の相対誤差と入力の相対誤差の比であり、関数と入力の両方によって変化します。条件数は、計算中に誤差がどのように増加するかを示します。その常用対数は、結果の精度が入力よりも何桁少ないかを示します。条件数は最良のシナリオです。これは、どのように解決されるかに関わらず、問題に組み込まれた不安定性を反映しています。偶然を除いて、条件数で示されるよりも正確な結果を生成するアルゴリズムは存在しません。ただし、設計の悪いアルゴリズムは、著しく悪い結果を生成する可能性があります。たとえば、後述するように、正規行列の固有値を求める問題は常に条件が良好です。しかし、多項式の根を求める問題は非常に条件が悪い場合があります。したがって、特性多項式の根を見つけることで機能する固有値アルゴリズムは、問題がそうでない場合でも、条件が悪い可能性があります。

$線形方程式A v = b$ を解く問題（ただし $A$ は可逆行列）の場合、行列条件数 $κ (A -1, b)は$ $|| A || op || A -1 || op$ で与えられます。ここで、|| || _opは $C$ $n$ 上の通常のユークリッドノルムに従属する演算子ノルムです。この数は $bに依存せず、$ $A$ と $A$ $-1$ で同じであるため、通常は単に行列 $A$ の条件数 $κ$ $($ $A$ $)$ と呼ばれます。この値 $κ$ $($ $A$ $)は、$ $A$ の最大特異値と最小特異値の比の絶対値でもあります。A $が$ ユニタリ行列の場合、 $||$ $A$ $||$ $op$ $= ||$ $A$ $-1$ $||$ $op$ $= 1$ となるため、 $κ$ $($ $A$ $) = 1 と$ なります。一般的な行列の場合、演算子ノルムの計算はしばしば困難です。このため、条件数を推定するために他の行列ノルムがよく使用されます。

固有値問題について、BauerとFikeは、 $λが$ 固有ベクトル行列 $V$ を持つ対角化可能な $n \times n$ 行列 $A$ の固有値である場合、 $λ$ を計算する際の絶対誤差は $κ$ $($ $V$ $)と$ $A$ の絶対誤差の積で抑えられることを証明した。^[²^]その結果、 $λ$ を求める条件数は $κ$ $($ $λ$ $,$ $A$ $) =$ $κ$ $($ $V$ $) = ||$ $V$ $||$ $op$ $||$ $V$ $-1$ $||$ $op$ となる。A $が$ 正規行列であれば、 $V$ はユニタリ行列となり、 $κ$ $($ $λ$ $,$ $A$ $) = 1と$ なる。したがって、すべての正規行列の固有値問題は良好な条件となる。

$正規行列A$ の固有値 $λ$ に対応する固有空間を求める問題の条件数は、 $λと$ $A$ の他の異なる固有値との間の最小距離に反比例することが示されている。^{[ 3 ]}特に、正規行列の固有空間問題は、孤立した固有値に対して良好な条件となる。固有値が孤立していない場合、期待できる最善のことは、近傍の固有値のすべての固有ベクトルの張る範囲を特定することである。

アルゴリズム

固有値を計算する最も信頼性が高く、最も広く使用されているアルゴリズムは、ジョン・GF・フランシスとヴェラ・N・クブラノフスカヤのQRアルゴリズムであり、20世紀のトップ10アルゴリズムの1つと考えられています。^{[ 4 ]}

任意の単項式多項式は、対応する行列の特性多項式です。したがって、固有値を求める一般的なアルゴリズムは、多項式の根を求めるためにも使用できます。アーベル・ルフィニの定理によれば、4 次元を超えるそのようなアルゴリズムは、無限であるか、基本的な算術演算や分数べき乗よりも複雑な関数を含む必要があります。このため、有限ステップで固有値を正確に計算するアルゴリズムは、ごく一部の特殊な行列クラスにしか存在しません。一般的な行列の場合、アルゴリズムは反復的であり、反復ごとに近似解の精度が向上します。

アルゴリズムによってはすべての固有値を生成するものもあれば、少数の固有値、あるいは1つの固有値しか生成しないものもあります。しかし、後者のアルゴリズムでもすべての固有値を求めることができます。行列 $A$ の固有値 $λが特定されると、それを利用して次回は別の解を求めるようにアルゴリズムを誘導したり、$ $λ$ が解として存在しない問題に問題を縮小したりすることができます。

方向転換は通常、シフトによって行われます。つまり、 $A を$ 定数 $μを用いて$ $A - μI$ に置き換えます $。A$ $-$ $μI$ に対して見つかった固有値に $μ を$ 再び加えることで、 $A$ の固有値が得られます。たとえば、べき乗反復法では、 $μ$ $=$ $λ$ となります。べき乗反復法は絶対値が最大の固有値を見つけるため、 $λ が$ 近似固有値であっても、べき乗反復法で λ を 2 回見つける可能性は低いでしょう。逆に、逆反復法に基づく手法は最小の固有値を見つけるため、 $μ は$ $λ$ から十分に離れた値、できれば他の固有値に近い値に選択されます。

$行列Aを、$ $Aが$ 自身に持つ行列 $A - λI$ の列空間に制限することで、次元削減が実現できます。A $-$ $λIは特異行列であるため、列空間の次元は小さくなります。その後、制限された行列に固有値アルゴリズムを適用できます。このプロセスは$ $、$ すべての固有値が見つかるまで繰り返すことができます。

固有値アルゴリズムが固有ベクトルを生成しない場合、 $μ を$ 固有値に近似した値に設定した逆反復ベースのアルゴリズムを使用するのが一般的な方法です。これにより、μ に最も近い固有値の固有ベクトルに迅速に収束します $。$ 小さな行列の場合、別の方法として、他の各固有値 $λ$ $'$ $に対してA - λ' I$ の積の列空間を調べる方法があります。

正規行列の単位固有ベクトル成分のノルムの公式は、1966年にロバート・トンプソンによって発見され、その後、他の数名によって独立に再発見された。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $A$ が正規行列である場合、 ${\textstyle n\times n}$ 固有値 $λ i (A)$ と対応する単位固有ベクトル $v i$ を持ち、その成分が $v i,j$ である正規行列 $A j$ を ${\textstyle n-1\times n-1}$ $行列Aから$ $i$ 番目の行と列を削除して得られる行列を $λk$ $($ $Aj$ )とし、 $λk ($ $Aj$ $)$ をその $k$ 番目の固有値とする。すると $|v_{i,j}|^{2}\prod _{k=1,k\neq i}^{n}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))=\prod _{k=1}^{n-1}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}))$

もし $p,p_{j}$ は、 $A$ そして $A_{j}$ 式は次のように書き換えることができる。 $|v_{i,j}|^{2}={\frac {p_{j}(\lambda _{i}(A))}{p'(\lambda _{i}(A))}}$ 導関数を仮定すると $p'$ ゼロではない $\lambda _{i}(A)$ 。

ヘッセンベルグ行列と三重対角行列

三角行列の固有値は対角要素であるため、一般の行列に対しては、固有値を保持したまま行列を三角形式に変換するガウス消去法のような有限の方法はありません。しかし、三角に近いものに到達することは可能です。上ヘッセンベルグ行列は、副対角より下の要素がすべてゼロである正方行列です。下ヘッセンベルグ行列は、上対角より上の要素がすべてゼロである行列です。上ヘッセンベルグ行列と下ヘッセンベルグ行列の両方である行列は三重対角行列です。ヘッセンベルグ行列と三重対角行列は、ゼロ要素によって問題の複雑さが軽減されるため、多くの固有値アルゴリズムの出発点となります。一般の行列を同じ固有値を持つヘッセンベルグ行列に変換するために、いくつかの方法が一般的に使用されています。元の行列が対称行列またはエルミート行列であった場合、結果として得られる行列は三重対角行列になります。

固有値のみが必要な場合は、変換後の行列の固有値は元の行列と同じであるため、類似度行列を計算する必要はありません。固有ベクトルも必要な場合は、ヘッセンベルグ行列の固有ベクトルを元の行列の固有ベクトルに変換するために、類似度行列が必要になる場合があります。

対称三重対角固有値問題では、特性多項式上の二分法を用いて、すべての固有値（固有ベクトルを除く）をO(n log(n))の時間で数値的に計算できます。^{[ 11 ]}

反復アルゴリズム

反復アルゴリズムは、固有値に収束する数列を生成することで固有値問題を解きます。一部のアルゴリズムは、固有ベクトルに収束するベクトルの数列も生成します。最も一般的なのは、固有値の数列を、三角形または対角行列に収束する類似行列の数列として表現し、固有値を容易に読み取れるようにすることです。固有ベクトルの数列は、対応する類似行列として表現されます。

直接計算

一般行列の固有値を直接計算する単純なアルゴリズムは存在しないが、固有値を直接計算できる特殊な行列クラスは数多く存在する。これらには以下が含まれる。

三角行列

三角行列の行列式は対角成分の積であるため、Tが三角行列であれば、 ${\textstyle \det(\lambda IT)=\prod _{i}(\lambda -T_{ii})}$ したがって、 Tの固有値はその対角成分である。

因数分解可能な多項式方程式

$pが$ 任意の多項式であり、 $p (A) = 0$ である場合、 $A$ の固有値も同じ式を満たします。pが $既知$ の因数分解を持つ場合、 $A$ の固有値はその根の中に含まれます。

例えば、射影とは、 $P$ $2$ $=$ $P$ を満たす正方行列 $P$ のことです。対応するスカラー多項式 $λ$ $2$ $=$ $λ$ の根は0 と 1 です。したがって、任意の射影の固有値は 0 と 1 になります。固有値として 0 が重複する回数は $P$ の零空間の次元であり、固有値として 1 が重複する回数は $P$ のランクです。

別の例として、あるスカラー $αに対して$ $A$ $2$ $=$ $α$ $2$ $I$ を満たす行列 $A$ があります。固有値は $\pm$ $α$ でなければなりません。射影演算子

P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\alpha }}\right)

P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\alpha }}\right)

満足する

AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}

そして

P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0.

$P$ $+$ と $P$ $-$ の列空間は、それぞれ $+$ $α$ と $-$ $α$ に対応する $A$ の固有空間である。

2×2行列

2次元から4次元までの行列については、固有値を求めるために使用できる根号を含む公式が存在する。2×2行列や3×3行列では一般的な手法であるが、4×4行列では根号の公式が複雑化するため、この方法はあまり魅力的ではない。

2×2行列の場合

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},

特性多項式は

\det {\begin{bmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{bmatrix}}=\lambda ^{2}\,-\,\left(a+d\right)\lambda \,+\,\left(ad-bc\right)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {tr}}(A)\,+\,\det(A).

したがって、固有値は二次方程式の解の公式を用いて求めることができる。

\lambda ={\frac {{\rm {tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}{2}}.

定義する ${\textstyle {\rm {gap}}\left(A\right)={\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}$ 2つの固有値間の距離を計算するのは簡単です

{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {ad}{{\rm {gap}}(A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{{\rm {gap}}(A)}}

$c$ と $d$ についても同様の式が成り立つ。このことから、固有値が分離されている場合、計算は良好な条件となることがわかる。

$固有ベクトルは、$ ケイリー・ハミルトンの定理 $を$ 利用して求めることができます $。λ₁$ 、λ₂が固有値である場合 $、$ $($ $A$ − λ₁I)(A − λ₂I) = (A − λ₂I)(A − λ₁I) = 0 となる $ため$ $、 (A - λ₂I) の列ベクトルは (A - λ₁I) によって消去され、その$ $逆$ $も$ $同様$ です $。どちらの行列も$ ゼロ $で$ $ない$ $と仮定すると、それぞれの列ベクトル$ $に$ $は$ $、もう一方の固有値に対応する固有ベクトル$ $が$ $含まれるはずです$ 。（どちらかの行列がゼロの場合、 $A$ は単位行列の倍数となり、ゼロでないベクトルはすべて固有ベクトルとなります。）

例えば、

A={\begin{bmatrix}4&3\\-2&-3\end{bmatrix}},

すると $tr(A) = 4 - 3 = 1$ および $det(A) = 4(-3) - 3(-2) = -6$ となり、特性方程式は次のようになります。

0=\lambda ^{2}-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2),

そして固有値は3と-2です。

A-3I={\begin{bmatrix}1&3\\-2&-6\end{bmatrix}},\qquad A+2I={\begin{bmatrix}6&3\\-2&-1\end{bmatrix}}.

どちらの行列でも、列は互いに倍数になっているので、どちらの列でも使用できます。したがって、 $(1, -2) は固有値 -2 に関連付けられた固有ベクトルとして、$ $(3, -1)$ は固有値 3 に関連付けられた固有ベクトルとして使用できます。これは、それらを $A$ で乗算することで確認できます。

対称な3×3行列

対称な3 × 3行列 $A$ の特性方程式は次のとおりです。

\det \left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right)-\det(A)=0.

この方程式はカルダノ法またはラグランジュ法を用いて解くことができますが、 $A$ をアフィン変換すると式が大幅に簡略化され、直接三角関数による解が得られます。A $=$ $pB$ $+$ $qI$ $の$ 場合、 $A$ と $B$ は同じ固有ベクトルを持ち、 $βが$ $B$ の固有値であるのは、 $α = pβ + qが$ $A$ の固有値である場合のみです。 ${\textstyle q={\rm {tr}}(A)/3}$ そして ${\textstyle p=\left({\rm {tr}}\left((A-qI)^{2}\right)/6\right)^{1/2}}$ 与える

\det \left(\beta I-B\right)=\beta ^{3}-3\beta -\det(B)=0.

置換 $β = 2cos θ$ と恒等式 $cos 3 θ = 4cos 3 θ - 3cos θ$ を用いて簡略化すると、方程式は $cos 3 θ = det(B) / 2$ に簡略化される。したがって

\beta =2{\cos }\left({\frac {1}{3}}{\arccos }\left(\det(B)/2\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2.

$det(B)$ が複素数であるか、絶対値が 2 より大きい場合、逆余弦はk $の3 つの値すべてに対して同じ枝に沿って計算する必要があります。この問題は、$ $A が$ 実数で対称である場合には発生せず、単純なアルゴリズムになります。^{[ 17 ]}

% 実対称3x3行列Aが与えられた場合、固有値を計算します。% acosとcosはラジアン単位の角度に対して演算を行うことに注意してください。p1 = A ( 1 , 2 ) ^ 2 + A ( 1 , 3 ) ^ 2 + A ( 2 , 3 ) ^ 2 if ( p1 == 0 ) % A は対角行列です。eig1 = A ( 1 , 1 ) eig2 = A ( 2 , 2 ) eig3 = A ( 3 , 3 ) else q = trace ( A ) / 3 % trace(A) はすべての対角値の合計ですp2 = ( A ( 1 , 1 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 2 , 2 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 3 , 3 ) - q ) ^ 2 + 2 * p1 p = sqrt ( p2 / 6 ) B = ( 1 / p ) * ( A - q * I ) % I は単位行列ですr = det ( B ) / 2% 対称行列の正確な算術では -1 <= r <= 1ですが、計算誤差によりこの範囲からわずかに外れる場合があります。if ( r <= - 1 ) phi = pi / 3 elseif ( r >= 1 ) phi = 0 else phi = acos ( r ) / 3 end% 固有値は eig3 <= eig2 <= eig1 を満たすeig1 = q + 2 * p * cos ( phi ) eig3 = q + 2 * p * cos ( phi + ( 2 * pi / 3 )) eig2 = 3 * q - eig1 - eig3 % trace(A) = eig1 + eig2 + eig3 であるためend

再び、 $A$ の固有ベクトルは、ケイリー・ハミルトンの定理を利用して得ることができます。α 1 、α 2 、α 3 が A の異なる固有値である場合 $、 (A - α 1 I)$ $($ A − $α 2 I) (A - α 3 I) = 0 となります。したがって、$ これらの行列の任意の 2 つの積の列には、3 番目の固有値に対応する固有ベクトルが含まれます。ただし、 $α 3 = α 1$ の場合、 $(A - α 1 I) 2 (A - α 2 I) = 0$ および $(A - α 2 I)(A - α 1 I) 2 = 0$ となります。したがって、 $α$ $1$ の一般化固有空間は $A$ $-$ $α$ $2$ $I$ の列によって張られ、通常の固有空間は $($ $A$ $-$ $α$ $1$ $I$ $)($ $A$ $-$ $α$ $2$ $I$ $)$ の列によって張られる。α $2$ の通常の固有空間 $は$ $($ $A$ $-$ $α$ $1$ $I$ $)$ $2$ の列によって張られる。

例えば、

A={\begin{bmatrix}3&2&6\\2&2&5\\-2&-1&-4\end{bmatrix}}.

特性方程式は

0=\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-\lambda +1=(\lambda -1)^{2}(\lambda +1),

固有値1（重複度2）と-1を持つ。計算すると、

A-I={\begin{bmatrix}2&2&6\\2&1&5\\-2&-1&-5\end{bmatrix}},\qquad A+I={\begin{bmatrix}4&2&6\\2&3&5\\-2&-1&-3\end{bmatrix}}

そして

(A-I)^{2}={\begin{bmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{bmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}

したがって、 $(-4, -4, 4)$ は −1 の固有ベクトルであり、 $(4, 2, -2)$ は 1 の固有ベクトルです。 $(2, 3, -1)$ と $(6, 5, -3)$ はどちらも 1 に関連付けられた一般化固有ベクトルであり、どちらか一方を $(-4, -4, 4)$ と $(4, 2, -2)と組み合わせることで、$ $A$ の一般化固有ベクトルの基底を形成できます。固有ベクトルが見つかったら、必要に応じて正規化できます。

通常の3×3行列の固有ベクトル

3×3行列の場合 $A$ が正規分布であれば、外積を用いて固有ベクトルを求めることができます。 $\lambda$ は、 $A$ すると、零空間は $A-\lambda I$ は、その列空間に垂直です。 $A-\lambda I$ は零空間に存在する。つまり、それはに関連付けられた固有ベクトルとなる。 $\lambda$ この場合、列空間は2次元なので、固有空間は1次元でなければならず、他の固有ベクトルはすべてそれに平行になります。

もし $A-\lambda I$ 2 つの独立した列が含まれていないが、 $0$ ではない場合でも、クロス積は使用できます。この場合 $\lambda$ は重複度2の固有値なので、列空間に垂直な任意のベクトルは固有ベクトルになります。 $\mathbf {v}$ は、 $A-\lambda I$ 任意のベクトルを選択する $\mathbf {u}$ 平行ではない $\mathbf {v}$ 。それから $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$ そして $(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\times \mathbf {v}$ 垂直になります $\mathbf {v}$ したがって、はの固有ベクトルになります $\lambda$ 。

これは、 $A$ これは通常ではありません。なぜなら、このような行列では零空間と列空間が直交する必要はないからです。

注記

↑ここで「通常の」という用語は、「固有ベクトル」と「一般化固有ベクトル」の区別を強調するためにのみ使用されています。
↑ここで定数項は単位行列 $I$ を乗じたものです。
↑この内積の順序（共役線形位置が左側にある）は物理学者に好まれています。代数学者は共役線形位置を右側に置くことが多いです: $w \cdot v = v * w$ 。

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さらに読む

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[2] ここで「通常の」という用語は、「固有ベクトル」と「一般化固有ベクトル」の区別を強調するためにのみ使用されています。

[3] ここで定数項は単位行列 $I$ を乗じたものです。

[4] この内積の順序（共役線形位置が左側にある）は物理学者に好まれています。代数学者は共役線形位置を右側に置くことが多いです: $w \cdot v = v * w$ 。

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