伝送線路行列法

伝送線路行列( TLM )法は、電磁場を計算するための空間および時間の離散化法です。これは、電磁場と伝送線路のメッシュとの類似性に基づいています。TLM 法では、複雑な 3 次元の電磁構造を計算することができ、有限差分時間領域(FDTD) 法とともに最も強力な時間領域法の 1 つであることが証明されています。TLM は、イギリスの電気技師Raymond BeurleがチェルムズフォードのEnglish Electric Valve Companyで働いていたときに初めて研究されました。1963 年にノッティンガム大学の電気工学教授に任命された後、彼は 1971 年に Peter B. Johns と共同で「伝送線路行列を使用した 2 次元散乱問題の数値解法」という論文を執筆しました。^[1]

TLM 法は、ホイヘンスの波動伝播と散乱のモデルと、フィールド伝播と伝送線路の類似性に基づいています。したがって、計算領域は、ノードで相互接続された伝送線路のメッシュとして考えられます。右の図は、中央ノードに振幅 1 V の電圧パルスが入射する 2D TLM メッシュの簡単な例です。このパルスは、伝送線路理論に従って部分的に反射され、伝送されます。各線路の特性インピーダンスが であると仮定すると、入射パルスは、合計インピーダンスが である 3 本の伝送線路を並列に通過することになります。反射係数と透過係数は次のように与えられます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z/3}$

${\displaystyle R={\frac {Z/3-Z}{Z/3+Z}}=-0.5}$

${\displaystyle T={\frac {2(Z/3)}{Z/3+Z}}=0.5}$

入射パルスによってノードに注入されるエネルギーと散乱パルスの総エネルギーは、それぞれ

${\displaystyle E_{I}=vi\,\Delta t=1\left(1/Z\right)\Delta t=\Delta t/Z}$

${\displaystyle E_{S}=\left[0.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+(-0.5)^{2}\right](\Delta t/Z)=\Delta t/Z}$

したがって、このモデルでは エネルギー保存則が満たされます。

次の散乱イベントは、上記の原理に従って、隣接するノードを励起します。すべてのノードが球面波の二次ソースに変わることがわかります。これらの波が組み合わさって、全体の波形が形成されます。これは、光伝播のホイヘンスの原理に従っています。

TLM スキーマを示すために、時間と空間の離散化を使用します。時間ステップは で表され、空間の離散化間隔は、、で表されます。したがって、絶対時間と空間は、、 、となり、 は時刻で はセル座標です。 の場合、値が使用されます。これは格子定数です。この場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle t=k\,\Delta t}$${\displaystyle x=l\,\Delta x}$${\displaystyle y=m\,\Delta y}$${\displaystyle z=n\,\Delta z}$${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle m,n,l}$${\displaystyle \デルタ x=\デルタ y=\デルタ z}$${\displaystyle \Delta l}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {\Delta l}{c_{0}}},}$

自由空間の光速度は どこですか。${\displaystyle c_{0}}$

、および（すなわちTEモード分布）のみゼロでない成分を持つ電磁場分布を考えると、直交座標におけるマクスウェル方程式は次のように簡約される。 ${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {y}}}=-\mu {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {t}}}}$

これらの式を組み合わせると、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {y}^{2}}}=\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {t}^{2}}}}$

右の図は、直列ノードと呼ばれる構造を示しています。これは、空間次元 のブロックを表し、4 つのポートで構成されています。および は、伝送線路の分布インダクタンスと容量です。直列ノードは TE 波と同等であることを示すことができます。より正確には、メッシュ電流I、x方向電圧 (ポート 1 と 3)、およびy方向電圧 (ポート 2 と 4) は、フィールド成分、およびに関連している可能性があります。ポートの電圧 、および を考慮し、上図の極性が保持されている場合、以下が有効です。 ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle H_{z}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$

${\displaystyle -V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}}$

どこ。 ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=\Delta l}$

${\displaystyle \left(V_{3}-V_{1}\right)-\left(V_{4}-V_{2}\right)=2L'\,\Delta l{\frac {\partial I}{\partial t}}}$

${\displaystyle \left[E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)\right]\,\Delta x-[E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)]\Delta y=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}}$

そして両辺を${\displaystyle \Delta x\Delta y}$

${\displaystyle {\frac {E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)}{\Delta y}}-{\frac {E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)}{\Delta x}}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}{\frac {1}{\Delta x\,\Delta y}}}$

と を代入すると${\displaystyle \Delta x=\Delta y=\Delta z=\Delta l}$${\displaystyle I=H_{z}\,\Delta z}$

${\displaystyle {\frac {\Delta E_{x}}{\Delta y}}-{\frac {\Delta E_{y}}{\Delta x}}=2L'{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}}$

これは、 のときにマクスウェル方程式に帰着します。 ${\displaystyle \Delta l\rightarrow 0}$

同様に、ポート 1 と 4 のコンデンサの条件を使用すると、対応する他の 2 つのマクスウェル方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=C'{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=C'{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}}$

これらの結果から、シャント ノードの散乱行列を計算することができます。時間ステップkでのポート 1 の入射電圧パルスは と表されます。上の図の 4 つの線分をテブナン等価線に置き換えると、反射電圧パルスの次の式が成り立つことがわかります。 ${\displaystyle _{k}V_{1}^{i}}$

${\displaystyle _{k}V_{1}^{r}=0.5\left(_{k}V_{1}^{i}+_{k}V_{2}^{i}+_{k}V_{3}^{i}-_{k}V_{4}^{i}\right)}$

すべての入射波とすべての反射波が 1 つのベクトルに集められる場合、この式はすべてのポートに対して行列形式で記述できます。

${\displaystyle _{k}\mathbf {V} ^{r}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {V} ^{i}}$

ここで、およびは入射パルス振幅ベクトルと反射パルス振幅ベクトルです。 ${\displaystyle _{k}\mathbf {V} ^{i}}$${\displaystyle _{k}\mathbf {V} ^{r}}$

直列ノードの場合、散乱行列Sは次の形式になります。

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{array}}\right]}$

隣接するノード間の接続を直列ノードのメッシュで記述するには、右の図を見てください。ノード上のタイムステップk+1の入射パルスは、タイムステップkの隣接ノードからの散乱パルスであるため、次の接続方程式が導出されます。

${\displaystyle _{k+1}V_{1}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{3}^{r}(x,y-1)}$

${\displaystyle _{k+1}V_{2}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{4}^{r}(x-1,y)}$

${\displaystyle _{k+1}V_{3}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{1}^{r}(x,y+1)}$

${\displaystyle _{k+1}V_{4}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{2}^{r}(x+1,y)}$

散乱行列を変更することで、不均質で損失のある材料をモデル化できます。接続方程式を調整することで、さまざまな境界をシミュレートできます。 ${\displaystyle {\textbf {S}}}$

上で説明した直列ノードとは別に、TM モードのフィールド分布を表す並列 TLM ノードもあります。このような波の非ゼロ成分は、、、およびのみです。直列ノードの場合と同様の考慮により、並列ノードの散乱行列を導出できます。 ${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle H_{y}}$${\displaystyle E_{z}}$

電磁気学のほとんどの問題では、3 次元グリッドが必要です。TE および TM フィールド分布を記述する構造が現在あるため、直感的には、シャント ノードとシリーズ ノードの組み合わせを定義して、電磁場を完全に記述することが可能と思われます。このような試みは行われましたが、結果として得られる構造が複雑であるため、あまり役に立ちませんでした。上記のアナロジーを使用すると、物理的に離れたポイントで異なるフィールド コンポーネントを計算することになります。これにより、単純で効率的な境界定義を提供することが困難になります。これらの問題の解決策は、1987 年に Johns によって提供されました。彼は、右の図に示す対称凝縮ノード(SCN) と呼ばれる構造を提案しました。メッシュ セルの 6 つの側面のそれぞれに 2 つのフィールド偏波が割り当てられるため、SCN は 12 個のポートで構成されています。

SCN のトポロジーはテブナン等価回路を使用して分析することはできません。より一般的なエネルギーと電荷の保存原理を使用する必要があります。

時刻kにおけるSCNノード番号(l,m,n)の両側の電界と磁界は、12次元ベクトルでまとめることができる。

${\displaystyle _{k}\mathbf {E} _{l,m,n}=_{k}\left[E_{1},E_{2},\ldots ,E_{11},E_{12}\right]_{l,m,n}^{T}}$

${\displaystyle _{k}\mathbf {H} _{l,m,n}=_{k}\left[H_{1},H_{2},\ldots ,H_{11},H_{12}\right]_{l,m,n}^{T}}$

これらは入射振幅ベクトルと散乱振幅ベクトルと次のように結び付けられる。

${\displaystyle _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}+{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}}$

${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}-{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}}$

ここで、はフィールドインピーダンス、はノードへの入射波の振幅のベクトル、は散乱振幅のベクトルです。入射波と散乱波の関係は、次の行列方程式で表されます。 ${\displaystyle Z_{F}={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}}$${\displaystyle _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}}$${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}}$

${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}}$

散乱行列Sは計算できる。図のように定義されたポートを持つ対称凝縮ノードの場合、次の結果が得られる。

${\displaystyle \mathbf {S} =\left[{\begin{array}{ccc}0&\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}\\\mathbf {S} _{0}^{T}&0&\mathbf {S} _{0}\\\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}&0\end{array}}\right]}$

ここでは次の行列が使われた

${\displaystyle \mathbf {S} _{0}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}0&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&1&0&0\\1&1&0&0\end{array}}\right]}$

異なる SCN 間の接続は、2D ノードの場合と同じ方法で行われます。

ジョージグリーン電磁気学研究所（GGIEMR）は、 MPIによる並列計算が可能な3D-TLMの効率的な実装をGGITLMというオープンソース化し、オンラインで公開しています。 ^[2]

• C. Christopoulos,伝送線路モデリング法: TLM、ニューヨーク州ピスカタウェイ、IEEE 出版、1995 年。ISBN 978-0-19-856533-8 
• Russer, P., 通信工学のための電磁気学、マイクロ波回路およびアンテナ設計、第 2 版、Artec House、ボストン、2006 年、ISBN 978-1-58053-907-4 
• PB Johns および MO'Brien。「非線形集中ネットワークを解くための伝送線路モデリング (TLM) 法の使用」、The Radio Electron and Engineer。1980 年。
• JL Herring、「電磁両立性研究のための伝送線路モデリング法の開発」、博士論文、ノッティンガム大学、1993 年。
• Mansour Ahmadian、医療用超音波の伝送線路マトリックス (TLM) モデリング、博士論文、エディンバラ大学 2001 年