行列分割

式（１）において、

ヤコビ法で用いられる分割（7 ）を適用してみましょう。Aを、 BがAのすべての対角要素からなり、CがAのすべての非対角要素の符号を反転させたものとなるように分割します。（もちろん、これは行列を2つの行列に分割する唯一の有効な方法ではありません。）

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A^{-1}} ={\frac {1}{47}}{\begin{pmatrix}18&13&16\\11&21&15\\13&12&22\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}&0&0\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}&0\\[4pt]0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} =\mathbf {B^{-1}C} ={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}k} ={\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

B ^{− 1} ≥ 0かつC ≥ 0^であるため、分割 ( 11 ) は正則分割である。A − ¹ > 0であるため、スペクトル半径は ${\displaystyle \rho (\mathbf {D} )}$< 1. ( Dの近似固有値は${\displaystyle \lambda _{i}\approx -0.4599820,-0.3397859,0.7997679.}$したがって、行列Dは収束し、方法 ( 5 ) は問題 ( 10 ) に対して必ず収束します。A の対角要素はすべてゼロより大きく、 Aの非対角要素はすべてゼロより小さく、Aは厳密に対角優位であることに注意してください。^{[ 11 ]}

問題（10 ）に方法（5 ）を適用すると、次の形式になる。

方程式（ 12）の厳密解は

式（ 12 ）の最初の数回の反復は、 x ^（0） =（0.0、0.0、0.0）^Tから始まる以下の表に示されています。この表から、この方法は明らかに解（ 13 ）に収束していることがわかりますが、かなりゆっくりです。

前述のように、ヤコビ法（7 ）は、上記で示した特定の正則分割（ 11 ）と同じです。

問題（10 ）の行列Aの対角成分はすべて非ゼロであるため、行列Aを分割（6）として表すことができる。

次に

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}20&0&0\\5&30&0\\13&6&24\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}U} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}},\quad \mathbf {(D-L)^{-1}k} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

問題（10 ）にガウス・ザイデル法（8 ）を適用すると、次の形式になる。

式（ 15 ）の最初の数回の反復は、 x ^（0） =（0.0、0.0、0.0）^Tから始まる以下の表に示されています。この表から、この方法は明らかに解（ 13）に収束しており、上記のヤコビ法よりもやや速いことがわかります。

ω = 1.1とする。逐次過緩和法における問題 ( 10 ) の行列Aの分割 ( 14 ) を用いると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0.55&3&0\\1.441&0.66&2.4\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {\omega (D-\omega L)^{-1}k} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

問題（10 ）に適用される逐次過緩和法（9 ）は、次の形式をとる。

式（ 16 ）の最初の数回の反復は、 x ^（0） =（0.0、0.0、0.0）^Tから始まる以下の表に示されています。この表から、この方法は明らかに解（ 13）に収束しており、上記のガウス・ザイデル法よりもわずかに速いことがわかります。