圧縮センシング

圧縮センシング（圧縮センシング、圧縮サンプリング、スパースサンプリングとも呼ばれる）は、劣決定線形システムの解を見つけることで、信号を効率的に取得して再構築するための信号処理技術である。これは、最適化を通じて信号のスパース性を利用して、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理で必要なサンプルよりもはるかに少ないサンプルから信号を回復できるという原理に基づいている。回復が可能な条件は2つある。1つ目はスパース性で、信号がある領域でスパースであることが必要である。2つ目は非コヒーレンスで、これは等尺性特性を通じて適用され、スパース信号には十分である。^{[1] [2]}圧縮センシングは、たとえば、非コヒーレンス条件が通常満たされるMRIに応用されている。 ^[3]

信号処理の工学分野における共通の目標は、一連のサンプリング測定から信号を再構築することです。一般に、信号が測定されていない間は信号を再構築する方法がないため、このタスクは不可能です。しかし、信号に関する事前の知識や仮定があれば、一連の測定から信号を完全に再構築することが可能です (この一連の測定を取得することをサンプリングと呼びます)。時間の経過とともに、エンジニアはどの仮定が現実的で、どのように一般化できるかについての理解を深めてきました。

信号処理における初期の画期的な進歩は、ナイキスト・シャノンのサンプリング定理でした。これは、実際の信号の最高周波数がサンプリング レートの半分未満である場合、信号はsinc 補間によって完全に再構築できるというものです。主な考え方は、信号の周波数の制約に関する事前の知識があれば、信号を再構築するために必要なサンプル数が少なくなるというものです。

2004年頃、エマニュエル・カンデス、ジャスティン・ロンバーグ、テレンス・タオ、デビッド・ドノホは、信号のスパース性に関する知識があれば、サンプリング定理で必要とされるよりもさらに少ないサンプル数で信号を再構成できることを証明しました。^{[4] [5]}このアイデアは圧縮センシングの基礎となっています。

圧縮センシングは、歴史的に他の科学分野で使用されてきた技術に依存しています。^[6]統計学では、最小二乗法はラプラスによって導入された-ノルムによって補完されました。線形計画法とダンツィヒの単体法の導入に続いて、 -ノルムは計算統計で使用されました。統計理論では、 -ノルムはジョージ W. ブラウンとその後の中央値不偏推定量の著者によって使用されました。これは、ピーター J. フーバーとロバスト統計に取り組む他の人々によって使用されました。-ノルムは信号処理でも使用されました。たとえば、1970年代には、地震学者がナイキスト-シャノン基準を満たしていないと思われるデータに基づいて地球内の反射層の画像を構築しました。^[7]これは、1993年のマッチング追跡、 1996年のロバート ティブシラニによるLASSO推定量^[8]、1998年の基底追跡 で使用されました。 ^[9]${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$

一見すると、圧縮センシングはサンプリング定理に違反しているように見えるかもしれません。なぜなら、圧縮センシングは、問題の信号のスパース性に依存し、その最高周波数には依存しないからです。これは誤解です。サンプリング定理は、必要条件ではなく、十分な条件が与えられた場合に完全な再構成を保証するからです。従来の固定レートサンプリングとは根本的に異なるサンプリング方法は、サンプリング定理に「違反」することはできません。高周波成分を含むスパース信号は、従来の固定レートサンプリングと比較して、圧縮センシングを使用すると大幅にサンプリング不足になる可能性があります。^[10]

不確定な線形方程式系には方程式よりも多くの未知数があり、一般に解の数は無限にあります。下の図は、の解を求める方程式系を示しています。 ${\displaystyle \mathbf {y} =D\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

このようなシステムの解を選択するには、必要に応じて追加の制約または条件 (滑らかさなど) を課す必要があります。圧縮センシングでは、スパース性の制約を追加して、少数の非ゼロ係数を持つ解のみを許可します。すべての劣決定線形方程式系がスパース解を持つわけではありません。ただし、劣決定システムに一意のスパース解がある場合、圧縮センシング フレームワークによってその解を回復できます。

圧縮センシングは、多くの興味深い信号の冗長性を利用します。それらは純粋なノイズではありません。特に、多くの信号はスパースです。つまり、ある領域で表現すると、多くの係数がゼロに近いかゼロに等しいということです。^{[11]これは、多くの形式の}非可逆圧縮で使用されるのと同じ考え方です。

圧縮センシングは通常、信号がスパースであることがわかっている基底とは異なる 基底で、圧縮測定とも呼ばれるサンプルの加重線形結合を行うことから始まります。Emmanuel Candès、Justin Romberg、 Terence Tao、 David Donohoが見つけた結果は、これらの圧縮測定の数が少なくても、ほぼすべての有用な情報が含まれている可能性があることを示しました。したがって、画像を意図した領域に戻すタスクには、取得された圧縮測定の数が完全な画像のピクセル数よりも少ないため、劣決定行列方程式を解くことが含まれます。ただし、初期信号がスパースであるという制約を追加すると、この劣決定線形方程式系を解くことができます。

このような問題に対する最小二乗法は、ノルムを最小化すること、つまりシステム内のエネルギー量を最小化することです。これは通常、数学的には単純です (サンプリングされた基底の擬似逆行列による行列乗算のみが含まれます)。ただし、これは、未知の係数が非ゼロのエネルギーを持つ多くの実際のアプリケーションでは悪い結果につながります。 ${\displaystyle L^{2}}$

不確定な線形方程式を解くときにスパース制約を強制するには、解の非ゼロ成分の数を最小限に抑えます。ベクトルの非ゼロ成分の数を数える関数は、 David Donoho によって「ノルム」と呼ばれました。^{[注 1]}${\displaystyle L^{0}}$

Candèsらは、多くの問題において、技術的な意味でノルムがノルムと同等である可能性が高いことを証明しました。この同等性の結果により、問題 を解くことが可能になりますが、これは問題 よりも簡単です。最小のノルムを持つ候補を見つけることは、効率的な解決法がすでに存在する線形計画として比較的簡単に表現できます。^[13] 測定値に有限量のノイズが含まれる可能性がある場合、ノイズに直面してもスパース性を維持し、正確な線形計画よりも速く解くことができるため、基底追求ノイズ除去が線形計画よりも好まれます。 ${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{0}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{0}}$${\displaystyle L^{1}}$

全変動は、実数値関数の空間（1変数の関数の場合）または積分可能関数の空間（多変数の関数の場合）で定義される非負の 実数値関数として考えることができます。特に信号の場合、全変動は信号の絶対勾配の積分を指します。信号と画像の再構成では、全変動正規化として適用されます。その基本原理は、過剰な詳細を持つ信号は高い全変動を持ち、エッジなどの重要な情報を保持しながらこれらの詳細を削除すると、信号の全変動が削減され、信号対象が問題の元の信号に近づくというものです。

信号と画像の再構成の目的で、最小化モデルが使用されます。他のアプローチには、この記事で以前に説明した最小二乗法も含まれます。これらの方法は非常に遅く、信号の再構成が完全ではありません。現在の CS 正則化モデルは、元の画像のスパース事前分布を組み込むことでこの問題に対処しようとします。その 1 つが全変動 (TV) です。従来の TV アプローチは、区分的に一定のソリューションを提供するように設計されています。これらのいくつかには (後述のように)反復スキームを使用する制約付き最小化が含まれます。この方法は高速ですが、その後、エッジが過度に平滑化され、画像のエッジがぼやけてしまいます。^{[14]反復的な再重み付けを行う TV 法は、画像内の大きな勾配値の影響を減らすために実装されています。これは、エッジ保存全変動として知られる方法として、}コンピューター断層撮影(CT) 再構成で使用されています。しかし、勾配の大きさはデータ忠実度と正規化項の間の相対的なペナルティ重みの推定に使用されるため、この方法はノイズやアーティファクトに対して堅牢ではなく、CS 画像/信号の再構築に十分な精度がなく、したがって、より小さな構造を保持できません。 ${\displaystyle \ell_{1}}$${\textstyle \ell _{1}}$

この問題に関する最近の進歩には、CS再構成に反復的な方向性TV改良を使用することが含まれます。^[15]この方法には2つの段階があります。最初の段階では、初期方向フィールドを推定して改良します。これは、指定された画像のエッジ検出によるノイズの多い点ごとの初期推定として定義されます。第2段階では、方向性TV正則化を利用してCS再構成モデ​​ルが提示されます。これらのTVベースのアプローチ（反復的に再重み付けされたl1最小化、エッジ保存TV、方向性方向フィールドとTVを使用した反復モデル）の詳細については、以下を参照してください。

制約付き最小化を使用するCS再構成モデ​​ルでは、^[16]係数が大きいほどノルムで大きなペナルティが課せられます。ゼロでない係数をより民主的にペナルティするように設計された、最小化の重み付き定式化を持つことが提案されました。適切な重みを構築するために反復アルゴリズムが使用されます。^[17]各反復では、ノルムに最も近い凹ペナルティ関数の局所的最小値を見つけることによって、1つの最小化問題を解く必要があります。通常はペナルティ関数曲線の急激な遷移を回避するための追加パラメーターが、安定性を確保し、1つの反復でのゼロ推定値が次の反復で必ずしもゼロ推定値にならないようにするために反復方程式に導入されます。この方法では基本的に、現在のソリューションを使用して次の反復で使用する重みを計算します。 ${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle \ell_{0}}$

初期の反復では不正確なサンプル推定値が見つかる場合がありますが、この方法では後の段階でこれらをダウンサンプリングして、より小さい非ゼロ信号推定値に重みを付けます。欠点の 1 つは、関数の凹面性によりグローバル最小値が毎回得られるとは限らないため、有効な開始点を定義する必要があることです。もう 1 つの欠点は、この方法では、基になる画像構造に関係なく、画像勾配に均一にペナルティを課す傾向があることです。これにより、特に低コントラスト領域のエッジが過度に平滑化され、低コントラスト情報が失われます。この方法の利点には、スパース信号のサンプリング レートの削減、ノイズやその他のアーティファクトの除去に対して堅牢な画像の再構築、および非常に少ない反復の使用などがあります。これは、スパース勾配を持つ画像の回復にも役立ちます。

下の図で、P1 は、データ忠実度項によって制約されるファンビーム形状の投影行列Pの反復再構成プロセスの第 1 ステップを指します。正規化が実行されないため、ノイズやアーティファクトが含まれる場合があります。P1の最小化は、共役勾配最小二乗法によって解決されます。P2は、反復再構成プロセスの第 2 ステップを指し、エッジ保存全変動正規化項を使用してノイズとアーティファクトを除去し、再構成された画像/信号の品質を向上させます。P2 の最小化は、単純な勾配降下法によって行われます。収束は、各反復後に、の場合に であるかどうかをチェックして、画像陽性かどうかをテストすることによって決定されます ( は、患者画像の異なるボクセルでの異なる X 線線形減衰係数を指すことに 注意してください)。${\displaystyle f^{k-1}=0}$${\displaystyle f^{k-1}$${\displaystyle f}$

これは、エッジ保存 TV 正規化を使用した反復 CT 再構成アルゴリズムで、低線量 CT で低電流レベル (ミリアンペア) で取得された非常にアンダーサンプリングされたデータから CT 画像を再構成します。画像線量を減らすために、スキャナ検出器によって取得される X 線投影の数を減らすというアプローチが使用されます。ただし、CT 画像を再構成するために使用されるこの不十分な投影データにより、縞状のアーティファクトが発生する可能性があります。さらに、標準の TV アルゴリズムでこれらの不十分な投影を使用すると、問題が不確定になり、無限に多くの可能なソリューションにつながることになります。この方法では、追加のペナルティ重み付け関数が元の TV ノルムに割り当てられます。これにより、画像内の鋭い強度の不連続性を簡単に検出できるため、信号/画像再構成のプロセス中に復元されたエッジ情報を格納するために重みを調整できます。パラメーターは、エッジのピクセルに適用されるスムージングの量を制御し、エッジ以外のピクセルと区別します。の値は、勾配の大きさのヒストグラムの値に基づいて適応的に変更され、一定の割合のピクセルの勾配値が より大きいものになります。エッジ保存総変動項はこのようにして疎になり、実装が高速化されます。前方-後方分割アルゴリズムと呼ばれる2段階の反復プロセスが使用されます。^[18]最適化問題は2つのサブ問題に分割され、それぞれ共役勾配最小二乗法^[19]と単純勾配降下法で解決されます。この方法は、目的の収束が達成されるか、反復の最大回数に達すると停止します。^[14]${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$

この方法の欠点としては、再構成画像に小さな構造が欠けていることと、画像の解像度が低下することが挙げられます。ただし、このエッジ保存TVアルゴリズムでは、従来のTVアルゴリズムよりも反復回数が少なくて済みます。^[14]再構成画像の水平および垂直の強度プロファイルを分析すると、エッジポイントで急激なジャンプがあり、エッジ以外のポイントではごくわずかな変動があることがわかります。したがって、この方法は、TV法と比較して相対誤差が低く、相関が高くなります。また、あらゆる種類の画像ノイズや縞模様などの画像アーティファクトを効果的に抑制および除去します。

エッジやテクスチャの詳細が過度に平滑化されるのを防ぎ、ノイズやアーティファクトに対して正確で堅牢な再構成された CS 画像を得るために、この方法が使用されます。まず、画像のノイズの多い点ごとの方向フィールドの初期推定値、を取得します。このノイズの多い方向フィールドは、方向フィールド推定におけるノイズの影響を減らすために、後の段階で精緻化できるように定義されます。次に、次のように定式化される構造テンソルに基づく粗い方向フィールド推定が導入されます。 ^[20]。ここで、 は、標準偏差 を持つ画像ピクセル ポイント (i,j) に関連付けられた構造テンソルを指します。は、標準偏差 を持つガウス カーネルを指します。は、エッジ検出がノイズの影響を受けない、手動で定義された画像パラメーターを指します。 は画像の勾配を指し、 はこの勾配を使用して取得されたテンソル積を指します。^[15]${\displaystyle I}$${\displaystyle {\hat {d}}}$ ${\displaystyle J_{\rho }(\nabla I_{\sigma })=G_{\rho }*(\nabla I_{\sigma }\otimes \nabla I_{\sigma })={\begin{pmatrix}J_{11}&J_{12}\\J_{12}&J_{22}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle J_{\rho}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,\rho ^{2})}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \nabla I_{\sigma }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (\nabla I_{\sigma }\otimes \nabla I_{\sigma })}$

得られた構造テンソルはガウスカーネルで畳み込まれ、未知のノイズレベルを考慮して を高い値に設定することで、方向推定の精度が向上します。画像内のすべてのピクセル (i,j) について、構造テンソル J は対称で半正定値の行列です。画像内のすべてのピクセルを で畳み込むと、行列の正規直交固有ベクトル ω と υ が得られます。ω は、最大のコントラストを持つ主要な方向を指し、 υ は、最小のコントラストを持つ構造方向の方向を指します。方向フィールドの粗い初期推定は、 = υと定義されます。この推定は、強いエッジでは正確です。ただし、弱いエッジやノイズのある領域では、信頼性が低下します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle G}$${\displaystyle J}$${\displaystyle {\hat {d}}}$${\displaystyle {\hat {d}}}$

この欠点を克服するために、データ項がノ​​イズの影響を減らして精度を向上させる一方で、L2 ノルムによる 2 番目のペナルティ項が初期の粗い推定の精度を保証する忠実度項となる、洗練された方向モデルが定義されます。

この配向場は、次式によって CS 再構成のための方向全変動最適化モデルに導入されます。は回復する必要のある目的信号です。 Y は対応する測定ベクトル、 d は反復的に改良された配向場、 はCS 測定行列です。 この方法は、いくつかの反復を経て最終的に収束します。 は、前回の反復から再構成された画像の配向場近似推定値です(収束とその後の光学性能を確認するために、前回の反復が使用されます)。 と で表される 2 つのベクトル場の場合、 は、とのそれぞれの水平ベクトル要素と垂直ベクトル要素の乗算と、その後の加算を指します。 これらの方程式は、一連の凸最小化問題に簡略化され、その後、変数分割法と拡張ラグランジアン法 (閉形式の解を持つ FFT ベースの高速ソルバー) の組み合わせで解かれます。^[15]これ (拡張ラグランジアン) は、この方法の収束を保証する分割 Bregman 反復法と同等であると見なされます。方向フィールド d は と等しいと定義され、ここで の水平推定値と垂直推定値を定義します。 ${\displaystyle \min _{\mathrm {X} }\lVert \nabla \mathrm {X} \bullet d\rVert _{1}+{\frac {\lambda }{2}}\ \lVert Y-\Phi \mathrm {X} \rVert _{2}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle {\hat {d}}}$${\displaystyle X^{k-1}}$${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathrm {X} \bullet d}$${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle (d_{h},d_{v})}$${\displaystyle d_{h},d_{v}}$${\displaystyle d}$

配向場に対する拡張ラグランジアン法では、 を初期化し、これらの変数に関して の近似最小値を求める。次にラグランジアン乗数を更新し、収束が達成された時点で反復プロセスを停止する。反復方向全変動改良モデルの場合、拡張ラグランジアン法では を初期化する。^[21]${\displaystyle \min _{\mathrm {X} }\lVert \nabla \mathrm {X} \bullet d\rVert _{1}+{\frac {\lambda }{2}}\ \lVert Y-\Phi \mathrm {X} \rVert _{2}^{2}}$${\displaystyle d_{h},d_{v},H,V}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle \mathrm {X} ,P,Q,\lambda _{P},\lambda _{Q}}$

ここで、は新しく導入された変数で、 = 、= 、= 、=です。は のラグランジュ乗数です。 各反復で、変数 ( ) に関するの近似最小値が計算されます。 また、場改良モデルと同様に、ラグランジュ乗数が更新され、収束が達成されると反復プロセスが停止します。 ${\displaystyle H,V,P,Q}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \nabla d_{h}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \nabla d_{v}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \nabla \mathrm {X} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\bullet d}$${\displaystyle \lambda _{H},\lambda _{V},\lambda _{P},\lambda _{Q}}$${\displaystyle H,V,P,Q}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \mathrm {X},P,Q}$

配向場改良モデルの場合、ラグランジュ乗数は反復プロセスで次のように更新されます。

${\displaystyle (\lambda _{H})^{k}=(\lambda _{H})^{k-1}+\gamma _{H}(H^{k}-\nabla (d_{h})^{k})}$

${\displaystyle (\lambda _{V})^{k}=(\lambda _{V})^{k-1}+\gamma _{V}(V^{k}-\nabla (d_{v})^{k})}$

反復方向総変動改良モデルの場合、ラグランジュ乗数は次のように更新されます。

${\displaystyle (\lambda _{P})^{k}=(\lambda _{P})^{k-1}+\gamma _{P}P^{k}-\nabla (\mathrm {X} )^{k})}$

${\displaystyle (\lambda _{Q})^{k}=(\lambda _{Q})^{k-1}+\gamma _{Q}(Q^{k}-P^{k}\bullet d)}$

ここで、は正の定数です。 ${\displaystyle \gamma _{H},\gamma _{V},\gamma _{P},\gamma _{Q}}$

ピーク信号対雑音比(PSNR) と構造類似性指数 (SSIM) の測定基準と、パフォーマンスをテストするための既知のグラウンドトゥルース画像に基づいて、反復方向総変動は、エッジとテクスチャ領域を保存する非反復方法よりも再構成パフォーマンスが優れているという結論に達しました。方向フィールド改良モデルは、平坦な領域で方向のないピクセルの数を増やし、エッジのある領域で方向フィールドの一貫性を強化するため、このパフォーマンスの向上に大きな役割を果たします。

圧縮センシングの分野は、劣決定線形システム、グループテスト、ヘビーヒッター、スパースコーディング、多重化、スパースサンプリング、革新の有限速度など、信号処理と計算数学のいくつかのトピックに関連しています。その広い範囲と一般性により、信号処理と圧縮、逆問題の解決、放射システムの設計、レーダーと壁透過イメージング、アンテナの特性評価において、いくつかの革新的なCS強化アプローチが可能になりました。^{[22]圧縮センシングと強い親和性を持つイメージング技術には}、符号化開口と計算写真法 があります。

従来のCS再構成では、制約付き最小化による再構成にスパース信号（通常はナイキストサンプリングレートよりも低いレートでサンプリングされる）を使用する。このようなアプローチの最も初期の応用例の1つは、帯域制限データからのスパース反射信号を使用して地下層間の変化を追跡する反射地震学であった。 ^[23] 1990年代にLASSOモデルがスパースモデルの選択のための統計的手法として注目されるようになったとき、^[24]この手法は、過剰完備辞書からのスパース信号表現の計算調和解析にさらに使用された。その他の応用例には、レーダーパルスの非コヒーレントサンプリングが含まれる。Boydらによる研究^[16]では、スパースモデルの選択のためのLASSOモデルをアナログからデジタルへのコンバーターに適用している（現在のコンバーターは、量子化されたシャノン表現とともにナイキストレートよりも高いサンプリングレートを使用している）。これには、アナログ信号の極性が高速で変化し、その後各時間間隔の終わりに積分をデジタル化して変換されたデジタル信号を取得する並列アーキテクチャが含まれます。 ${\displaystyle l_{1}}$

圧縮センシングは、実験的な携帯電話のカメラセンサーで使用されています。このアプローチでは、複雑な解凍アルゴリズムを犠牲にして、画像あたりの画像取得エネルギーを最大15倍削減できます。計算にはデバイス外での実装が必要になる場合があります。^[25]

圧縮センシングはライス大学のシングルピクセルカメラに使用されています。^[26] ベル研究所は、グリッドからランダムに選択された絞りのスナップショットを繰り返して静止画を撮影するレンズレスシングルピクセルカメラにこの技術を採用しました。スナップショットの数が増えるほど画質が向上し、レンズ/フォーカス関連の収差を排除しながら、従来の画像処理のごく一部のデータしか必要としません。^{[27] [28]}

圧縮センシングは、単一のホログラムから推測できるボクセルの数を増やすことで、ホログラフィーにおける画像再構成を改善するために使用できます。 ^{[29] [30] [31]また、光学[32] [33]}およびミリ波^[34]ホログラフィー におけるアンダーサンプリング測定からの画像検索にも使用されます。

圧縮センシングは顔認識アプリケーションに使用されている。^[35]

圧縮センシングは、従来のハードウェアでの磁気共鳴イメージングスキャンセッションを 短縮するために使用されてきた^{[36] [37]}。^[38]再構成法には以下のものがある 。

• イスタ
• フィスタ
• シスタ
• イープレス^[39]
• エウィスタ^[40]
• EWISTARS ^[41]等

圧縮センシングは、フーリエ係数の測定回数を減らして高速な画像取得を可能にすることで、スキャン時間が長いという問題を解決します。これにより、比較的短いスキャン時間で高品質の画像が生成されます。もう 1 つの用途 (後述) は、X 線投影回数を減らした CT 再構成です。この場合、圧縮センシングは、主に画像ノイズとアーティファクトなどの高空間勾配部分を除去します。これは、低放射線量 (低電流 mA 設定) で高解像度の CT 画像を取得できるため、大きな可能性を秘めています。^[42]

圧縮センシングは、ネットワークトモグラフィーをネットワーク管理に応用する上で優れた成果を上げています。ネットワーク遅延推定とネットワーク輻輳検出は、どちらも係数行列がネットワークルーティング行列である線形方程式の不確定システムとしてモデル化できます。さらに、インターネットでは、ネットワークルーティング行列は通常、圧縮センシングを使用するための基準を満たしています。^[43]

2013年に、ある企業が圧縮センシングを活用した短波赤外線カメラを発表しました。^{[44]これらのカメラは、人間の目には見えない波長である}0.9μmから1.7μmまでの 光感度を持っています 。

電波天文学や光天文干渉計では、フーリエ面の完全なカバレッジは通常存在せず、ほとんどのハードウェア構成では位相情報が得られません。開口合成画像を得るために、さまざまな圧縮センシングアルゴリズムが採用されています。^[45] Högbom CLEANアルゴリズムは、1974年以来、電波干渉計から得られた画像の再構成に使用されており、上記の マッチング追跡アルゴリズムに似ています。

圧縮センシングと可動絞りを組み合わせることで、透過型電子顕微鏡の画像取得速度を向上させることができる。^[46]走査モードでは、圧縮センシングと電子ビームのランダム走査を組み合わせることで、より高速な画像取得とより少ない電子線量を実現し、電子ビームに敏感な材料の画像化が可能になった。^[47]

• 音声信号における圧縮センシング
• 低密度パリティ検査符号
• ノイズレット
• スパース近似
• スパースコーディング
• 圧縮センシングにおける検証ベースのメッセージパッシングアルゴリズム

• 「圧縮センシングの基礎」パート 1、パート 2、パート 3: IEEE 信号処理協会チュートリアル ライブラリ SigView の、ジョージア工科大学の Mark Davenport によるビデオ チュートリアル。
• 数学を使って低解像度データセットを高解像度サンプルに変換する Wired Magazine の記事
• ライス大学の圧縮センシングリソース。
• 圧縮センシングですべてのピクセルが重要に – AMS数理科学の最新動向シリーズの記事
• スパース再構築に関するWiki