対角優勢行列

数学では、正方行列が対角優勢であるとは、行列のどの行においても、その行の対角要素の大きさがその行の他のすべての（対角でない）要素の大きさの合計以上であることを意味する。より正確には、行列が対角優勢であるとは、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\ \ \forall \ i}$

ここで、 は番目の行と番目の列のエントリを表します。 ${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

この定義は弱い不等式を使用しているため、弱い対角優位性と呼ばれることもあります。厳密な不等式 (>) が使用されている場合は、厳密な対角優位性と呼ばれます。限定されていない対角優位性という用語は、文脈に応じて厳密な対角優位性と弱い対角優位性の両方を意味します。^[1]

最初の段落の定義では、各行のエントリを合計します。そのため、これは行対角優位性と呼ばれることもあります。定義を各列を下方向に合計するように変更すると、これは列対角優位性と呼ばれます。

厳密に対角優位な行列は、自明に弱連鎖対角優位行列です。弱連鎖対角優位行列は非特異行列であり、既約対角優位行列の族を含みます。これらは、弱対角優位であるが、少なくとも 1 つの行で厳密に対角優位である 既約行列です。

マトリックス

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}$

対角線上では 弱い優勢性がある。

${\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}$   以来   ${\displaystyle |+3|\geq |-2|+|+1|}$

${\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}$   以来   ${\displaystyle |3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$   以来   。${\displaystyle |+4|\geq |-1|+|+2|}$

マトリックス

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

対角優位ではないので

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$   以来   ${\displaystyle |-2|<|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$   以来   ${\displaystyle |+3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$   以来   。${\displaystyle |+0|<|+1|+|-2|}$

つまり、1 行目と 3 行目は対角優位条件を満たしていません。

マトリックス

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

対角優位である理由は

${\displaystyle |c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|}$   以来   ${\displaystyle |-4|>|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|}$   以来   ${\displaystyle |+6|>|+1|+|+2|}$

${\displaystyle |c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|}$   以来   。${\displaystyle |+5|>|+1|+|-2|}$

以下の結果は、ゲルシュゴリンの円定理から簡単に証明できます。ゲルシュゴリンの円定理自体の証明は非常に簡単です。

厳密に対角優位な行列（または、不可約対角優位な行列^[2]）は特異ではない。

実数の非負の対角要素を持つエルミート対角優勢行列は半正定値行列である。これは、固有値が実数であることと、ゲルシュゴリンの円定理から導かれる。対称性の要件が排除されると、このような行列は必ずしも半正定値行列ではない。例えば、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

しかし、その固有値の実部は、ゲルシュゴリンの円定理により非負のままです。

同様に、実数の正の対角要素を持つエルミート対角優勢行列は正定値行列です。

ガウス消去法(LU 分解) を実行する場合、厳密に列対角優勢行列に対して(部分的な)ピボット操作は必要ありません。

線形システムを解くためのヤコビ法とガウス・ザイデル法は、行列が厳密に（または不可約に）対角優勢である場合に収束します。

有限要素法で生じる多くの行列は対角優勢です。

対角優位性の考え方を少し変えて、テンパリー・リーブ代数におけるループのない図のペアリングが非退化であることを証明します。^[3]多項式要素を持つ行列の場合、対角優位性の適切な定義の 1 つは、各行に現れる の最高べきが対角線上にのみ現れる場合です。( の大きな値でのこのような行列の評価は、上記の意味で対角優位です。) ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

• Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996).行列計算. ISBN 0-8018-5414-8。
• ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (1985)。マトリックス分析(ペーパーバック版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38632-2。

• PlanetMath: 対角優位性の定義
• PlanetMath: 対角優勢行列の特性
• 数学の世界