無限次元最適化

特定の最適化問題では、未知の最適解は数値やベクトルではなく、関数や物体の形状などの連続量である場合があります。このような問題は、連続量が有限数の特定の自由度によって決定できないため、無限次元の最適化問題です。

• 平面上の 2 点間の最短経路を見つけます。この問題の変数は、2 点を結ぶ曲線です。平面上で定義された距離がユークリッド距離である場合、最適な解は、もちろん、2 点を結ぶ線分です。
• 丘や谷の多い国にある 2 つの都市から、一方の都市からもう一方の都市までの最短の道路を見つけます。この問題は上記の問題を一般化したものなので、解決法はそれほど明白ではありません。
• 高さが与えられたカップの上部と底部として機能する 2 つの円が与えられた場合、側壁の面積が最小となるカップの側壁の形状を求めます。直感的には、カップは円錐形または円筒形であると思われますが、これは誤りです。実際の最小表面はカテノイドです。
• 最小量の材料を使用して、与えられた交通量を維持できる橋の形状を見つけます。
• 敵のレーダーからの電波のほとんどを跳ね返す飛行機の形状を見つけます。

無限次元の最適化問題は、有限次元の問題よりも難しい場合があります。通常、このような問題を解決するには、偏微分方程式の手法を使用する必要があります。

無限次元最適化問題を研究する分野としては、変分法、最適制御、 形状最適化などがあります。

• 半無限プログラミング

• David Luenberger (1997)。ベクトル空間法による最適化。John Wiley & Sons。ISBN 0-471-18117  -X。
• Edward J. Anderson と Peter Nash 著、「無限次元空間における線形計画法」、Wiley、1987 年。
• MA Goberna と MA López、「線形半無限最適化」、Wiley、1998 年。
• Cassel, Kevin W.: 変分法とその科学と工学への応用、ケンブリッジ大学出版局、2013 年。