ヒルベルト行列

線型代数学において、ヒルベルト行列はヒルベルト （1894）によって導入され、各要素が単位分数である正方行列である。

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

たとえば、これは 5 × 5 ヒルベルト行列です。

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

エントリは積分によって定義することもできる

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

つまり、xのべき乗のグラミアン行列として表されます。これは、多項式による任意の関数の最小二乗近似で発生します。

ヒルベルト行列は悪条件行列の典型的な例であり、数値計算で使用するのが非常に難しいことで有名です。たとえば、上記の行列の2ノルム条件数は約4.8 × 10です。⁵ .

ヒルベルト（1894）は、近似理論における次の問題を研究するためにヒルベルト行列を導入した。「 I = [ a , b ]が実数区間であると仮定する。そのとき、積分が

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}dx}$

は、任意の小さい値ε > 0よりも小さいか？」この質問に答えるために、ヒルベルトはヒルベルト行列の行列式 の正確な公式を導出し、その漸近挙動を調査しました。彼は、区間の長さb − aが 4 より小さい 場合、質問の答えは「正」であると結論付けました。

ヒルベルト行列は対称かつ正定値です。ヒルベルト行列は完全に正でもあります（つまり、すべての部分行列の行列式が正です）。

ヒルベルト行列はハンケル行列の一例であり、コーシー行列の具体的な例でもあります。

行列式はコーシー行列式の特別な場合として閉じた形で表現できる。n × nヒルベルト行列 の行列式は

${\displaystyle \det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},}$

どこ

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.}$

ヒルベルトはすでに、ヒルベルト行列の行列式が整数の逆数であるという興味深い事実を述べている（OEISのシーケンスOEIS：A005249を参照）。これは、

${\displaystyle {\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.}$

スターリングの階乗近似を使用すると、次の漸近的な結果を確立できます。

${\displaystyle \det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},}$

ここで、a _{n は}定数 に収束します。ここで、AはGlaisher–Kinkelin 定数です。 ${\displaystyle e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450}$${\displaystyle n\to \infty }$

ヒルベルト行列の逆行列は二項係数を用いて閉じた形で表現することができ、その要素は

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{nj}}{\binom {n+j-1}{ni}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},}$

ここでnは行列の次数である。^[1]逆行列の要素はすべて整数であり、符号はチェッカーボードパターンを形成し、主対角線上で正となる。例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].}$

n  ×  nヒルベルト行列の条件数はとして増加します。 ${\displaystyle O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)}$

多項式分布にモーメント法を適用するとハンケル行列が得られる。これは区間[0, 1]の確率分布を近似する特殊なケースではヒルベルト行列となる。この行列を逆行列にすることで多項式分布近似の重みパラメータが得られる。^[2]