台形公式（微分方程式）

数値解析および科学計算において、台形公式は、積分を計算するための台形公式から派生した、常微分方程式を解くための数値解法である。台形公式は陰解法の一種であり、ルンゲ・クッタ法と線形多段階法の両方とみなすことができる。

微分方程式を解きたいと仮定します。 $${\displaystyle y'=f(t,y).}$$ 台形公式は次の式で与えられる。 $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},}$$ どこ${\displaystyle h=t_{n+1}-t_{n}}$ステップサイズです。^{[ 1 ]}

これは暗黙的なメソッドです: 値$\displaystyle y_{n+1}}$は方程式の両辺に現れるため、実際に計算するには、通常は非線形となる方程式を解く必要があります。この方程式を解く方法の1つとして、ニュートン法があります。オイラー法を使用して、解のかなり良い推定値を得ることができ、これをニュートン法の初期推定値として使用できます。^{[ 2 ]}簡単に言うと、オイラー法による推定値のみを使用することは、ヒューン法を実行することと同じです。

微分方程式を積分すると$t_n$に$t_n+1$すると、 $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$$ 台形公式によれば、右辺の積分は次のように近似できる。 $${\displaystyle \int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx {\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1})){\Big )}.}$$ 両方の式を組み合わせて、それを使用します${\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}$そして${\displaystyle y_{n+1}\approx y(t_{n+1})}$常微分方程式を解くための台形公式を得るため。^{[ 3 ]}

台形公式の求積法の誤差解析から、局所打ち切り誤差は$\displaystyle \tau _{n}}$微分方程式を解くための台形公式の限界は、次のように表すことができます。 $${\displaystyle |\tau _{n}|\leq {\tfrac {1}{12}}h^{3}\max _{t}|y'''(t)|.}$$ したがって、台形公式は二次法である。^{[ 4 ]}この結果を用いて、全体誤差が${\displaystyle O(h^{2})}$ステップサイズとして${\displaystyle h}$ゼロに近づく（この意味についてはビッグオー記法を参照）。 ^{[ 5 ]}

台形公式の 絶対安定領域は$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)<0\}.}$$ これには左半平面も含まれるため、台形公式はA安定である。第2のダールクイスト障壁は、台形公式がA安定な線形多段階法の中で最も正確であると述べている。より正確には、A安定な線形多段階法は最大で2次であり、2次A安定な線形多段階法の誤差定数は台形公式の誤差定数よりも良くなることはない。^{[ 6 ]}

実際、台形公式の絶対安定領域は、まさに左半平面です。つまり、台形公式を線形テスト方程式y' = λ yに適用した場合、数値解がゼロに収束するのは、厳密解がゼロに収束する場合に限られます。ただし、数値解の収束速度は、真の解の収束速度よりも何桁も遅くなる可能性があります。

• Iserles, Arieh (1996), 『微分方程式の数値解析入門』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55655-2。
• Süli, Endre; Mayers, David (2003),数値解析入門, Cambridge University Press , ISBN 0521007941。
• Saha、Satvik、台形法(PDF) 、 2025 年6 月 16 日取得

• クランク・ニコルソン法