切り捨てエラー

総和級数${\displaystyle e^{x}}$は次のような無限級数で与えられる。 $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

実際には、これらの項をすべて利用するには無限の計算時間が必要となるため、有限個の項しか使用できません。そこで、この数列の3つの項だけを使用すると仮定しましょう。 $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

この場合、切り捨て誤差は${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

例A：

次の無限級数が与えられたとき、級数の最初の3項のみを使用した場合の、 x = 0.75における打ち切り誤差を求めなさい。$${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

解決

級数の最初の３項のみを使用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}}$$

無限等比級数の和 $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$ は $${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

我々のシリーズでは、a = 1、r = 0.75となり、 $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0.75}}=4}$$

したがって、切り捨て誤差は $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875}$$

関数の正確な一次導関数の定義は次のように与えられる。 $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

しかし、導関数を数値的に計算する場合、${\displaystyle h}$有限でなければならない。選択によって生じる誤差${\displaystyle h}$有限であることは、微分という数学的過程における打ち切り誤差である。

例A：

の一次導関数を計算する際の打ち切りを見つけてください。${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$で${\displaystyle x=7}$ステップサイズを使用して${\displaystyle h=0.25}$

解決：

の一次導関数${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$は $${\displaystyle f'(x)=15x^{2},}$$ そして${\displaystyle x=7}$、 $${\displaystyle f'(7)=735.}$$

近似値は次式で与えられる。 $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$$

したがって、切り捨て誤差は $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625}$$

関数の正確な積分の定義${\displaystyle f(x)}$から${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$以下のように与えられます。

させて${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$閉区間上で定義された関数とする。${\displaystyle [a,b]}$実数のうち、${\displaystyle \mathbb {R} }$、 そして $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$Iの分割 である。 $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ どこ$\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$そして${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$。

これは、無限個の長方形を用いて曲線下の面積を求めていることを意味します。しかし、積分を数値的に計算する場合、使用できる長方形の数は有限です。無限個の長方形ではなく有限個の長方形を選択することによって生じる誤差は、積分という数学的プロセスにおける打ち切り誤差です。

例A。

積分については $$\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$2つのセグメントの幅が等しい 2セグメント左手リーマン和を使用した場合の打ち切り誤差を求めなさい。

解決

正確な値は次のとおりです $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

曲線下の面積を近似するために幅が等しい2つの長方形を使用する（図2参照）と、積分の近似値は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{切り捨て誤差}}&={\text{正確な値}}-{\text{近似値}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

時折、誤って丸め誤差（コンピュータで有限精度浮動小数点数を使用することによって生じる誤差）が切り捨て誤差と呼ばれることがあります。特に、数値が切り捨てられる場合にこの傾向が顕著です。しかし、これは「切り捨て誤差」の正しい用法ではありません。ただし、数値を切り捨てるという表現は許容される場合もあります。

切り捨てエラーは、${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$コンピュータ内で${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$なぜなら${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$（当然のことながら）${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$。 ここ、${\displaystyle A+(B+C)}$切り捨て誤差は1です。この切り捨て誤差は、コンピュータが非常に大きな整数の最下位桁を保存しないために発生します。