軌道最適化

構成によっては、オープンチェーン型ロボットマニピュレータは、ある程度の軌道最適化を必要とします。例えば、7つの関節と7つのリンク（7自由度）を持つロボットアームは冗長システムであり、エンドエフェクタの1つの直交座標位置は無限の数の関節角度位置に対応できるため、この冗長性を利用して、例えば作業空間内の障害物を回避したり、関節のトルクを最小化したりするための軌道を最適化できます。^{[ 5 ]}ロボットマニピュレータの目標経路を計算することは、産業製造において有用です。^{[ 6 ]}

軌道最適化は製造業、特に化学プロセスの制御に用いられています。^{[ 7 ]また、蒸発器[ 8 ]}や脱塩^{[ 9 ]}などの液体処理にも提案されています。

歩行ロボットの分野では、軌道最適化にはさまざまな応用例があります。たとえば、ある論文では、単純なモデルで二足歩行の軌道最適化を使用して、低速での移動には歩行がエネルギー的に有利であり、高速での移動には走行がエネルギー的に有利であることを示しました。^{[ 10 ]}他の多くの応用例と同様に、軌道最適化は、安定化コントローラが構築される公称軌道を計算するために使用できます。^{[ 11 ]}軌道最適化は、 Atlasのような複雑なヒューマノイドロボットの詳細な動作計画に適用できます。^{[ 12 ]}最後に、軌道最適化は、複雑度を低減したモデルを使用して、複雑な動的制約を持つロボットの経路計画に使用できます。^{[ 13 ]}

軌道最適化は、クワッドローターヘリコプターの軌道を計算するためによく使用されます。これらのアプリケーションでは、通常、高度に専門化されたアルゴリズムが使用されます。^{[ 14 ] [ 15 ]}ペンシルバニア大学GRASPラボが示した興味深いアプリケーションの1つは、投げられたフープをクワッドローターが通過できる軌道を計算することです。もう1つは、チューリッヒ工科大学フライングマシンアリーナによるもので、2つのクワッドローターが、倒立振子のようにバランスをとったポールを互いに投げ合うものです。クワッドコプターの最小エネルギー軌道を計算する問題も最近研究されています。^{[ 16 ]}

戦術ミサイルの場合、飛行プロファイルは推力と揚力の履歴によって決定されます。これらの履歴は、迎角指令履歴やミサイルが従わなければならない高度/射程スケジュールなどの技術を使用するなど、さまざまな方法で制御できます。ミサイルの設計要因、望ましいミサイル性能、およびシステム制約の各組み合わせにより、新しい一連の最適な制御パラメータが得られます。^{[ 17 ]}

宇宙船の誘導戦略は通常、軌道最適化問題を解くことによって決定されます。搭載スラスタによって加えられる力の大きさと方向の変化を表す推力プロファイルが計算され、通常は目的地に到達するのに必要な推進剤または時間を最小限に抑えることを目的としています。^{[ 18 ]}

シングルシューティングは、最も単純なタイプの軌道最適化手法です。基本的な考え方は、大砲の照準を合わせる方法に似ています。軌道のパラメータのセットを選択し、全体をシミュレーションし、ターゲットに命中したかどうかを確認します。軌道全体は単一のセグメントとして表現され、欠陥制約と呼ばれる単一の制約があり、シミュレーションの最終状態がシステムの望ましい最終状態と一致することを要求します。シングルシューティングは、問題が単純であるか、初期化が非常に良好な場合に効果的です。それ以外の場合は、間接的および直接的な定式化の両方が困難になる傾向があります。^{[ 19 ] [ 22 ] [ 23 ]}

マルチプルシューティングは、シングルシューティングを単純に拡張したもので、はるかに効果的です。軌道全体を単一のシミュレーション（セグメント）として表現するのではなく、アルゴリズムは軌道を多くの短いセグメントに分割し、各セグメント間に欠陥制約を追加します。結果として、大きな疎な非線形プログラムが生成され、これはシングルシューティングによって生成される小さな密なプログラムよりも解きやすい傾向があります。^{[ 22 ] [ 23 ]}この特定の疎構造は、オープンソースソフトウェアパッケージacados に実装されているような、カスタマイズされた数値ソルバーによって活用できます。

直接コロケーション法は、状態と制御の軌跡を多項式スプラインで近似することによって機能します。これらの方法は、直接転写と呼ばれることもあります。台形コロケーションは、よく使用される低次の直接コロケーション法です。ダイナミクス、パス目的、および制御はすべて線形スプラインを使用して表現され、ダイナミクスは台形求積法を使用して満たされます。エルミート・シンプソンコロケーションは、一般的な中次の直接コロケーション法です。状態は3次エルミートスプラインで表現され、ダイナミクスはシンプソン求積法を使用して満たされます。^{[ 19 ] [ 23 ]}

直交コロケーションは技術的には直接コロケーションのサブセットですが、実装の詳細が大きく異なるため、独自のメソッドセットとして扱うのが妥当です。直交コロケーションは、通常高次のスプラインを使用し、軌跡の各セグメントが異なる次数のスプラインで表現される可能性があるという点で、直接コロケーションとは異なります。この名前は、状態スプラインと制御スプラインで直交多項式を使用することに由来します。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}

擬似スペクトル離散化では、軌道全体が時間領域（独立変数）の基底関数の集合によって表現されます。基底関数は多項式である必要はありません。擬似スペクトル離散化はスペクトルコロケーションとも呼ばれます。 ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}解が滑らかな軌道最適化問題を解くために使用する場合、擬似スペクトル法はスペクトル（指数）収束を達成します。^{[ 28 ]}軌道が滑らかでない場合でも、収束は非常に速く、ルンゲ・クッタ法よりも高速です。^{[ 29 ] [ 30 ]}

1990年、デューイ・H・ホッジスとロバート・R・ブレス^{[ 31 ]}は、最適制御問題に対する弱ハミルトニアン有限要素法を提案した。そのアイデアは、最適性のための1次必要条件の弱変分形式を導出し、時間領域を有限区間に離散化し、各区間における状態、制御、随伴の単純な0次多項式表現を使用することであった。

微分動的計画法は、ここで説明した他の手法とは少し異なります。特に、転写と最適化をきれいに分離しません。代わりに、軌道に沿って反復的な順方向パスと逆方向パスのシーケンスを実行します。各順方向パスはシステムのダイナミクスを満たし、各逆方向パスは制御の最適性条件を満たします。最終的に、この反復は実行可能かつ最適な軌道に収束します。^{[ 32 ]}

前述の古典的な方法とは対照的に、生成型機械学習法は望ましい軌跡を生成するために使用できます。特に、拡散モデルは、各タイムステップで除去するノイズを推定することにより、データにノイズが追加されてデータ自体がノイズになるまで破壊的な順方向プロセスを反復的に逆方向に学習します。したがって、入力として容易にサンプリングできるランダムノイズが与えられると、拡散プロセスは妥当な対応するノイズのないデータポイントを復元します。最近の方法^{[ 33 ] [ 34 ]}は、連続するタイムステップでの状態-行動ペアの行列として軌跡をパラメータ化し、そのような行列を生成するように拡散モデルをトレーニングしました。生成されたサンプルの制御可能性の問題に対処するために、Diffuser メソッド^{[ 33 ]}は、生成されたサンプルを誘導する 2 つの手法を提案し、それによって最適化問題をサンプリング問題に縮小します。まず、ガイド付き拡散^{[ 35 ] [ 36 ]}を使用して、コスト (または報酬) 関数を生成プロセスに組み込むことができます。この目的のために、コスト関数の勾配は、各タイムステップで推定されたノイズの平均を変更します。第二に、軌道の開始状態と終了状態が既知であり、実行可能な経路を見つけるために軌道が制約を満たす必要があるモーションプランニング問題では、インペインティングアプローチを使用できます。最初の手法と同様に、事前分布によって軌道の分布が変更され、この場合、制約を満たす軌道（たとえば、ある状態に到達する軌道）に高い確率が割り当てられます。${\displaystyle s}$タイムステップで${\displaystyle t}$）であり、その他の軌道については確率はゼロである。結果として、この分布からサンプリングすると、制約を満たす軌道が得られる。

間接法で軌道最適化問題を解く場合、随伴方程式とその勾配を明示的に構築する必要があります。これはしばしば困難ですが、解の優れた精度指標が得られます。直接法は設定と解法がはるかに簡単ですが、組み込みの精度指標はありません。^{[ 19 ]}その結果、直接法は、特に重要度の低いアプリケーションでより広く使用されています。間接法は、精度が重要な航空宇宙などの特殊なアプリケーションでは依然として使用されています。

間接法が特に困難となるのは、経路不等式制約のある問題です。これらの問題では、制約が部分的に有効な解が存在する傾向があります。間接法の随伴方程式を構築する際には、制約が解の中でいつ有効になるかを明示的に記述する必要がありますが、これは事前に知ることが困難です。一つの解決策は、直接法を用いて初期推定値を計算し、それを用いて制約が規定された多段階問題を構築することです。結果として得られる問題は、間接法を用いて正確に解くことができます。^{[ 19 ]}

単一射撃法は、制御が非常に単純な問題（または非常に良い初期推定値がある問題）に最適です。たとえば、衛星ミッション計画問題では、唯一の制御はエンジンからの初期インパルスの大きさと方向です。^{[ 22 ]}

多重射撃法は、制御は比較的単純だが動特性が複雑な問題に適している傾向がある。経路制約を用いることもできるが、その結果得られる非線形計画問題は比較的解くのが難しくなる。

直接コロケーション法は、制御精度と状態精度が同程度の問題に適しています。これらの方法は（次数が低いため）他の方法に比べて精度は劣る傾向がありますが、経路制約が複雑な問題に対しては特に頑健です。

直交コロケーション法は、制御軌道の精度が重要な問題において、高精度な解を得るのに最適です。ただし、一部の実装では経路制約への対応に問題が生じる場合があります。これらの方法は、解が滑らかな場合に特に有効です。