ダイナミックリラクゼーション

動的緩和法は数値的手法であり、ケーブルや織物構造の「形状探索」に使用できます。その目的は、すべての力が均衡する形状を見つけることです。過去には、吊り下げチェーンと重り ( Gaudiを参照) を使用した直接モデリングや、「最小表面」を見つけるために調整する特性を持つ石鹸膜を使用してこの手法が採用されていました。

動的緩和法は、質量をノードに集中させ、ノード間の関係を剛性の観点から定義することによって、検討中の連続体を離散化することに基づいています（有限要素法も参照）。システムは、荷重の影響下で平衡位置の周りを振動します。反復プロセスの後に、時間内の疑似動的プロセスをシミュレートします。各反復はジオメトリの更新に基づきます。^[1]リープフロッグ積分に似ており、速度ベルレ積分に関連しています。

ニュートンの運動の第二法則（力は質量と加速度の積）を、時刻 における^番目のノードの方向で考慮すると、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{ix}(t)=M_{i}A_{ix}(t){\frac {}{}}}$

どこ：

${\displaystyle R}$残留力は

${\displaystyle M}$節点質量は

${\displaystyle A}$節点加速度は

形状検出のプロセスを高速化するために、架空の節点質量が選択される場合があることに注意してください。

速度、形状、残差の関係は、加速度の二重数値積分（ここでは中心差分形式^[2]）を実行することによって得ることができる。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=V_{ix}\left(t-{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{M_{i}}}R_{ix}(t)}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\Delta t\times V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)}$

どこ：

${\displaystyle \Delta t}$2 回の更新間の時間間隔です。

力の平衡の原理により、残差と形状の関係は次のようになります。

${\displaystyle R_{ix}(t+\Delta t)=P_{ix}(t+\Delta t)+\sum {\frac {T_{m}(t+\Delta t)}{l_{m}(t+\Delta t)}}\times (X_{j}(t+\Delta t)-X_{i}(t+\Delta t))}$

どこ：

${\displaystyle P}$適用される荷重成分

${\displaystyle T}$ノード間のリンクの張力と${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle l}$リンクの長さです。

合計は、ノードと他のノード間のすべての接続における力をカバーする必要があります。残差とジオメトリの関係、およびジオメトリと残差の関係を繰り返し使用することで、疑似動的プロセスがシミュレートされます。

1. 初期運動エネルギーとすべての節点速度成分をゼロに設定します。

${\displaystyle E_{k}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

${\displaystyle V_{i}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

2. ジオメトリ セットと適用された荷重コンポーネントを計算します。

${\displaystyle X_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

${\displaystyle P_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

3. 残差を計算します。

${\displaystyle T_{m}(t){\frac {}{}}}$

${\displaystyle R_{i}(t){\frac {}{}}}$

4. 制約ノードの残差をゼロにリセットする

5. 速度と座標を更新します。

${\displaystyle V_{i}(t+{\frac {\Delta t}{2}}){\frac {}{}}}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t){\frac {}{}}}$

6. 構造が静的平衡状態になるまでステップ3に戻る

減衰を使用することで、動的緩和をより計算効率よく（反復回数を減らして）行うことができます。^[1] 減衰には2つの方法があります。

• 粘性減衰は、ノード間の接続に粘性力成分があることを前提としています。
• 運動エネルギー減衰では、ピーク運動エネルギーの座標 (平衡位置) が計算され、ジオメトリがこの位置に更新され、速度がゼロにリセットされます。

粘性減衰の利点は、粘性特性を持つケーブルの現実を再現できることです。さらに、速度がすでに計算されているため、実現が容易です。運動エネルギー減衰は人工的な減衰であり、実際の効果ではありませんが、ソリューションを見つけるために必要な反復回数を大幅に削減できます。ただし、運動エネルギーとピーク位置を計算し、その後、ジオメトリをこの位置に更新する必要があるという計算上のペナルティがあります。

• 張力構造
• 最適化（数学）

• ASデイ「動的リラクゼーション入門」エンジニア1965年、219:218–221
• HA BUCHHOLDT、ケーブル屋根構造入門、第 2 版、ロンドン、テルフォード、1999 年