偽りの拡散

偽拡散は、対流拡散方程式の対流項を近似するために風上スキームを使用した場合に見られるエラーの一種です 。対流項にはより正確な中心差分スキームを使用できますが、セルペクレ数が2 を超えるグリッドでは中心差分スキームは不安定であり、より単純な風上スキームが使用されることがよくあります。風上差分スキームから生じるエラーは、2 次元または 3 次元の座標系で拡散のような外観を呈し、「偽拡散」と呼ばれます。2 次元および 3 次元の対流拡散問題の数値解における偽拡散エラーは、保存方程式の対流項の数値近似から生じます。過去 20 年間で、対流拡散方程式を解くための多くの数値手法が開発されてきましたが、問題のない手法はありません。しかし、偽拡散は最も深刻な問題の 1 つであり、数値解析者の間で論争と混乱の主な話題となっています。

偽拡散は、システムの 1 つ以上の主軸に対して非直交に流れる輸送特性の分布を解くために多次元の場合に風上スキームを使用したときに発生する、拡散のような外観を持つエラーとして定義されます。流れが各主軸に対して直交または平行である場合、エラーは発生しません。

図 1 では、どこでもu  = 2、v  = 2 m/s なので、速度場は均一で対角線(XX) に垂直です。境界条件は、 北壁と西壁の温度が 100 ̊C、東壁と南壁の温度が 0 ̊C です。この領域は 10×10 の均等なグリッドにメッシュ化されています。拡散係数≠ 0 の場合 (i) と拡散係数 = 0 の場合 (ii) の 2 つのケースを取ります。

この場合、西側と南側の壁からの熱は対流によって北側と東側の壁に向かって運ばれます。また、熱は上側の三角形から下側の三角形にかけて対角線XXに沿って拡散します。図2は、おおよその温度分布を示しています。

この場合、西側と南側の壁からの熱は、北側と東側への流れによって対流されます。対角線 XX を横切る拡散はありませんが、風上スキームを適用すると、実際の拡散が発生しているケース (i) と同様の結果が得られます。このエラーは、偽拡散と呼ばれます。

初期のアプローチでは、支配的な輸送方程式の微分形式の導関数は有限差分近似、通常は2次精度の中心差分近似に置き換えられました。しかし、ペクレ数が大きい場合（通常2より大きい）、この近似は不正確な結果を与えました。より安価だが1次精度しか持たない風上スキームを使用できるが、このスキームは多次元の場合に誤った拡散を伴う結果を生成することが、複数の研究者によって独立に認識されました^{[1] [2]}。誤った拡散に対抗するために多くの新しいスキームが開発されましたが、信頼性が高く、正確で経済的な離散化スキームはまだ利用できません。

メッシュ密度を上げると、 風上スキームによる誤った拡散が減ります。図 3 と 4 の結果では、メッシュ サイズが細かい図 4(b) で誤った拡散誤差が最も低くなっています。

誤った拡散誤差は、べき乗法則、QUICK法、指数法、SUCCAなどの手法を用いることで低減できる。^{[3] [4]}

単純な風上スキームでは、グリッド/流れ方向の傾斜を考慮していないため、偽拡散が発生します。2次元における偽拡散項の近似式は、de Vahl DavisとMallinson(1972) ^[5]によって与えられています。

ここで、Uは結果の速度、θ は速度ベクトルとx方向のなす角度です。結果の流れがいずれかのグリッド ライン セットと一致する場合、偽の拡散は発生しません。偽の拡散は、流れの方向がグリッド ラインに対して 45˚ の場合に最大になります。

および時刻t  +  ktにおけるテイラー級数を用いると、 ${\displaystyle \phi _{W}}$${\displaystyle \phi_{P}}$

対流の風上近似（UAC）によれば、 となる。式（2a）の高次項を無視すると、この近似による対流フラックスの誤差は となる。これは、拡散係数^[6]を持つ偽拡散によるフラックスの形をとる。${\displaystyle {\phi _{wk}=\phi _{Wk}}}$${\displaystyle {-\rho _{w}u_{w}\delta y_{i}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}}}$${\displaystyle {\phi }}$

下付き文字fc は、これが UAC を使用してその瞬間の対流フラックスを推定した結果生じた誤った拡散であることを思い出させるものです。 ${\displaystyle t+k\,\Delta t}$

SUCCAは、一般的な支配輸送方程式の離散化保存方程式に風上コーナーセルの影響を導入することで、局所的な流れの方向を考慮します。図5では、SUCCAは9つのセルグリッドクラスター内に適用されています。セルPのSWコーナー流入を考慮すると、保存された種の対流輸送に関するSUCCA方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\phi }}$

つまり、

つまり、

この定式化は収束と安定性の基準をすべて満たしている。^[7]

図 6 では、メッシュが細分化されるにつれて、アップウィンド方式の方がより正確な結果が得られますが、SUCCA はほぼ正確な解を提供し、多次元の誤った拡散エラーを回避するのにより役立ちます。

• 数値流体力学
• ナビエ・ストークス方程式
• 数値拡散
• 有限体積法
• テイラー級数

• パタンカール、スハス V. (1980)、数値熱伝達と流体の流れ、テイラー＆フランシスグループ、ISBN 9780891165224
• ヴェッセリング、ピーター（2001）、計算流体力学の原理、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-67853-3
• デイト、アニル W. (2005)、計算流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521853262