ボガッキ・シャンパイン法

ボガツキ・シャンパイン法は、常微分方程式の数値解法であり、1989 年に Przemysław Bogacki と Lawrence F. Shampine によって提案されました( Bogacki & Shampine 1989 )。ボガツキ・シャンパイン法は、 First Same As Last (FSAL) 特性を持つ 4 段階の 3 次ルンゲ・クッタ法であり、ステップごとに約 3 回の関数評価を使用します。適応ステップ サイズを実装するために使用できる 2 次法が組み込まれています。ボガツキ・シャンパイン法は、MATLABode3の固定ステップ ソルバーとode23可変ステップ ソルバー関数に実装されています( Shampine & Reichelt 1997 )。

解の粗い近似値で十分な場合は、5次のドルマンド・プリンス法のような高次の方法よりも、低次の方法の方が適している。ボガッキとシャンパインは、自分たちの方法が、2次の埋め込み法を用いることで、他の3次の方法よりも優れた性能を発揮すると主張している。

ボガッキ・シャンパイン法におけるブッチャー表は以下のとおりです。

標準的な表記法に従うと、解くべき微分方程式は次のようになる。${\displaystyle y'=f(t,y)}$。 さらに、$\displaystyle y_n}}$時刻における数値解を表す$t_n$そして${\displaystyle h_{n}}$ステップサイズは、次のように定義されます。${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$すると、ボガッキ・シャンパイン法の1ステップは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n}k_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {2}{9}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {4}{9}}h_{n}k_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {7}{24}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{4}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{3}+{\tfrac {1}{8}}h_{n}k_{4}.\end{aligned}}}$

ここ、${\displaystyle z_{n+1}}$これは厳密解に対する2次近似です。計算方法は$\displaystyle y_{n+1}}$これはラルストン（1965）によるものである。一方、$\displaystyle y_{n+1}}$これは3次近似なので、$\displaystyle y_{n+1}}$そして${\displaystyle z_{n+1}}$ステップサイズを調整するために使用できます。FSAL（最初と最後が同じ）プロパティは、ステージ値です。${\displaystyle k_{4}}$1ステップで${\displaystyle k_{1}}$次のステップでは、関数評価は1ステップあたり3回しか必要ありません。

• ボガツキ、プシェミスワフ。 Shampine、Lawrence F. (1989)、「A 3(2) ペアの Runge–Kutta 公式」、Applied Mathematics Letters、2 (4): 321–325、doi : 10.1016/0893-9659(89)90079-7、ISSN 0893-9659 。
• ラルストン、アンソニー（1965）『数値解析入門』ニューヨーク：マグロウヒル。
• Shampine, Lawrence F.; Reichelt, Mark W. (1997)、「The Matlab ODE Suite」（PDF）、SIAM Journal on Scientific Computing、18（1）：1–22、Bibcode：1997SJSC...18....1S、doi：10.1137/S1064827594276424、ISSN 1064-8275、S2CID 14004171  。