多分野にわたる設計最適化

多分野設計最適化( MDO ) は、最適化手法を使用して、複数の分野を組み込んだ設計上の問題を解決するエンジニアリング分野です。多分野システム設計最適化( MSDO ) や多分野設計分析および最適化( MDAO )とも呼ばれます。

MDO を使用すると、設計者は関連するすべての分野を同時に組み込むことができます。同時問題の最適解は、分野間の相互作用を活用できるため、各分野を順番に最適化して見つけた設計よりも優れています。ただし、すべての分野を同時に組み込むと、問題の 複雑さが大幅に増加します。

これらの技術は、自動車設計、造船、電子工学、建築、コンピュータ、電力供給など、多くの分野で使用されています。ただし、最も多くのアプリケーションが使用されているのは、航空機や宇宙船の設計など、航空宇宙工学の分野です。たとえば、提案されているボーイングのブレンデッド ウィング ボディ(BWB) 航空機のコンセプトでは、概念設計段階と予備設計段階で MDO が広範に使用されています。BWB 設計で考慮される分野は、空気力学、構造解析、推進、制御理論、および経済学です。

従来、エンジニアリングは通常、空気力学や構造などの特定の分野の専門知識を持つチームによって実行されてきました。各チームはメンバーの経験と判断力を活用して、通常は順番に実行可能な設計を開発します。たとえば、空気力学の専門家が車体の形状を概説し、構造の専門家は指定された形状内に設計を適合させることが求められます。チームの目標は、通常、最高速度、最小抗力、最小構造重量など、パフォーマンスに関連したものでした。

1970 年から 1990 年にかけて、航空機産業における 2 つの大きな発展により、航空機設計エンジニアの設計問題への取り組み方が変わりました。1 つ目は、設計者が設計を迅速に修正および分析できるようになったコンピューター支援設計です。2 つ目は、ほとんどの航空会社と軍事組織、特に米国軍の調達方針が、パフォーマンス中心の取り組みからライフサイクルコストの問題を重視する取り組みへと変わったことです。これにより、経済的要因と、製造可能性、信頼性、保守性など の「性能」と呼ばれる属性への集中が高まりました。

1990 年以降、この手法は他の業界にも広がりました。グローバル化により、分散型、非中央集権型設計チームが増えました。高性能パーソナル コンピュータが集中型スーパーコンピュータに取って代わり、インターネットとローカル エリア ネットワークによって設計情報の共有が容易になりました。多くの分野の専門設計ソフトウェア ( OptiStructやNASTRANなど、構造設計用の有限要素解析プログラム) は非常に成熟しました。さらに、多くの最適化アルゴリズム、特にポピュレーション ベース アルゴリズムが大幅に進歩しました。

最適化手法は微積分学とほぼ同じくらい古く、アイザック・ニュートン、レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュにまで遡り、懸垂線の形状などの問題を解くのに使用されていましたが、数値最適化が目立つようになったのはデジタル時代になってからです。構造設計への体系的な適用は、1960年にシュミットが提唱して以来続いています。 ^{[1] [2]} 1970年代の構造最適化の成功は、1980年代の多分野設計最適化（MDO）の出現を促しました。ヤロスワフ・ソビエスキーは、MDOアプリケーション用に特別に設計された分解法を擁護しました。^[3]以下の概要では、MDOの最適化手法に焦点を当てています。まず、初期の構造最適化とMDOコミュニティで使用されていた一般的な勾配ベースの手法についてレビューします。次に、過去12年間に開発された手法を要約します。

1960 年代から 1970 年代にかけて、構造最適化の専門家には勾配ベースの方法を使用する 2 つの流派がありました。最適性基準と数理計画法です。最適性基準の流派は、最適設計のためのKarush–Kuhn–Tucker (KKT) 必要条件に基づく再帰式を導きました。KKT 条件は、応力、変位、座屈、または周波数に制約のある最小重量設計などの構造問題のクラスに適用され [Rozvany、Berke、Venkayya、Khot ら]、各クラスに固有のサイズ変更式を導きました。数理計画法の流派は、構造最適化問題に古典的な勾配ベースの方法を採用しました。使用可能な実行可能方向の方法、Rosen の勾配投影 (一般化勾配削減) 法、逐次制約なし最小化手法、逐次線形計画法、そして最終的には逐次二次計画法が一般的な選択肢でした。Schittkowski らは、1990 年代初頭までに現在の方法をレビューしました。

MDO コミュニティに固有の勾配法は、最適性基準と数学プログラミングの組み合わせから派生したもので、構造最適化のための近似概念のフレームワークを構築した Fleury と Schmit の独創的な研究で初めて認識されました。彼らは、最適性基準が応力と変位の制約に非常に効果的であることを認識しました。その理由は、このアプローチが、逆数設計空間で線形テイラー級数近似を使用してラグランジュ乗数の双対問題を解決することに等しいからです。制約の削除、地域化、設計変数のリンクなど、効率を向上させる他の手法と組み合わせて、彼らは両方の学派の研究を統合することに成功しました。この近似概念に基づくアプローチは、Altair – Optistruct、ASTROS、MSC.Nastran、PHX ModelCenter、pSeven、Genesis、iSight、I-DEAS などの最新の構造設計ソフトウェアの最適化モジュールの基礎を形成しています。

構造最適化の近似は、応力および変位応答関数に対する Schmit と Miura の逆数近似によって開始されました。プレートには他の中間変数が使用されました。線形変数と逆数変数を組み合わせて、Starnes と Haftka は、座屈近似を改善する保守的な近似を開発しました。Fadel は、前のポイントの勾配一致条件に基づいて、各関数に適切な中間設計変数を選択しました。Vanderplaats は、応力制約の近似を改善するために、中間応答近似として力近似を開発し、高品質の近似の第二世代を開始しました。Canfield は、固有値近似の精度を改善するために、レイリー商近似を開発しました。Barthelemy と Haftka は、1993 年に近似の包括的なレビューを発表しました。

近年、遺伝的アルゴリズム、シミュレーテッドアニーリング、アントコロニーアルゴリズムなどの非勾配ベースの進化的手法が登場しました。現在、多くの研究者が、衝撃による損傷、動的破損、リアルタイム解析などの複雑な問題に対する最良のモードと方法について合意に達するよう努めています。この目的のために、研究者は多目的および多基準設計法を採用することがよくあります。

MDO 実践者は、過去 12 年間にさまざまな幅広い分野で最適化手法を研究してきました。これには、分解法、近似法、進化アルゴリズム、ミームアルゴリズム、応答曲面法、信頼性ベースの最適化、多目的最適化アプローチが含まれます。

分解法の探究は、過去 12 年間にわたって、階層型と非階層型、または共同型と非共同型など、さまざまな分類のアプローチの開発と比較を伴って続けられてきました。近似法は、代理モデル(メタモデルと呼ばれることが多い)、可変忠実度モデル、および信頼領域管理戦略に基づく近似の開発など、さまざまなアプローチに及びました。マルチポイント近似の開発により、応答曲面法との区別があいまいになりました。最も人気のある方法には、クリギング法や移動最小二乗法などがあります。

統計コミュニティによって広範に開発された応答曲面法は、過去 12 年間に MDO コミュニティで大きな注目を集めました。この方法の使用の原動力となったのは、応答曲面の構築に必要な複数の分野からの関数評価を分散するのに適した、高性能コンピューティング用の超並列システムの開発です。分散処理は、異なる分野の分析が異なるコンピューティング プラットフォームで、さらには異なるチームによって自然に実行される複雑なシステムの設計プロセスに特に適しています。

進化的手法は、MDO アプリケーション用の非勾配法の探究を先導しました。また、進化的手法は、勾配ベースの手法よりも本質的に多くの関数評価を必要とするため、超並列高性能コンピュータを利用できるという利点も得ています。進化的手法の主な利点は、離散的な設計変数を処理できることと、全体的に最適なソリューションを見つけられる可能性があることです。

信頼性に基づく最適化 (RBO) は、MDO において関心が高まっている分野です。応答曲面法や進化的アルゴリズムと同様に、RBO は並列計算の恩恵を受けます。これは、故障確率を計算するための数値積分に多くの関数評価が必要になるためです。最初のアプローチの 1 つは、故障確率を積分するために近似概念を採用しました。古典的な 1 次信頼性法 (FORM) と 2 次信頼性法 (SORM) は、今でもよく使われています。Ramana Grandhi 教授は、2 点適応型非線形近似によって見つかった最も可能性の高い故障点について、適切に正規化された変数を使用して、精度と効率を改善しました。Southwest Research Institute は、 RBO の開発で重要な役割を果たし、最先端の信頼性法を商用ソフトウェアに実装しています。RBO は、Altair のOptistructや MSC のNastranなどの商用構造解析プログラムに採用されるほど成熟しています。

効用ベースの確率最大化は、信頼性ベースの設計最適化に関するいくつかの論理的懸念（例えば、ブルーのジレンマ）に応えて開発されました。^[4]このアプローチは、目的関数がある値を超える確率とすべての制約が満たされる確率の両方を最大化することに焦点を当てています。目的関数がない場合、効用ベースの確率最大化は確率最大化問題になります。制約に不確実性がない場合、制約付き効用最大化問題になります。（この2番目の同等性は、関数の効用は常に、その関数が何らかのランダム変数を超える確率として記述できるため発生します）。信頼性ベースの最適化に関連する制約付き最適化問題を制約なしの最適化問題に変更するため、多くの場合、計算上より扱いやすい問題の定式化につながります。

マーケティング分野では、消費者の効用関数のモデルを推定する実験分析に基づいた、多属性製品およびサービスの最適設計に関する膨大な文献があります。これらの方法は、コンジョイント分析として知られています。回答者に代替製品が提示され、さまざまな尺度を使用して代替製品に関する好みが測定され、効用関数はさまざまな方法（回帰法、曲面応答法から選択モデルまで）で推定されます。モデルを推定した後、最適な設計が策定されます。実験設計は通常、推定値の分散を最小化するように最適化されます。これらの方法は、実際に広く使用されています。

問題の定式化は通常、プロセスの中で最も難しい部分です。それは、設計変数、制約、目的、および分野のモデルの選択です。さらに考慮すべき点は、問題における学際的な結合の強さと幅です。^[5]

設計変数とは、設計者の観点から制御可能な仕様です。たとえば、構造部材の厚さは設計変数とみなすことができます。また、材料の選択も設計変数の 1 つです。設計変数は、連続変数 (翼幅など)、離散変数 (翼のリブ数など)、ブール変数 (単葉機と複葉機のどちらを作るかなど)のいずれかです。連続変数を持つ設計問題は、通常、より簡単に解決できます。

設計変数は多くの場合、境界が設けられており、つまり最大値と最小値を持つことがよくあります。解法に応じて、これらの境界は制約として扱うことも、別々に扱うこともできます。

考慮する必要がある重要な変数の 1 つは不確実性です。不確実性は、しばしば認識論的不確実性とも呼ばれ、知識不足または不完全な情報によって生じます。不確実性は本質的に未知の変数ですが、システムの障害を引き起こす可能性があります。

制約とは、設計が実現可能であるために満たさなければならない条件です。航空機設計における制約の例としては、翼によって生成される揚力が航空機の重量と等しくなければならないことが挙げられます。制約は、物理法則に加えて、リソースの制限、ユーザー要件、または解析モデルの有効性の境界を反映することができます。制約は、ソリューション アルゴリズムによって明示的に使用することも、ラグランジュ乗数を使用して目的に組み込むこともできます。

目的とは、最大化または最小化される数値です。たとえば、設計者は利益を最大化したり、重量を最小化したりしたい場合があります。多くのソリューション メソッドは、単一の目的に対してのみ機能します。これらのメソッドを使用する場合、設計者は通常、さまざまな目的に重みを付け、それらを合計して単一の目的を形成します。他のメソッドでは、パレート フロントの計算など、複数の目的の最適化が可能です。

設計者は、制約と目的を設計変数に関連付けるモデルも選択する必要があります。これらのモデルは、関係する分野によって異なります。航空機価格の回帰分析などの経験的モデル、数値流体力学などの理論モデル、またはこれらのいずれかの低次元モデルである場合があります。モデルを選択する際、設計者は忠実度と分析時間をトレードオフする必要があります。

ほとんどの設計問題は複数の分野にまたがるため、モデルの選択と実装が複雑になります。目的と制約の値を見つけるには、分野間で複数の反復が必要になることがよくあります。たとえば、翼にかかる空力荷重は翼の構造変形に影響します。構造変形によって、翼の形状と空力荷重が変わります。したがって、翼を解析する場合、荷重と変形が収束するまで、空力解析と構造解析を交互に何度も実行する必要があります。

設計変数、制約、目的、およびそれらの関係が選択されると、問題は次の形式で表現できます。

を条件として最小化すると、${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle J(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )\leq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{lb}\leq \mathbf {x} \leq \mathbf {x} _{ub}}$

ここで、は目的関数、は設計変数のベクトル、は不等式制約のベクトル、は等式制約のベクトル、およびは設計変数の下限と上限のベクトルです。最大化問題は、目的関数に -1 を掛けることで最小化問題に変換できます。制約も同様の方法で逆にすることができます。等式制約は、2 つの不等式制約に置き換えることができます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \mathbf {h} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{lb}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{ub}}$

問題は通常、最適化分野の適切な手法を使用して解決されます。これには、勾配ベースのアルゴリズム、人口ベースのアルゴリズムなどが含まれます。非常に単純な問題は線形で表現できる場合があり、その場合は線形計画法の手法が適用できます。

• 随伴方程式
• ニュートン法
• 最も急な下り坂
• 共役勾配
• 逐次二次計画法

• フック・ジーブスパターン検索
• ネルダー・ミード法

• 遺伝的アルゴリズム
• ミームアルゴリズム
• 粒子群最適化
• ハーモニー検索
• オードマ

• ランダム検索
• グリッド検索
• シミュレーテッドアニーリング
• 直接検索
• IOSO（自己組織化に基づく間接最適化）

これらの手法のほとんどは、目的と制約の多数の評価を必要とします。分野別モデルは多くの場合非常に複雑で、1 回の評価にかなりの時間がかかることがあります。そのため、ソリューションには非常に時間がかかります。最適化手法の多くは並列コンピューティングに適応できます。現在の研究の多くは、必要な時間を短縮する方法に焦点を当てています。

また、既存の解決法では、一般的な問題のグローバル最適解が見つかる保証はありません ( 「探索と最適化にはただ飯はない」を参照)。勾配ベースの方法は、高い信頼性で局所最適解を見つけますが、通常、局所最適解から逃れることはできません。シミュレーテッド アニーリングや遺伝的アルゴリズムなどの確率的方法は、高い確率で適切な解を見つけますが、その解の数学的特性についてはほとんど何も言えません。局所最適解であることさえ保証されていません。これらの方法では、実行するたびに異なる設計が見つかることがよくあります。

• 最適化ソフトウェア一覧
• モードフロンティア
• pセブン
• モデルセンター
• オープンMDAO
• ジェムセオ
• ハイパースタディ
• Ansys オプティSLang

• Avriel, M.、Rijckaert, MJ、Wilde, DJ（編）、Optimization and Design、Prentice-Hall、1973年。
• Avriel, M. および Dembo, RS (編)、『エンジニアリング最適化に関する数理計画法研究』、North-Holland、1979 年。
• Cramer, EJ、Dennis Jr., JE、Frank, PD、Lewis, RM、およびShubin, GR、「多分野最適化の問題定式化」、SIAM J. Optim.、4 (4): 754–776、1994。
• Deb, K.「進化的多目的最適化の最新動向」、Int. J. Simul. Multi. Design Optim.、11 (2007) 1–8。
• Lambe, AB および Martins, JRRA「多分野にわたる設計、分析、および最適化プロセスの説明のための設計構造マトリックスの拡張」。Structural and Multidisciplinary Optimization、46:273–284、2012 年 8 月。doi:10.1007/s00158-012-0763-y。
• Siddall, JN,最適エンジニアリング設計、CRC、1982年。
• Vanderplaats, GN、「Multidiscipline Design Optimization」、Vanderplaatz R&D, Inc.、2007 年。
• Viana, FAC、Simpson, TW、Balabanov, V.、Toropov, V.「多分野にわたる設計最適化におけるメタモデリング：私たちは実際にどこまで進歩したのか？」AIAA Journal 52 (4) 670–690、2014 (DOI: 10.2514/1.J052375)