ニュートン・コーツの公式

数値解析において、ニュートン・コーツ公式（ニュートン・コーツ求積法、または単にニュートン・コーツ法とも呼ばれる）は、等間隔の点で被積分関数を評価することに基づく数値積分（求積法とも呼ばれる）のための公式群である。これらの公式は、公式を考案したアイザック・ニュートンと、ニュートンの研究を発展させたロジャー・コーツにちなんで名付けられている。^{[ 1 ] [ 2 ]}

ニュートン・コーツの公式は、等間隔の点における被積分関数の値が与えられており、かつ被積分関数が有限個の連続導関数しか持たないことが分かっている場合に有効です。被積分関数が無限回微分可能であり、かつ被積分関数を評価する点を変更できる場合は、ガウス求積法やクレンショー・カーティス求積法などの他の方法を用いることで、関数評価あたりの精度が向上する可能性があります。

関数fの値は、${\displaystyle [a,b]}$は${\displaystyle n+1}$等間隔に配置された点：${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b}$ニュートン・コーツ求積法には2つのクラスがあり、それらは「閉じた」と呼ばれ、${\displaystyle x_{0}=a}$そして${\displaystyle x_{n}=b}$つまり、区間の端点で関数値を使用し、${\displaystyle x_{0}>a}$そして${\displaystyle x_{n}<b}$つまり、端点での関数値を使用しないということです。ニュートン・コーツの公式は${\displaystyle n+1}$^{ポイントは（両方のクラスについて） [ 3 ]}のように定義できます。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$$ どこ

• 閉じた式の場合、${\displaystyle x_{i}=a+ih}$、 と${\displaystyle h={\frac {ba}{n}}}$、
• オープンフォーミュラの場合、${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$、 と${\displaystyle h={\frac {ba}{n+2}}}$。

hという数値はステップサイズと呼ばれ、${\displaystyle w_{i}}$これらは重みと呼ばれます。重みはラグランジュ基底多項式の積分として計算できます。これらはのみに依存します。${\displaystyle x_{i}}$関数f上ではなく、${\displaystyle L(x)}$与えられたデータ点に対するラグランジュ形式の補間多項式を${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))}$、 それから $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$$

任意の次数nのニュートン・コーツ公式を構築できます。ただし、n が大きい場合、ニュートン・コーツ公式は、nが大きい場合に誤差が指数関数的に増加する壊滅的なルンゲ現象^{[ 4 ]}に悩まされることがあります。高階導関数が滑らかであることがわかっている関数の場合、ガウス求積法や、不等間隔のサンプル点 (積分区間の端点に集中) を使用したクレンショー・カーティス求積法などの方法は安定しており、関数評価ごとに高い精度が得られるため、通常はニュートン・コーツよりも好まれます。被積分関数が固定された等分布グリッドでのみ与えられている場合、または被積分関数が十分に滑らかでない場合、これらの方法を使用できない場合は、以下で説明するように、複合公式を使用することでルンゲ現象を回避できます。

あるいは、補間の代わりに最小二乗近似を用いて安定したニュートン・コーツ公式を構築することもできます。これにより、高次の場合でも数値的に安定した公式を構築できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

この表は、閉じたタイプのニュートン・コーツ公式の一部を示しています。${\displaystyle 0\leq i\leq n}$、 させて${\displaystyle x_{i}=a+ih}$どこ${\displaystyle h={\frac {ba}{n}}}$、 そして${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$。

より多くの点を使用するニュートン・コーツの規則では、負の重みを持つノードが含まれる場合があります。高次の方法は一般的にルンゲ現象（上記参照）に悩まされていると考えられています。ブールの規則は、初期の参考書であるアブラモウィッツとステガン^{[ 8 ]の誤植が広まった結果、誤ってボーデの規則と呼ばれることがあります。 [ 9 ]}

誤差項のステップサイズhの指数は、近似誤差が減少する速度を示します。誤差項のfの導関数の次数は、この規則ではもはや正確に積分できない（つまり誤差がゼロになる）多項式の最低次数を示します。${\displaystyle \xi }$は区間( a , b )から取得する必要があるため、誤差境界は誤差項に等しくなります。${\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b}$。

この表は、開型のニュートン・コーツ公式の一部を示しています。これらの公式は、区間における積分を近似します。${\displaystyle (a,b)}$両端点で被積分関数を評価する必要がない。これは、端点が特異点であることがわかっている場合に便利である。n点公式については、${\displaystyle x_{i}=a+ih}$どこ${\displaystyle i\in 1..n}$、 ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+1}}}$、そして${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$。

しかし、2 点以上の場合、これらのルールは標準的な閉区間ルールほどうまく合成されません。${\displaystyle 2h}$隣接するパネルのサンプル間に残される。

ニュートン・コーツの法則が正確であるためには、ステップサイズhが小さい必要があり、これは積分区間が小さいことを意味します。${\displaystyle [a,b]}$はそれ自体が小さくなければならないが、ほとんどの場合そうではない。このため、通常は分割によって数値積分を実行する。${\displaystyle [a,b]}$より小さな区間に分割し、各区間にニュートン・コーツの法則を適用して、結果を合計します。これは複合法則と呼ばれます。数値積分を参照してください。

• 求積法（数学）
• 補間
• スプライン補間

• M. Abramowitz および IA Stegun 編『数式、グラフ、および数表を含む数学関数ハンドブック』ニューヨーク：Dover、1972 年。（第 25.4 節を参照。）
• ジョージ・E・フォーサイス、マイケル・A・マルコム、クリーブ・B・モーラー著『数理計算のためのコンピュータ手法』。ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、1977年。（第5.1節参照）
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「第4.1節 等間隔の横座標に対する古典的な公式」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3 版)、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88068-8
• ヨゼフ・シュトーア、ローランド・ブリルシュ著『数値解析入門』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、1980年。（3.1節参照）

• 「ニュートン・コーツ求積公式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ニュートン・コーツの公式はwww.math-linux.comに掲載されています。
• ワイススタイン、エリック W. 「ニュートン-コーツの公式」 . MathWorld .
• ニュートン・コーツ積分、numericalmathematics.com