衝撃を捉える方法

計算流体力学において、衝撃波捕捉法は衝撃波を伴う非粘性流れを計算するための技術の一種です。衝撃波を含む流れの計算は、衝撃波を横切る圧力、温度、密度、速度などの流れ変数に急激で不連続な変化が生じるため、極めて困難な作業です。

衝撃捕捉法では、非粘性流れの支配方程式（すなわちオイラー方程式）が保存形式で表され、衝撃波または不連続性が解の一部として計算されます。ここでは、衝撃自体を処理するための特別な処理は採用されていません。これは、適切な衝撃関係（ランキン・ユゴニオ関係）を使用して衝撃波が明示的に解に導入される衝撃フィッティング法とは対照的です。衝撃捕捉法によって予測される衝撃波は、通常、鋭くなく、複数のグリッド要素に分散する場合があります。また、古典的な衝撃捕捉法には、強い衝撃の近くで非物理的な振動（ギブス現象）が発生する可能性があるという欠点があります。

オイラー方程式は非粘性流れの支配方程式です。衝撃波捕捉法を実行するには、オイラー方程式の保存形が使用されます。外部熱伝達および仕事伝達のない流れ（等エネルギー流れ）の場合、直交座標系におけるオイラー方程式の保存形は次のように表すことができます 。ここで、ベクトルU、F、G、およびH は次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {U} }}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {F} }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathbf {G} }}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathbf {H} }}{\partial z}}=0}$$$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{bmatrix}},\ quad \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_{t}+p)u\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho v\\\rho vu\\\rho v ^{2}+p\\\rho vw\\(\rho e_{t}+p)v\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\end{bmatrix }}}$$

ここで、単位質量あたりの総エネルギー（内部エネルギー＋運動エネルギー＋位置エネルギー）である。つまり、 ${\displaystyle e_{t}}$$${\displaystyle e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}+gz}$$

オイラー方程式は、解を得るために利用可能な任意の衝撃捕捉法と統合することができます。

歴史的な観点から、衝撃捕捉法は、古典的な方法と現代の衝撃捕捉法(高解像度スキームとも呼ばれる) の 2 つの一般的なカテゴリに分類できます。現代の衝撃捕捉法は、古典的な対称または中心離散化とは対照的に、一般に風上バイアスです。風上バイアス差分スキームは、流れの方向に基づく差分を使用して、双曲偏微分方程式を離散化しようとします。一方、対称または中心スキームは、波の伝播方向に関する情報を一切考慮しません。

使用される衝撃捕捉スキームに関係なく、衝撃波が存在する場合の安定した計算には、非物理的な数値振動の形成を回避するために、一定量の数値散逸が必要です。古典的な衝撃捕捉法の場合、数値散逸項は通常線形であり、すべてのグリッド ポイントに同じ量が均一に適用されます。古典的な衝撃捕捉法は、滑らかで弱い衝撃解の場合にのみ正確な結果を示しますが、解に強い衝撃波が存在する場合、不連続性にわたって非線形の不安定性と振動が発生する可能性があります。現代の衝撃捕捉法では通常、非線形数値散逸が採用されており、フィードバック メカニズムによって、追加される人工散逸の量が解の特徴に応じて調整されます。理想的には、人工数値散逸は衝撃波やその他の鋭い特徴の近傍にのみ追加する必要があり、滑らかな流れの領域は変更しないでください。これらのスキームは、強い衝撃波を含む問題でも安定して正確であることが証明されています。

よく知られている古典的な衝撃捕捉法には、MacCormack 法（離散化スキームを使用して双曲型偏微分方程式を数値的に解く）、Lax–Wendroff 法（有限差分に基づき、数値法を使用して双曲型偏微分方程式を解く）、Beam–Warming 法などがあります。現代の衝撃捕捉スキームの例には、 Hartenによって最初に提案された高次全変動減少(TVD) スキーム、Boris と Book によって導入されたフラックス補正輸送スキーム、 Godunov アプローチに基づきvan Leerによって導入されたMonotonic Upstream-centered Schemes for Conservation Laws (MUSCL)、Harten らによって提案されたさまざまな本質的に非振動のスキーム (ENO)、 Colellaと Woodwardによって提案された区分放物線法 (PPM) などがあります。高解像度スキームのもう 1 つの重要なクラスは、RoeとOsherによって提案された近似リーマン ソルバーに属します。ジェイムソンとベイカーが提案した方式では、線形数値散逸項が非線形スイッチ関数に依存しており、古典的な衝撃捕捉法と現代的な衝撃捕捉法の中間に位置します。

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