離散ラプラシアンのクロネッカー和

数学において、レオポルド・クロネッカーにちなんで名付けられたクロネッカーの離散ラプラシアン和は、直方体^{[折れた錨]}領域における連続ラプラシアンの変数分離の離散バージョンです。

離散ケースにおける変数の分離の一般的な状況では、多次元離散ラプラシアンは1D 離散ラプラシアンの クロネッカー和です。

数学的には、クロネッカー和を使用すると次のようになります。

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

ここで、 および はそれぞれx方向とy方向の 1D 離散ラプラシアンであり、 および は適切なサイズの恒等関数です。および は両方とも、 x間隔とy間隔の端点での同次ディリクレ境界条件の場合に対応している必要があります。これにより、長方形領域の境界上のどこでも 同次ディリクレ境界条件に対応する 2D 離散ラプラシアンL が生成されます。${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$${\displaystyle \mathbf {D_{yy}}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$${\displaystyle \mathbf {D_{yy}}}$

以下は、通常の 10×15 2D グリッド上で L を計算するためのサンプルOCTAVE / MATLABコードです。

nx = 10 ; % x 方向のグリッド ポイントの数。ny = 15 ; % y 方向のグリッド ポイントの数。ex = ones ( nx , 1 ); Dxx = spdiags ([ ex - 2 * ex ex ], [ - 1 0 1 ], nx , nx ); % x 方向の 1D 離散ラプラシアン。ey = ones ( ny , 1 ); Dyy = spdiags ([ ey , - 2 * ey ey ], [ - 1 0 1 ], ny , ny ); % y 方向の 1D 離散ラプラシアン。L = kron ( Dyy , speye ( nx )) + kron ( speye ( ny ), Dxx ) ;   
   
  
          
  
          
       

因子のすべての固有値と固有ベクトルがわかれば、クロネッカー積のすべての固有値と固有ベクトルを明示的に計算できます。これに基づいて、クロネッカー和の固有値と固有ベクトルも明示的に計算できます 。

区間の端点での境界条件の従来の組み合わせに対する区間上の2次導関数の標準中心差分近似の固有値と固有ベクトルはよく知られています。これらの表現をクロネッカー和の固有値と固有ベクトルの公式と組み合わせると、必要な答えを簡単に得ることができます。

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{zz}} ,\,}$

ここで、 および は3方向のそれぞれにおける1D離散ラプラシアンであり、 および は適切なサイズの恒等関数である。境界上のどこでも同次ディリクレ境界条件に対応する3D離散ラプラシアンLを生成するためには、各1D離散ラプラシアンは同次ディリクレ境界条件の場合に対応している必要がある。固有値は ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} ,\,\mathbf {D_{yy}} }$${\displaystyle \mathbf {D_{zz}} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \lambda _{jx,jy,jz}=-{\frac {4}{h_{x}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{x}}{2 (n_{x}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{y}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{y}}{2(n_{y}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{z}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{z}}{2(n_{z}+1)}}\right)^{2}}$

ここで、対応する固有ベクトルは ${\displaystyle j_{x}=1,\ldots ,n_{x},\,j_{y}=1,\ldots ,n_{y},\,j_{z}=1,\ldots ,n_{z},\,}$

${\displaystyle v_{ix,iy,iz,jx,jy,jz}={\sqrt {\frac {2}{n_{x}+1}}}\sin \left({\frac {i_{x} j_{x}\pi }{n_{x}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{y}+1}}}\sin \left({\frac {i_{y}j_{y}\pi }{n_{y}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{z}+1}}}\sin \left({\ frac {i_{z}j_{z}\pi }{n_{z}+1}}\right)}$

ここで、マルチインデックスは固有値と固有ベクトルをペアにし、マルチインデックスは 規則的なグリッドでの各固有ベクトルの値の位置を決定します。同次ディリクレ境界条件が課される境界点は、グリッドのすぐ外側にあります。 ${\displaystyle {jx,jy,jz}}$${\displaystyle {ix,iy,iz}}$

OCTAVE / MATLABコード http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d はBSD ライセンスの下で利用可能で、離散 1D ラプラシアンのクロネッカー和を使用して、ディリクレ、ノイマン、および周期境界条件の組み合わせに対して、長方形グリッド上の 1、2D、および 3D 負ラプラシアンの疎行列を計算します。このコードは、上記の明示的な式を使用して、 正確な固有値と固有ベクトルも提供します。