分割ステップ法

数値解析において、分割ステップフーリエ法は、非線形シュレディンガー方程式のような非線形偏微分方程式を解くために用いられる擬似スペクトル数値法である。この名称は2つの理由から付けられている。第一に、この方法は解を小さなステップで計算し、線形ステップと非線形ステップを別々に扱うことに基づいている（後述参照）。第二に、線形ステップは周波数領域で行われ、非線形ステップは時間領域で行われるため、フーリエ変換を往復させる必要がある。

この方法の使用例としては、光ファイバーにおける光パルス伝搬の分野が挙げられます。この分野では、線形機構と非線形機構の相互作用により、一般的な解析解を見つけることが困難です。しかし、スプリットステップ法は、この問題に対する数値解を提供します。2010年代以降、スプリットステップ法のもう1つの応用として、光マイクロ共振器におけるカー周波数コムダイナミクスのシミュレーションが注目を集めています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ルギアト・ルフェーバー方程式の実装が比較的容易で、妥当な数値計算コストで済むこと、そしてこのマイクロ共振器における実験スペクトルの再現やソリトン挙動の予測に成功していることから、この方法は非常に人気があります。

例えば、非線形シュレディンガー方程式^{[ 4 ]を考えてみよう。}

${\displaystyle {\partial A \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}+i\gamma |A|^{2}A=[{\hat {D}}+{\hat {N}}]A,}$

どこ${\displaystyle A(t,z)}$パルス包絡線を時間軸に沿って記述する${\displaystyle t}$空間位置において${\displaystyle z}$この方程式は線形部分に分解でき、

${\displaystyle {\partial A_{D} \over \partial z}=-{i\beta _{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}={\hat {D}}A,}$

非線形部分、

${\displaystyle {\partial A_{N} \over \partial z}=i\gamma |A|^{2}A={\hat {N}}A.}$

線形部分と非線形部分の両方に解析解が存在するが、両方の部分を含む非線形シュレディンガー方程式には一般的な解析解は存在しない。

しかし、たとえ「小さな」一歩であっても${\displaystyle h}$一緒に持っていく${\displaystyle z}$そうすれば、2 つの部分を「小さな」数値誤差だけで別々に処理できます。したがって、まず小さな非線形ステップを踏むことができます。

${\displaystyle A_{N}(t,z+h)=\exp \left[i\gamma |A(t,z)|^{2}h\right]A(t,z),}$

解析解を用いる。この仮定は、${\displaystyle |A(z)|^{2}={\text{const}}.}$そして結果として${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$。

分散ステップは周波数領域で解析解を持つため、まずフーリエ変換を行う必要がある。${\displaystyle A_{N}}$使用

${\displaystyle {\tilde {A}}_{N}(\omega ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }A_{N}(t,z)\exp[i(\omega -\omega _{0})t]dt}$、

どこ$\displaystyle \omega _{0}}$はパルスの中心周波数である。上記のフーリエ変換の定義を用いると、線形ステップの解析解は、非線形ステップの周波数領域解と交換され、次のようになることが示される。

${\displaystyle {\tilde {A}}(\omega ,z+h)=\exp \left[{i\beta _{2} \over 2}(\omega -\omega _{0})^{2}h\right]{\tilde {A}}_{N}(\omega ,z).}$

逆フーリエ変換を行うことにより${\displaystyle {\チルダ {A}}(\omega ,z+h)}$得られるもの${\displaystyle A\left(t,z+h\right)}$パルスはこのようにして小さなステップだけ伝播した。${\displaystyle h}$上記を繰り返すことで${\displaystyle N}$パルスは、次の長さにわたって伝播することができます。${\displaystyle Nh}$。

上記は、解を空間的に前方に伝播させる方法を示していますが、粒子を記述する波束の進化を研究するなど、多くの物理学の応用では、解を空間ではなく時間的に前方に伝播させる必要があります。波動関数の時間発展を記述するために非線形シュレディンガー方程式を用いると、次の形式になります。

${\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =[{\hat {D}}+{\hat {N}}]\psi ,}$

どこ${\displaystyle \psi (x,t)}$位置における波動関数を記述する${\displaystyle x}$そして時間${\displaystyle t}$。 ご了承ください

${\displaystyle {\hat {D}}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}}$そして${\displaystyle {\hat {N}}=\gamma |\psi |^{2}}$、そして${\displaystyle m}$は粒子の質量であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。

この方程式の正式な解は複素指数関数なので、次のようになります。

${\displaystyle \psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)}$。

以来${\displaystyle {\hat {D}}}$そして${\displaystyle {\hat {N}}}$これらは演算子であり、一般には可換ではありません。しかし、Baker-Campbell-Hausdorffの公式を適用することで、可換であるかのように扱うことによる誤差がオーダーになることを示すことができます。$\displaystyle dt^{2}}$小さくても有限の時間ステップを取る場合${\displaystyle dt}$したがって、次のように書くことができます。

${\displaystyle \psi (x,t+dt)\approx e^{-idt{\hat {D}}/\hbar }e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)}$。

この方程式に含まれる部分${\displaystyle {\hat {N}}}$時刻における波動関数を用いて直接計算できる${\displaystyle t}$しかし、指数関数を計算するには${\displaystyle {\hat {D}}}$周波数空間では偏微分演算子を代入することで数値に変換できるという事実を利用します。${\displaystyle ik}$のために${\displaystyle \partial \over \partial x}$、 どこ${\displaystyle k}$は、操作対象のフーリエ変換に関連付けられた周波数（より正確には波数。空間変数を扱っているため、空間周波数の空間、つまり波数に変換している）です。したがって、 のフーリエ変換をとります。

${\displaystyle e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)}$、

関連する波数を取得し、量を計算する

${\displaystyle e^{idtk^{2}}}$、

そしてそれを使って、複素指数関数の積を求めます。${\displaystyle {\hat {N}}}$そして${\displaystyle {\hat {D}}}$周波数空間における表現は以下のとおりです。

${\displaystyle e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]}$、

どこ${\displaystyle F}$はフーリエ変換を表します。次に、この式を逆フーリエ変換して物理空間における最終結果を求め、最終式を得ます。

${\displaystyle \psi (x,t+dt)=F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]]}$。

この方法の変形として、対称化分割ステップフーリエ法があります。これは、一方の演算子を使用して半分の時間ステップを実行し、次に他方の演算子のみを使用して完全な時間ステップを実行し、最後に最初の演算子のみを使用して再び半分の時間ステップを実行します。この方法は、誤差がオーダーであるため、一般的な分割ステップフーリエ法よりも優れています。$\displaystyle dt^3$時間ステップごとに${\displaystyle dt}$このアルゴリズムのフーリエ変換は、高速フーリエ変換（FFT）を使用して比較的速く計算できます。したがって、分割ステップフーリエ法は、一般的な有限差分法よりもはるかに高速です。^{[ 5 ]}

• Thomas E. Murphy、ソフトウェア、http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Andrés A. Rieznik、ソフトウェア、https://github.com/arieznik/freeopticsproject
• G. アグラワル教授、ソフトウェア、http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid =software
• Thomas Schreiber、ソフトウェア、http://www.fiberdesk.com
• Edward J. Grace、ソフトウェア、http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016